SERIA DE PUTERE: EXEMPLE ȘI EXERCIȚII - MATEMATICA - 2025

O serie de puteri constă dintr-o însumare a termenilor sub forma puterilor variabilei x, sau mai general, a xc, unde c este un număr real constant. În însumare, o serie de puteri sunt exprimate astfel:

În cazul în care coeficienții a _o , a ₁ , a ₂ … sunt numere reale și seria începe de la n = 0.

Figura 1. Definiția unei serii de putere. Sursa: F. Zapata.

Această serie este centrată pe valoarea c care este constantă, dar puteți alege că c este egală cu 0, caz în care seria de putere se simplifică pentru:

Seria începe cu a _sau (xc) ⁰ și respectiv a _sau x ⁰ . Dar știm că:

(xc) ⁰ = x ⁰ = 1

Prin urmare, o _o (xc) ⁰ = a _sau x ⁰ = a _o (termen independent)

Lucrul bun despre seriile de putere este că funcțiile pot fi exprimate cu ele și acest lucru are multe avantaje, mai ales dacă doriți să lucrați cu o funcție complicată.

Când acest lucru este cazul, în loc să utilizați direct funcția, utilizați expansiunea acesteia din seria de putere, care poate fi mai ușor de derivat, integrat sau lucrat numeric.

Desigur, totul este condiționat de convergența seriei. O serie converge când se adaugă un anumit număr mare de termeni conferă o valoare fixă. Și dacă adăugăm încă mai mulți termeni, continuăm să obținem această valoare.

Funcționează ca Power Series

Ca exemplu de funcție exprimată ca o serie de putere, să luăm f (x) = e ^x .

Această funcție poate fi exprimată în termeni de o serie de puteri după cum urmează:

și ^x ≈ 1 + x + (x cu ² /2!) + (x cu ³ / cu 3!) + (x cu ⁴ / cu 4!) + (x de ⁵ / cele 5!) + …

Unde! = n. (N-1). (N-2). (n-3) … și este nevoie de 0! = 1.

Vom verifica, cu ajutorul unui calculator, că seria coincide cu funcția dată explicit. De exemplu, să începem făcând x = 0.

Știm că e ⁰ = 1. Să vedem ce face seria:

și ⁰ ≈ 1 + 0 + (0 cu ² /2!) + (0 cu ³ / cu 3!) + (0 cu ⁴ / cu 4!) + (0 de ⁵ / cele 5!) + … = 1

Și acum să încercăm x = 1. Un calculator returnează că e ¹ = 2.71828, apoi să comparăm cu seria:

și ¹ ≈ 1 + 1 + (1 ² /2!) + (1 cu ³ / cu 3!) + (1 cu ⁴ / cu 4!) + (1 de ⁵ / cele 5!) + … = 2 + 0,5000 + 0,1667 + 0,0417 + 0,0083 +… ≈ 2.7167

Cu doar 5 termeni, avem deja o potrivire exactă în e ≈ 2.71. Seria noastră are doar ceva mai mult, dar pe măsură ce se adaugă mai mulți termeni, seria convergă cu siguranță la valoarea exactă a e. Reprezentarea este exactă atunci când n → ∞.

Dacă analiza anterioară se repetă pentru n = 2, se obțin rezultate foarte similare.

În acest fel suntem siguri că funcția exponențială f (x) = e ^x poate fi reprezentată de această serie de puteri:

Figura 2. În această animație putem vedea cum seria de putere se apropie de funcția exponențială, pe măsură ce se iau mai mulți termeni. Sursa: Wikimedia Commons.

Serie geometrică de puteri

Funcția f (x) = e ^x nu este singura funcție care acceptă o reprezentare a seriei de putere. De exemplu, funcția f (x) = 1/1 - x seamănă foarte mult cu cunoscuta serie geometrică convergentă:

Este suficient să se facă a = 1 și r = x pentru a obține o serie potrivită pentru această funcție, care este centrată pe c = 0:

Cu toate acestea, se știe că această serie este convergentă pentru │r│ <1, de aceea reprezentarea este valabilă doar în intervalul (-1,1), deși funcția este valabilă pentru toate x, cu excepția x = 1.

Când doriți să definiți această funcție într-un alt interval, vă concentrați pur și simplu pe o valoare adecvată și ați terminat.

Cum se găsește extinderea în serie a puterilor unei funcții

Orice funcție poate fi dezvoltată într-o serie de putere centrată pe c, atât timp cât are derivate ale tuturor comenzilor la x = c. Procedura folosește următoarea teoremă, numită teorema lui Taylor:

Fie f (x) o funcție cu derivate de ordinul n, notate ca f ⁽ⁿ⁾ , care admite o serie de extindere a puterilor pe intervalul I. Dezvoltarea sa în serie a lui Taylor este:

Astfel încât:

În cazul în care R _n , care este al nouălea termen al seriei, se numește rest:

Când c = 0 seria se numește serie Maclaurin.

Această serie dată aici este identică cu seria dată la început, doar acum avem o modalitate de a găsi explicit coeficienții fiecărui termen, dat de:

Cu toate acestea, trebuie să ne asigurăm că seria convergă la funcția care trebuie reprezentată. Se întâmplă că nu toate seriile Taylor converg în mod necesar la f (x) care a fost avut în vedere la calcularea coeficienților la _n .

Acest lucru se întâmplă deoarece poate că derivatele funcției, evaluate la x = c coincid cu aceeași valoare a derivatelor alteia, de asemenea la x = c. În acest caz, coeficienții ar fi aceiași, dar dezvoltarea ar fi ambiguă, deoarece nu este sigură ce funcție corespunde.

Din fericire, există o modalitate de a ști:

Criteriul de convergență

Pentru a evita ambiguitatea, dacă R _n → 0 ca n → ∞ pentru toate x în intervalul I, seria converge la f (x).

Exercițiu

- Exercițiu rezolvat 1

Găsiți seria de putere geometrică pentru funcția f (x) = 1/2 - x centrată la c = 0.

Soluţie

Funcția dată trebuie exprimată astfel încât să coincidă cât mai strâns cu 1 / 1- x, a cărei serie este cunoscută. Deci, să rescriem numerotatorul și numitorul, fără a modifica expresia inițială:

1/2 - x = (1/2) /

Întrucât ½ este constant, el iese din însumare și este scris în termenii noii variabile x / 2:

Rețineți că x = 2 nu aparține domeniului funcției și, în conformitate cu criteriul de convergență dat în secțiunea Geometric Power Series, expansiunea este valabilă pentru │x / 2│ <1 sau în mod echivalent -2 <x <2.

- Exercițiu rezolvat 2

Găsiți primii 5 termeni ai extinderii seriei Maclaurin a funcției f (x) = sin x.

Soluţie

Pasul 1

În primul rând sunt derivatele:

-Derivativ de ordin 0: este aceeași funcție f (x) = sin x

-Primul derivat: (sin x) ´ = cos x

-Definitul al doilea: (sin x) ´´ = (cos x) ´ = - sin x

-Derivatul al treilea: (sin x) ´´´ = (-sen x) ´ = - cos x

-A patra derivată: (sin x) ´´´´ = (- cos x) ´ = sin x

Pasul 2

Apoi, fiecare derivat este evaluat la x = c, așa cum este o expansiune Maclaurin, c = 0:

sin 0 = 0; cos 0 = 1; - sin 0 = 0; -cos 0 = -1; sin 0 = 0

Pasul 3

Coeficienții a _{n sunt construiți} ;

a _o = 0/0! = 0; a ₁ = 1/1! = 1; a ₂ = 0/2! = 0; a ₃ = -1 / 3 !; a ₄ = 0/4! = 0

Pasul 4

În cele din urmă, seria este asamblată conform:

sin x ≈ 0.x ⁰ + 1. x ¹ + 0 .x ² - (1/3!) x ³ + 0.x ⁴ … = x - (1/3!)) x ³ + …

Cititorul are nevoie de mai mulți termeni? Câte mai multe, seria este mai aproape de funcție.

Rețineți că există un model în coeficienți, următorul termen non-zero este un ₅ și toți cei cu un indice impar sunt de asemenea diferiți de 0, alternând semnele, astfel încât:

sin x ≈ x - (1/3!)) x ³ + (1/5!)) x ⁵ - (1/7!)) x ⁷ +….

Se lasă ca un exercițiu de verificare a convergenței sale, criteriul coeficientului poate fi utilizat pentru convergența seriei.

Referințe

1. Fundația CK-12. Seria de putere: reprezentarea funcțiilor și operațiilor. Recuperat de la: ck12.org.
2. Engler, A. 2019. Calcul integral. Universitatea Națională din Litoral.
3. Larson, R. 2010. Calculul unei variabile. Al 9-lea. Ediție. McGraw Hill.
4. Texte gratuite de matematică. Serie de puteri. Recuperat din: math.liibretexts.org.
5. Wikipedia. Serie de puteri. Recuperat de la: es.wikipedia.org.