SISTEM OCTAL: ISTORIC, SISTEM DE NUMEROTARE, CONVERSII - MATEMATICA - 2025

Sistemul octal este un sistem de numerotare pozițională de bază opt (8); adică este format din opt cifre, care sunt: ​​0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 și 7. Prin urmare, fiecare cifră a unui număr octal poate avea orice valoare de la 0 la 7. Numerele octale ele sunt formate din numere binare.

Acest lucru se întâmplă pentru că baza sa este o putere exactă a două (2). Adică, numerele care aparțin sistemului octal sunt formate atunci când sunt grupate în trei cifre consecutive, ordonate de la dreapta la stânga, obținând astfel valoarea lor zecimală.

Istorie

Sistemul octal își are originea în vechime, când oamenii își foloseau mâinile pentru a număra animale de la opt la opt.

De exemplu, pentru a număra numărul vacilor într-un grajd, una a început să numere cu mâna dreaptă, unind degetul mare cu degetul mic; Apoi, pentru a număra cel de-al doilea animal, degetul mare a fost unit cu degetul arătător și așa mai departe cu degetele rămase ale fiecărei mâini, până la completarea a 8.

Există posibilitatea ca în antichitate să se folosească sistemul de numerotare octal înainte de zecimal pentru a putea număra spații interdigitale; adică numărați toate degetele, cu excepția degetelor mari.

Ulterior a fost creat sistemul de numerotare octal, care a provenit din sistemul binar, deoarece are nevoie de multe cifre pentru a reprezenta un singur număr; de atunci au fost create sisteme octale și hexagonale, care nu necesită atât de multe cifre și pot fi ușor convertite în sistemul binar.

Sistem de numerotare octal

Sistemul octal este format din opt cifre care merg de la 0 la 7. Acestea au aceeași valoare ca în cazul sistemului zecimal, dar valoarea lor relativă se modifică în funcție de poziția pe care o ocupă. Valoarea fiecărei poziții este dată de puterile bazei 8.

Pozițiile cifrelor dintr-un număr octal au următoarele greutăți:

8 ⁴ , 8 ³ , 8 ² , 8 ¹ , 8 ⁰ , punct octal, 8 ^-1 , 8 ^-2 , 8 ^-3 , 8 ^-4 , 8 ^-5 .

Cea mai mare cifră octală este 7; astfel, la numărarea în acest sistem, o poziție a unei cifre este crescută de la 0 la 7. Când se atinge 7, aceasta este reciclată la 0 pentru următorul număr; în acest fel, poziția cifrei următoare este crescută. De exemplu, pentru a număra secvențe, în sistemul octal va fi:

• 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10.
• 53, 54, 55, 56, 57, 60.
• 375, 376, 377, 400.

Există o teoremă fundamentală care este aplicată sistemului octal și este exprimată în felul următor:

În această expresie di reprezintă cifra înmulțită cu puterea bazei 8, care indică valoarea locului fiecărei cifre, în același mod în care este ordonată în sistemul zecimal.

De exemplu, aveți numărul 543.2. Pentru al aduce la sistemul octal, acesta se descompune astfel:

N = ∑ = (5 * 64) + (4 * 8) + (2 * 1) + (2 * 0.125)

N = 320 +32 + 2 + 0,25 = 354 + 0,25 _d

Astfel, avem 543,2 _q = 354,25 _d . Indiciul q indică faptul că este un număr octal care poate fi reprezentat și prin numărul 8; iar subscriptul d se referă la numărul zecimal, care poate fi reprezentat și prin numărul 10.

Conversia de la sistemul octal la zecimal

Pentru a converti un număr din sistemul octal în echivalentul său în sistemul zecimal, pur și simplu înmulțiți fiecare cifră octală cu valoarea sa locală, începând de la dreapta.

Exemplul 1

732 ₈ = (7 _* 8 ² ) + (3 _* 8 ¹ ) + (2 _* 8 ⁰ ) = (7 _* 64) + (3 _* 8) + (2 _* 1)

732 ₈ = 448 +24 +2

732 ₈ = 474 ₁₀

Exemplul 2

26,9 ₈ = (2 _* 8 ¹ ) + (6 _* 8 ⁰ ) + (9 _* 8 ^-1 ) = (2 _* 8) + (6 _* 1) + (9 _* 0,125)

26,9 ₈ = 16 + 6 + 1,125

26,9 ₈ = 23.125 ₁₀

Conversia de la sistemul zecimal în octal

Un număr întreg zecimal poate fi convertit într-un număr octal folosind metoda divizării repetate, unde numărul întreg zecimal este împărțit la 8 până când coeficientul este egal cu 0, iar restul fiecărei diviziuni va reprezenta numărul octal.

Reziduurile sunt comandate de la ultima la prima; adică, primul rest va fi cea mai puțin semnificativă cifră a numărului octal. În acest fel, cifra cea mai semnificativă va fi ultima.

Exemplu

Număr zecimal Octal 266 ₁₀

- Împarte numărul zecimal 266 la 8 = 266/8 = 33 + restul de 2.

- Atunci împărțiți 33 cu 8 = 33/8 = 4 + restul de 1.

- Împărțiți 4 la 8 = 4/8 = 0 + restul de 4.

Ca și în ultima diviziune se obține un coeficient mai mic de 1, înseamnă că rezultatul a fost găsit; Trebuie doar să comandați restul invers, astfel încât numărul octal al zecimalei 266 să fie 412, așa cum se poate vedea în imaginea următoare:

Conversia de la sistemul octal la sistemul binar

Conversia de la octal la binar se face prin transformarea cifrei octale în cifra binară echivalentă, constând din trei cifre. Există un tabel care arată cum sunt convertite cele opt cifre posibile:

Din aceste conversii, orice număr din sistemul octal în binar poate fi schimbat, de exemplu, pentru a converti numărul 572 _8, căutăm echivalentele sale în tabel. Astfel, trebuie să:

5 ₈ = 101

7 ₈ = 111

2 ₈ = 10

Prin urmare, 572 _{8 este} echivalent în sistemul binar la 10111110.

Conversia de la binar la octal

Procesul de conversie a numerelor întregi binare în numere întregi octale este inversul procesului anterior.

Adică biții numărului binar sunt grupați în două grupuri de trei biți, începând de la dreapta la stânga. Apoi, conversia de la binar în octal se face cu tabelul de mai sus.

În unele cazuri, numărul binar nu va avea grupuri de 3 biți; pentru a o completa, se adaugă unul sau două zerouri în stânga primului grup.

De exemplu, pentru a schimba numărul binar 11010110 în octal, faceți următoarele:

- Grupuri de 3 biți sunt formate începând de la dreapta (ultimul bit):

11010110

- Deoarece primul grup este incomplet, se adaugă un zero de frunte:

011010110

- Conversia se face din tabel:

011 = 3

010 = 2

110 = 6

Astfel, numărul binar 011010110 este egal cu 326 ₈ .

Conversia de la octal la hexadecimal și invers

Pentru a trece de la un număr octal la sistemul hexadecimal sau de la hexadecimal la octal, este necesar să se transforme mai întâi numărul în binar, apoi în sistemul dorit.

Pentru aceasta, există un tabel în care fiecare cifră hexadecimală este reprezentată cu echivalentul său în sistemul binar, format din patru cifre.

În unele cazuri, numărul binar nu va avea grupuri de 4 biți; pentru a o completa, se adaugă unul sau două zerouri în stânga primului grup

Exemplu

Convertiți numărul octal 1646 în număr hexadecimal:

- Convertiți numărul de la octal la binar

1 ₈ = 1

6 ₈ = 110

4 ₈ = 100

6 ₈ = 110

- Deci, 1646 ₈ = 1110100110.

- Pentru a converti de la binar la hexadecimal, acestea sunt ordonate mai întâi într-un grup de 4 biți, începând de la dreapta la stânga:

11 1010 0110

- Primul grup este completat cu zerouri, astfel încât să poată avea 4 biți:

0011 1010 0110

- Conversia de la binar la hexadecimal se face. Echivalențele sunt înlocuite cu ajutorul tabelului:

0011 = 3

1010 = A

0110 = 6

Astfel, numărul octal 1646 este egal cu 3A6 în sistemul hexadecimal.

Referințe

1. Bressan, AE (1995). Introducere în sisteme de numerotare. Universitatea din Argentina a Companiei.
2. Harris, JN (1957). Introducere în sistemele de numerotare binare și octale: Lexington, Agenția de Informații Tehnice pentru Servicii Armate.
3. Kumar, AA (2016). Fundamentele circuitelor digitale. Pvt de învățare.
4. Peris, XC (2009). Sisteme operative unice.
5. Ronald J. Tocci, NS (2003). Sisteme digitale: principii și aplicații. Pearson Education.