SECVENȚE CVADRATICE: EXEMPLE, REGULI ȘI EXERCIȚII REZOLVATE - MATEMATICA - 2025

The succesiunile patratice , din punct de vedere matematic, sunt compuse din secvențe de numere care urmează o anumită regulă aritmetică. Este interesant să cunoaștem această regulă pentru a determina oricare dintre termenii unei secvențe.

O modalitate de a face acest lucru este de a determina diferența dintre doi termeni succesivi și de a vedea dacă valoarea obținută se repetă întotdeauna. Când este cazul, se spune că este o secvență regulată.

Secvențele de numere sunt o modalitate de organizare a secvențelor de numere. Sursa: pixabay.com

Dar dacă nu se repetă, atunci puteți încerca să examinați diferența dintre diferențe și să vedeți dacă această valoare este constantă. Dacă da, atunci este o secvență cvadratică .

Exemple de secvențe regulate și secvențe pătratice

Următoarele exemple ajută la clarificarea celor explicate până acum:

Exemplu de succesiune regulată

Fie secvența S = {4, 7, 10, 13, 16, ……}

Această secvență, notată de S, este un set infinit de numere, în acest caz de numere întregi.

Se poate observa că este o secvență regulată, deoarece fiecare termen este obținut prin adăugarea a 3 la termenul sau elementul anterior:

4

4 + 3 = 7

7+ 3 = 10

10+ 3 = 13

13+ 3 = 16

Cu alte cuvinte: această secvență este regulată, deoarece diferența dintre termenul următor și cel precedent dă o valoare fixă. În exemplul dat această valoare este 3.

Secvențele obținute obișnuite prin adăugarea unei cantități fixe la termenul anterior se mai numesc și progresii aritmetice. Iar diferența -constant- între termeni succesivi se numește raport și se notează ca R.

Exemplu de secvență neregulară și patratică

Vezi acum următoarea secvență:

S = {2, 6, 12, 20, 30,….}

Când se calculează diferențele succesive, se obțin următoarele valori:

6-2 = 4

12-6 = 6

20-12 = 8

30-20 = 10

Diferențele lor nu sunt constante, așa că se poate spune că este o secvență NU regulată.

Cu toate acestea, dacă luăm în considerare setul de diferențe, avem o altă secvență, care va fi notată ca S _dif :

S _dif = {4, 6, 8, 10,….}

Această nouă secvență este într-adevăr o secvență regulată, deoarece fiecare termen este obținut prin adăugarea valorii fixe R = 2 la precedent. De aceea, putem afirma că S este o secvență cvadratică.

Regula generală pentru construirea unei secvențe patratice

Există o formulă generală pentru a construi o secvență patratică:

T _n = A ∙ n ² + B ∙ n + C

În această formulă, T _n este termenul în poziția n a secvenței. A, B și C sunt valori fixe, în timp ce n variază una câte una, adică 1, 2, 3, 4, …

În secvența S din exemplul precedent A = 1, B = 1 și C = 0. De acolo rezultă că formula care generează toți termenii este: T _n = n ² + n

Adică:

T ₁ = 1 ² + 1 = 2

T ₂ = 2 ² + 2 = 6

T ₃ = 3 ² + 3 = 12

T ₅ = 5 ² + 5 = 30

T _n = n ² + n

Diferența dintre doi termeni consecutivi ai unei secvențe pătratice

T _{n + 1} - T _n = -

Dezvoltarea expresiei prin produs remarcabil rămâne:

T _{n + 1} - T _n = A ∙ n ² + A ∙ 2 ∙ n + A + B ∙ n + B + C - A ∙ n ² - B ∙ n - C

Simplificându-l, obțineți:

T _{n + 1} - T _n = 2 ∙ A ∙ n + A + B

Aceasta este formula care oferă secvența diferențelor S _Dif care pot fi scrise astfel:

Dif _n = A ∙ (2n + 1) + B

În cazul în care în mod clar următorul termen este 2 ∙ Uneori anterior. Adică raportul dintre secvența diferențelor S _dif este: R = 2 ∙ A.

Rezolvarea problemelor secvențelor patratice

Exercitiul 1

Fie secvența S = {1, 3, 7, 13, 21, ……}. Determinați dacă:

i) Este regulat sau nu

ii) Este quadratică sau nu

iii) A fost cvadratic, secvența diferențelor și raportul lor

Răspunsuri

i) Să calculăm diferența dintre următorii termeni și termenii precedenți:

3-1 = 2

7-3 = 4

13-7 = 6

21-13 = 8

Putem afirma că secvența S nu este regulată, deoarece diferența dintre termeni succesivi nu este constantă.

ii) Secvența diferențelor este regulată, deoarece diferența dintre termenii săi este valoarea constantă 2. Prin urmare, secvența inițială S este cvadratică.

iii) Am stabilit deja că S este cvadratică, secvența diferențelor este:

S _dif = {2, 4, 6, 8, …} și raportul său este R = 2.

Exercițiul 2

Lasă secvența S = {1, 3, 7, 13, 21, ……} din exemplul precedent, unde s-a verificat că este cvadrat. A determina:

i) Formula care determină termenul general T _n.

ii) Verificați al treilea și al cincilea termen.

iii) Valoarea celui de-al zecelea termen.

Răspunsuri

i) Formula generală a lui T _n este A ∙ n ² + B ∙ n + C. Apoi rămâne să cunoaștem valorile lui A, B și C.

Secvența diferențelor are raportul 2. Mai mult, pentru orice secvență cvadratică raportul R este 2 ∙ A așa cum se arată în secțiunile anterioare.

R = 2 ∙ A = 2 ceea ce ne conduce la concluzia că A = 1.

Primul termen al secvenței de diferențe S _Dif este 2 și trebuie să satisfacă A ∙ (2n + 1) + B, cu n = 1 și A = 1, adică:

2 = 1 ∙ (2 ∙ 1 + 1) + B

rezolvarea pentru B obținem: B = -1

Atunci primul termen al lui S (n = 1) valorează 1, adică: 1 = A ∙ 1 ² + B ∙ 1 + C. După cum știm deja că A = 1 și B = -1, înlocuire avem:

1 = 1 ∙ 1 ² + (-1) ∙ 1 + C

Rezolvând C obținem valoarea sa: C = 1.

În concluzie:

A = 1, B = -1 și C = 1

Atunci al nouălea termen va fi T _n = n ² - n + 1

ii) Al treilea termen T ₃ = 3 ² - 3 + 1 = 7 și se verifică. A cincea T ₅ = 5 ² - 5 + 1 = 21 care este de asemenea verificată.

iii) Al zecelea termen va fi T ₁₀ = 10 ² - 10 + 1 = 91.

Exercițiul 3

Secvența zonelor pentru exercițiul 3. Sursa: elaborarea proprie.

Figura prezintă o secvență de cinci cifre. Zăbrele reprezintă unitatea de lungime.

i) Determinați secvența pentru aria figurilor.

ii) Arătați că este o secvență cvadratică.

iii) Găsiți zona din figura nr. 10 (nu este prezentată).

Răspunsuri

i) Secvența S corespunzătoare ariei secvenței de figuri este:

S = {0, 2, 6, 12, 20 ,. . . . . }

ii) Secvența corespunzătoare diferențelor consecutive ale termenilor S este:

S _dif = {2, 4, 6, 8 ,. . . . . }

Deoarece diferența dintre termeni consecutivi nu este constantă, atunci S nu este o secvență regulată. Rămâne să știm dacă este patrat, pentru care facem din nou succesiunea diferențelor, obținând:

{2, 2, 2, …….}

Deoarece se repetă toți termenii secvenței, se confirmă faptul că S este o secvență patratică.

iii) Secvența S _dif este regulată și raportul său R este 2. Folosind ecuația prezentată mai sus R = 2 ∙ A, rămâne:

2 = 2 ∙ A, ceea ce implică faptul că A = 1.

Al doilea termen al secvenței de diferențe S _Dif este 4 și al nouălea termen al lui S _Dif este

A ∙ (2n + 1) + B.

Al doilea termen are n = 2. În plus, s-a stabilit deja că A = 1, deci folosind ecuația și înlocuirea anterioară avem:

4 = 1 ∙ (2 ∙ 2 + 1) + B

Rezolvând B, obținem: B = -1.

Se știe că al doilea termen al lui S valorează 2 și că trebuie să îndeplinească formula termenului general cu n = 2:

T _n = A ∙ n ² + B ∙ n + C; n = 2; A = 1; B = -1; T ₂ = 2

Adică

2 = 1 ∙ 2 ² - 1 ∙ 2 + C

Se concluzionează că C = 0, adică formula care dă termenul general al secvenței S este:

T _n = 1 ∙ n ² - 1 ∙ n +0 = n ² - n

Acum se verifică al cincilea termen:

T ₅ = 5 ² - 5 = 20

iii) Figura # 10, care nu a fost desenată aici, va avea zona corespunzătoare celui de-al zecelea termen al secvenței S:

T ₁₀ = 10 ² - 10 = 90

Referințe

1. https://www.geogebra.org