SIMETRIE CENTRALĂ: PROPRIETĂȚI, EXEMPLE ȘI EXERCIȚII - MATEMATICA - 2025

Două puncte A și A 'au o simetrie centrală față de un punct O atunci când segmentul AA' trece prin el și este, de asemenea, punctul mediu al AA '. Punctul O este denumit centrul de simetrie.

Simetrica centrală a unui triunghi ABC față de un punct O, este un alt triunghi A'B'C care are următoarele caracteristici:

-Segmentele omologe au lungimea egală

-Unghiurile lor corespunzătoare au aceeași măsură.

Figura 1. Triunghiul ABC și simetricul său A'B'C '. Sursa: F. Zapata.

Figura 1 prezintă un triunghi ABC (roșu) și simetria sa centrală A'B'C '(verde), în raport cu centrul de simetrie O.

În aceeași figură, un observator atent și-ar da seama că același rezultat este obținut prin aplicarea unei rotații a triunghiului inițial, atât timp cât acesta este de 180º și este centrat în O.

Prin urmare, o simetrie centrală este echivalentă cu un viraj de 180 ° în raport cu centrul de simetrie.

Proprietățile simetriei centrale

O simetrie centrală are următoarele proprietăți:

-Centrul de simetrie este punctul mediu al segmentului care unește un punct cu simetria acestuia.

-Un punct simetric al altuia care este situat în centrul simetriei, coincide cu centrul de simetrie.

-Simetrica centrală a unui triunghi este un triunghi congruent (egal) cu originalul.

-Imagina prin simetrie centrală a unui cerc este un alt cerc cu rază egală.

-O circumferință are o simetrie centrală în raport cu centrul propriu.

Figura 2. Proiectare cu simetrie centrală. Sursa: Pixabay.

-Elipsa are simetrie centrală în raport cu centrul ei.

-Un segment are simetrie centrală în raport cu punctul său intermediar.

-Triunghiul echilateral nu are simetrie centrală față de centrul său, deoarece simetria sa, deși este congruentă cu primul, dă un triunghi echilateral rotativ.

-Pătratele au o simetrie centrală în raport cu centrul lor.

-Un pentagon nu are simetrie centrală față de centrul său.

-Poligonii reguli au simetrie centrală atunci când au un număr egal de laturi.

Exemple

Criteriile de simetrie au multe aplicații în știință și inginerie. Simetria centrală este prezentă în natură, de exemplu, cristalele de gheață și stăpânele au acest tip de simetrie.

Mai mult, multe probleme sunt rezolvate cu ușurință atunci când profitați de existența simetriei centrale și a altor tipuri de simetrie. Prin urmare, este convenabil să identificăm rapid când apare.

Figura 3. Cristalele de gheață au o simetrie centrală. Sursa: Pixabay.

Exemplul 1

Având în vedere un punct P al coordonatelor (a, b), trebuie să găsim coordonatele lui P 'simetrice în raport cu originea O a coordonatelor (0, 0).

Primul lucru este să construim punctul P ', pentru care se trage o linie care trece prin originea O și prin punctul P. Ecuația acestei linii este y = (b / a) x.

Acum să numim (a ', b') coordonatele punctului simetric P '. Punctul P 'trebuie să se afle pe linia care trece prin O și, prin urmare, este adevărat: b' = (b / a) a '. În plus, distanța OP trebuie să fie egală cu OP ', care în formă analitică este scrisă astfel:

√ (a ² + b ² ) = √ (a ' ² + b' ² )

Următoarea este substituirea b '= în expresia anterioară și pătrat ambele părți ale egalității pentru a elimina rădăcina pătrată: (a ² + b ² ) =

Extragând factorul comun și simplificăm, obținem că a ' ² = a ² . Această ecuație are două soluții reale: a '= + a sau a' = -a.

Pentru a obține b ', folosim din nou b' = (b / a) a '. Dacă soluția pozitivă a a 'este înlocuită, ajungem la acea b' = b. Și atunci când soluția negativă este înlocuită, atunci b '= -b.

Soluția pozitivă oferă pentru P 'același punct P, deci este aruncat. Soluția negativă oferă cu siguranță coordonatele punctului simetric:

P ': (-a, -b)

Exemplul 2

Este necesar să se arate că un segment AB și simetricul său central A'B 'au aceeași lungime.

Începând cu coordonatele punctului A, care sunt (Ax, Ay) și cele ale punctului B: (Bx, By), lungimea segmentului AB este dată de:

d (AB) = √ ((Bx - Ax) ² + (By - Ay) ² )

Prin analogie, segmentul simetric A'B 'va avea lungimea dată de:

d (A'B ') = √ ((Bx' - Ax ') ² + (By' - Ay ') ² )

Coordonatele punctului simetric A 'sunt Ax' = -Ax și Ay '= -Ay. În mod similar, cele ale lui B 'sunt Bx' = -Bx și By '= -By. Dacă aceste coordonate sunt substituite în ecuația distanței d (A'B '), avem:

d (A'B ') = √ ((-Bx + Ax) ² + (-By + Ay) ² ) care este echivalent cu:

√ ((Bx - Ax) ² + (By - Ay) ² ) = d (AB)

Astfel, se arată că ambele segmente au aceeași lungime.

Exerciții rezolvate

- Exercitiul 1

Arată analitic că O simetrică centrală a unui cerc cu raza R și centrul O este același cerc original.

Soluţie

Ecuația unui cerc cu raza R și centrul O (0,0) este:

x ² + y ² = R ² (Ecuația circumferinței C)

Dacă la fiecare punct P al circumferinței y al coordonatelor (x, y) se găsește P simetrică a coordonatelor (x ', y'), ecuația circumferinței simetrice este:

x ' ² + y' ² = R ² (Ecuația cercului simetric C ')

Acum ne referim la rezultatul exemplului 1, în care se ajunge la concluzia că coordonatele unui punct P ', simetric cu P și cu coordonatele (a, b), este (-a, -b).

Dar în acest exercițiu, punctul P are coordonate (x, y), astfel încât P simetricul său va avea coordonate x '= -xe y' = -y. Substituind acest lucru în ecuația cercului simetric avem:

(-x) ² + (-y) ² = R ²

Ceea ce este echivalent cu: x ² + y ² = R ² , concluzionând că centrul simetric al unui cerc în raport cu centrul său este cercul în sine.

- Exercițiul 2

Arată în formă geometrică că simetria centrală păstrează unghiurile.

Soluţie

Figura 4. Construcția punctelor simetrice pentru exercițiul 2. Sursa: F. Zapata.

Există trei puncte A, B și C în avion. Simetriile sale A ', B' și C 'sunt construite în raport cu centrul de simetrie O, așa cum se arată în figura 4.

Acum trebuie să arătăm că unghiul ∡ABC = β are aceeași măsură ca unghiul ∡A'B'C '= β'.

Deoarece C și C 'sunt simetrici, atunci OC = OC'. În mod similar OB = OB 'și OA = OA'. Pe de altă parte, unghiul ∡BOC = ∡B'OC 'deoarece sunt opuse de vertex.

Prin urmare, triunghiurile BOC și B'OC 'sunt congruente, deoarece au un unghi egal între două laturi egale.

Deoarece BOC este congruent cu B'OC ', atunci unghiurile γ și γ' sunt egale. Dar aceste unghiuri, pe lângă împlinirea γ = γ ', sunt alternative interne între liniile BC și B'C', ceea ce presupune că linia BC este paralelă cu B'C '.

În mod similar BOA este congruent cu B'OA 'din care rezultă că α = α'. Dar α și α 'sunt unghiuri interioare alternative între liniile BA și B'A', din care se concluzionează că linia BA este paralelă cu B'A '.

Deoarece unghiul ∡ABC = β are laturile sale paralele cu unghiul ∡A'B'C '= β' și, de asemenea, ambele sunt acute, se concluzionează că:

∡ABC = ∡A'B'C '= β = β'

Dovedind în acest fel, simetria centrală păstrează măsura unghiurilor.

Referințe

1. Baldor, JA 1973. Geometria planului și spațiului. Central American Cultural.
2. Legi și formule matematice. Sisteme de măsurare a unghiurilor Recuperat de la: ingemecanica.com.
3. Wentworth, Geometria planului G. Recuperat de la: gutenberg.org.
4. Wikipedia. Simetrie centrală. Recuperat din: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Pe banda rulanta. Recuperat din: es.wikipedia.com
6. Zapata F. Conjugă unghiuri interne și externe. Recuperat de la: lifeder.com