TRIUNGHIUL IZOSCELULUI: CARACTERISTICI, FORMULĂ ȘI ZONĂ, CALCUL - MATEMATICA - 2025

Un triunghi izoscel este un poligon cu trei laturi, unde două dintre ele au aceeași măsură și a treia latură o măsură diferită. Această ultimă latură se numește baza. Datorită acestei caracteristici i s-a dat acest nume, care în greacă înseamnă „picioare egale”

Triunghiurile sunt poligoane considerate cele mai simple din geometrie, deoarece sunt alcătuite din trei laturi, trei unghiuri și trei vârfuri. Ele sunt cele care au cel mai mic număr de laturi și unghiuri în raport cu celelalte poligoane, cu toate acestea utilizarea lor este foarte extinsă.

Caracteristicile triunghiurilor isoscelelor

Triunghiul izoscel a fost clasificat folosind măsura laturilor sale ca parametru, deoarece două dintre laturile sale sunt congruente (au aceeași lungime).

Pe baza amplitudinii unghiurilor interioare, triunghiurile izoscelelor sunt clasificate în:

• Triunghiul izoscel drept : două dintre laturile sale sunt egale. Un colț este drept (90 ^sau ) , iar ceilalți sunt aceleași (45 ^sau fiecare)
• Triunghi izoscel obtuz : două dintre laturile sale sunt egale. Unul dintre unghiuri este obtuz (> 90 ^sau ).
• Triunghiul acut izoscel : două dintre laturile sale sunt egale. Toate unghiurile sunt acute (<90 ^sau ) unde ambele au aceeași măsură.

Componente

• Mediana : este o linie care pornește de la mijlocul unei părți și atinge vertexul opus. Cei trei medieni se întâlnesc într-un punct numit barycenter sau centroid.
• Bisectoarea : este o rază care împarte unghiul fiecărui vertex în două unghiuri de măsură egală. De aceea este cunoscută sub numele de axa de simetrie și acest tip de triunghiuri are doar unul.
• Bisectoarea : este un segment perpendicular pe latura triunghiului, care își are originea în mijlocul acestuia. Există trei medii într-un triunghi și se întâlnesc într-un punct numit circumcentrul.
• Înălțimea : este linia care merge de la vertex la partea care este opusă și, de asemenea, această linie este perpendiculară pe acea parte. Toate triunghiurile au trei înălțimi, care coincid într-un punct numit ortocentru.

Proprietăți

Triunghiurile izoscelului sunt definite sau identificate deoarece au mai multe proprietăți care le reprezintă, provenind din teoremele propuse de marii matematicieni:

Unghiuri interne

Suma unghiurilor interioare este întotdeauna egală cu 180 ^° .

Suma laturilor

Suma măsurilor a două părți trebuie să fie întotdeauna mai mare decât măsura celei de-a treia părți, a + b> c.

Laturi congruente

Triunghiurile izoscelului au două laturi cu aceeași măsură sau lungime; adică sunt congruente și a treia latură este diferită de acestea.

Unghiuri congruente

De asemenea, triunghiurile izoscelele sunt cunoscute sub numele de triunghiuri isoangulare, deoarece au două unghiuri care au aceeași măsură (congruent). Acestea sunt situate la baza triunghiului, opus laturilor care au aceeași lungime.

Datorită acestui fapt, a fost generată teorema care afirmă că:

"Dacă un triunghi are două laturi congruente, unghiurile opuse acestor laturi vor fi, de asemenea, congruente." Prin urmare, dacă un triunghi este izoscel, unghiurile bazelor sale sunt congruente.

Exemplu:

Figura următoare arată un triunghi ABC. Prin trasarea bisectoarei sale din vertexul unghiului B spre bază, triunghiul este împărțit în două triunghiuri egale BDA și BDC:

În acest fel unghiul vertexului B a fost împărțit și în două unghiuri egale. Bisectoarea este acum partea comună (BD) între cele două noi triunghiuri, în timp ce laturile AB și BC sunt laturile congruente. Astfel avem cazul congruenței laterale, unghiulare, laterale (LAL).

Acest lucru arată că unghiurile vârfurilor A și C au aceeași măsură, precum și se poate arăta că, deoarece triunghiurile BDA și BDC sunt congruente, laturile AD și DC sunt de asemenea congruente.

Înălțimea, mediana, bisectoarea și bisectoarea sunt coincidente

Linia care se trage de la vertexul opus bazei până la punctul mijlociu al bazei triunghiului izoscel, este în același timp înălțimea, mediana și bisectoarea, precum și bisectoarea în raport cu unghiul opus al bazei.

Toate aceste segmente coincid cu unul care le reprezintă.

Exemplu:

Figura următoare arată triunghiul ABC cu un punct de mijloc M care împarte baza în două segmente BM și CM.

Prin desenarea unui segment de la punctul M la vertexul opus, prin definiție se obține mediana AM, care este relativă la vertexul A și partea BC.

Deoarece segmentul AM împarte triunghiul ABC în două triunghiuri egale AMB și AMC, înseamnă că în cazul congruenței laterale, unghi, latură va fi avut și, prin urmare, AM va fi și bisectoarea lui BÂC.

Prin urmare, bisectoarea va fi întotdeauna egală cu mediana și invers.

Segmentul AM formează unghiuri care au aceeași măsură pentru triunghiurile AMB și AMC; adică sunt suplimentare în așa fel încât măsura fiecăruia să fie:

Med. (AMB) + Med. (AMC) = 180 ^sau

2 _* Med. (AMC) = 180 ^sau

Med. (AMC) = 180 ^sau ÷ 2

Med. (AMC) = 90 ^sau

Se poate ști că unghiurile formate de segmentul AM în raport cu baza triunghiului sunt drepte, ceea ce indică faptul că acest segment este total perpendicular pe baza.

Prin urmare, reprezintă înălțimea și bisectoarea, știind că M este punctul mijlociu.

Prin urmare, linia AM:

• Reprezintă la înălțimea BC.
• Are dimensiuni medii.
• Este conținut în bisectoarea BC.
• Este bisectoarea unghiului vertexului

Înălțimi relative

Înălțimea relativă a laturilor egale are aceeași măsurare.

Deoarece triunghiul izoscel are două laturi egale, cele două înălțimi ale acestora vor fi, de asemenea, egale.

Ortocentrul, baricentrul, stimulatorul și circumcentrul coincident

Întrucât înălțimea, mediana, bisectoarea și bisectorul în raport cu baza, sunt reprezentate în același timp de același segment, ortocentrul, stimulatorul barycenter și circumcentrul vor fi puncte colineare, adică se vor găsi pe aceeași linie:

Cum se calculează perimetrul?

Perimetrul unui poligon este calculat prin adăugarea laturilor.

Ca și în acest caz triunghiul isoscel are două laturi cu aceeași măsură, perimetrul său este calculat cu următoarea formulă:

P = 2 _* (latura a) + (latura b).

Cum se calculează înălțimea?

Înălțimea este linia perpendiculară pe bază, împarte triunghiul în două părți egale, întrucât se extinde la vertexul opus.

Înălțimea reprezintă piciorul opus (a), mijlocul bazei (b / 2) piciorul alăturat, iar latura „a” reprezintă hipotenuză.

Folosind teorema lui Pitagore, se poate determina valoarea înălțimii:

a ² + b ² = c ²

Unde:

a ² = înălțime (h).

b ² = b / 2.

c ² = partea a.

Substituind aceste valori în teorema lui Pitagore și rezolvând înălțimea, avem:

h ² + (b / 2) ² = a ²

h ² + b ² /4 = a ²

h ² = a ² - b ² / cu 4

h = √ (a ² - b ² /4).

Dacă este cunoscut unghiul format de laturile congruente, înălțimea poate fi calculată cu următoarea formulă:

Cum se calculează zona?

Zona triunghiurilor este calculată întotdeauna cu aceeași formulă, înmulțind baza cu înălțimea și împărțind cu două:

Există cazuri în care sunt cunoscute doar măsurătorile a două laturi ale triunghiului și unghiul format între ele. În acest caz, pentru a determina zona este necesară aplicarea raporturilor trigonometrice:

Cum se calculează baza triunghiului?

Deoarece triunghiul isoscel are două laturi egale, pentru a determina valoarea bazei sale, trebuie să știți cel puțin măsura înălțimii sau unul dintre unghiurile sale.

Cunoscând înălțimea, se folosește teorema pitagoreică:

a ² + b ² = c ²

Unde:

a ² = înălțime (h).

c ² = partea a.

b ² = b / 2, nu este cunoscută.

Izolăm b ² de formulă și avem:

b ² = a ² - c ²

b = √ a ² - c ²

Deoarece această valoare corespunde jumătății de bază, ea trebuie înmulțită cu două pentru a obține măsura completă a bazei triunghiului izoscel:

b = 2 _* (√ a ² - c ² )

În cazul în care se cunoaște doar valoarea laturilor sale egale și unghiul dintre ele, se aplică trigonometria, desenând o linie de la vertex la baza care împarte triunghiul izoscel în două triunghiuri drepte.

În acest fel, jumătate din bază se calculează cu:

Este, de asemenea, posibil să se cunoască doar valoarea înălțimii și unghiului vertexului care este opus bazei. În acest caz, prin trigonometrie, baza poate fi determinată:

Exerciții

Primul exercițiu

Găsiți aria triunghiului isoscel ABC, știind că două dintre laturile sale sunt de 10 cm, iar a treia latură de 12 cm.

Soluţie

Pentru a găsi aria triunghiului, este necesar să se calculeze înălțimea folosind formula de zonă care este legată de teorema pitagoreică, deoarece valoarea unghiului format între laturile egale nu este cunoscută.

Avem următoarele date ale triunghiului izoscel:

• Late egale (a) = 10 cm.
• Baza (b) = 12 cm.

Valorile sunt înlocuite în formula:

Al doilea exercițiu

Lungimea celor două laturi egale ale unui triunghi izoscel este de 42 cm, unirea acestor laturi formează un unghi de 130 ^sau . Determinați valoarea celei de-a treia laturi, aria acelui triunghi și perimetrul.

Soluţie

În acest caz, sunt cunoscute măsurătorile laturilor și unghiul dintre ele.

Pentru a cunoaște valoarea laturii care lipsește, adică baza acelui triunghi, se trasează o linie perpendiculară pe ea, care împarte unghiul în două părți egale, una pentru fiecare triunghi drept care este format.

• Late egale (a) = 42 cm.
• Unghiul (Ɵ) = 130 ^o

Acum prin trigonometrie se calculează valoarea jumătății bazei, ceea ce corespunde jumătății hipotenuzei:

Pentru a calcula aria, este necesar să cunoaștem înălțimea acelui triunghi, care poate fi calculat prin trigonometrie sau prin teorema pitagoreană, acum când valoarea bazei a fost deja determinată.

Prin trigonometrie va fi:

Perimetrul este calculat:

P = 2 _* (latura a) + (latura b).

P = 2 _* (42cm) + (76cm)

P = 84 cm + 76 cm

P = 160 cm.

Al treilea exercițiu

Calculați unghiurile interne ale triunghiului izoscel, știind că unghiul bazei este  = 55 ^sau

Soluţie

Pentru a găsi cele două unghiuri lipsă (Ê și Ô) este necesar să ne amintim două proprietăți ale triunghiurilor:

• Suma unghiurilor interne ale fiecărui triunghi va fi întotdeauna = 180 ^sau :

 + Ê + Ô = 180 ^sau

• Într-un triunghi izoscel unghiurile bazei sunt întotdeauna congruente, adică au aceeași măsură, deci:

 = Ô

Ê = 55 ^sau

Pentru a determina valoarea unghiului Ê, substituim valorile celorlalte unghiuri din prima regulă și rezolvăm pentru Ê:

55 ^sau + 55 ^sau + Ô = 180 ^sau

110 ^sau + Ô = 180 ^sau

Ô = 180 ^o - 110 ^o

Ô = 70 ^o .

Referințe

1. Álvarez, E. (2003). Elemente de geometrie: cu numeroase exerciții și geometrie a busolei. Universitatea din Medellin.
2. Álvaro Rendón, AR (2004). Desen tehnic: caiet de activitate.
3. Angel, AR (2007). Algebra elementară. Pearson Education.
4. Arthur Goodman, LH (1996). Algebra și trigonometria cu geometrie analitică. Pearson Education.
5. Baldor, A. (1941). Algebră. Havana: cultură.
6. José Jiménez, LJ (2006). Matematica 2.
7. Tuma, J. (1998). Manual de matematică inginerească. Wolfram MathWorld.