SIMETRIE AXIALĂ: PROPRIETĂȚI, EXEMPLE ȘI EXERCIȚII - MATEMATICA - 2025

Simetrie axială este atunci când punctele de o figură coincid cu punctele de altă figură printr - o bisectoare dreaptă numita axă de simetrie. Se mai numește simetrie radială, rotativă sau cilindrică.

Este de obicei aplicat în figuri geometrice, dar este ușor de observat în natură, deoarece există animale precum fluturi, scorpioni, marunte sau oameni care prezintă simetrie axială.

Simetria axială este expusă în această fotografie a orizontului orașului Toronto și reflectarea sa în apă. (Sursa: pixabay)

Cum să găsești simetric axial

Pentru a găsi simetria axială P 'a unui punct P în raport cu o linie (L), se efectuează următoarele operații geometrice:

1.- Perpendicular pe linia (L) care trece prin punctul P.

2.- Interceptarea celor două linii determină un punct O.

3.- Se măsoară lungimea segmentului PO, apoi această lungime este copiată pe linia (PO) pornind de la O în direcția de la P la O, determinând punctul P '.

4.- Punctul P 'este simetricul axial al punctului P în raport cu axa (L), deoarece linia (L) este bisectoarea segmentului PP', fiind O punctul mediu al segmentului menționat.

Figura 1. Două puncte P și P 'sunt simetrice axial cu o axă (L) dacă axa menționată este o bisectoare a segmentului PP'

Proprietățile simetriei axiale

- Simetria axială este izometrică, adică se păstrează distanțele unei figuri geometrice și simetria corespunzătoare a acesteia.

- Măsura unui unghi și simetrica acestuia sunt egale.

- Simetria axială a unui punct de pe axa de simetrie este punctul în sine.

- Linia simetrică a unei linii paralele cu axa de simetrie este, de asemenea, o linie paralelă cu axa menționată.

- O linie secantă la axa de simetrie are ca linie simetrică o altă linie secantă care, la rândul său, intersectează axa de simetrie în același punct de pe linia inițială.

- Imaginea simetrică a unei linii este o altă linie care formează un unghi cu axa de simetrie a aceleiași măsuri cu cea a liniei inițiale.

- Imaginea simetrică a unei linii perpendiculare pe axa de simetrie este o altă linie care se suprapune pe prima.

- O linie și linia sa simetrică axială formează un unghi a cărui bisectoare este axa de simetrie.

Figura 2. Simetria axială păstrează distanțele și unghiurile.

Exemple de simetrie axială

Natura prezintă exemple abundente de simetrie axială. De exemplu, puteți vedea simetria fețelor, insectelor precum fluturii, reflectarea pe suprafețele și oglinzile calme ale apei sau frunzele plantelor, printre multe altele.

Figura 3. Acest fluture prezintă o simetrie axială perfectă. (Sursa: pixabay)

Figura 4. Fața acestei fete are simetrie axială. (Sursa: pixabay)

Exerciții de simetrie axială

Exercitiul 1

Avem triunghiul vertexurilor A, B și C ale căror coordonate carteziene sunt respectiv A = (2, 5), B = (1, 1) și C = (3,3). Găsiți coordonatele carteziene ale triunghiului simetric față de axa Y (axa ordonată).

Soluție: Dacă un punct P are coordonate (x, y), atunci simetricul său cu privire la axa ordonată (axa Y) este P '= (- x, y). Cu alte cuvinte, valoarea abscisei sale schimbă semn, în timp ce valoarea ordonată rămâne aceeași.

În acest caz, triunghiul simetric cu vârfurile A ', B' și C 'va avea coordonate:

A '= (- 2, 5); B '= (- 1, 1) și C' = (- 3, 3) așa cum se poate vedea în figura 6.

Figura 6. Dacă un punct are coordonate (x, y), simetricul său în raport cu axa Y (axa ordonată) va avea coordonate (-x, y).

Exercițiul 2

Cu referire la triunghiul ABC și la simetricul său A'B'C din exercițiul 1, verificați dacă laturile corespunzătoare ale triunghiului inițial și simetricul său au aceeași lungime.

Soluție: Pentru a găsi distanța sau lungimea laturilor, folosim formula distanței euclidiene:

d (A, B) = √ ((Bx - Ax) ^ 2 + (By - Ay) ^ 2) = √ ((1-2) ^ 2 + (1-5) ^ 2) = √ ((- 1 ) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4.123

Lungimea laturii simetrice A'B 'corespunzătoare este calculată mai jos:

d (A ', B') = √ ((Bx'-Ax ') ^ 2 + (By'-Ay') ^ 2) = √ ((- 1 + 2) ^ 2 + (1-5) ^ 2 ) = √ ((1) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4.123

În acest fel, se verifică că simetria axială păstrează distanța dintre două puncte. Procedura poate fi repetată pentru celelalte două laturi ale triunghiului și simetricul său pentru a verifica invariantele în lungime. De exemplu -AC- = -A'C'- = √5 = 2,236.

Exercițiul 3

În raport cu triunghiul ABC și simetricul său A'B'C din exercițiul 1, verificați dacă unghiurile corespunzătoare ale triunghiului inițial și simetricul său au aceeași măsură unghiulară.

Soluție: Pentru a determina măsurile unghiurilor BAC și B'A'C ', vom calcula mai întâi produsul scalar al vectorilor AB cu AC și apoi produsul scalar al lui A'B' cu A'C ' .

Amintind că:

A = (2, 5), B = (1, 1) și C = (3,3)

A '= (- 2, 5); B '= (- 1, 1) și C' = (- 3, 3).

Are:

AB = <1-2, 1-5> și AC = <3-2, 3-5>

asemănător

A'B ' = <-1 + 2, 1-5> și AC = <-3 + 2, 3-5>

Apoi se găsesc următoarele produse scalare:

AB⋅AC = <-1, -4> ⋅ <1, -2> = -1⋅1 + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

asemănător

A'B'⋅A'C ' = <1, -4> ⋅ <-1, -2> = 1⋅ (-1) + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

Măsura unghiului BAC este:

∡BAC = ArcCos ( AB⋅AC / (- AB- ⋅- AC- )) =

ArcCos (7 / (4.123⋅2.236)) = 40.6º

În mod similar, măsura unghiului B'A'C 'este:

∡B'A'C '= ArcCos ( A'B'⋅A'C' / (- A'B'- ⋅- A'C'- )) =

ArcCos (7 / (4.123⋅2.236)) = 40.6º

Concluzionând că simetria axială păstrează măsura unghiurilor.

Exercițiul 4

Fie un punct P cu coordonate (a, b). Găsiți coordonatele simetriei sale axiale P 'față de linia y = x.

Soluție: Vom numi (a ', b') coordonatele punctului simetric P 'față de linia y = x. Punctul mediu M al segmentului PP 'are coordonate ((a + a') / 2, (b + b ') / 2) și este, de asemenea, pe linia y = x, astfel încât urmează egalitatea următoare:

a + a '= b + b'

Pe de altă parte, segmentul PP 'are pantă -1, deoarece este perpendicular pe linia y = x cu panta 1, deci urmărește următoarea egalitate:

b - b '= a' -a

Rezolvând cele două egalități anterioare a 'și b', se concluzionează că:

a '= prin acea b' = a.

Adică, având în vedere punctul P (a, b), simetria axială a acesteia în raport cu linia y = x este P '(b, a).

Referințe

1. Arce M., Blázquez S și alții. Transformări ale planului. Recuperat de la: educutmxli.files.wordpress.com
2. Calcul cc. Simetrie axială. Recuperat din: calculo.cc
3. Superprof. Simetrie axială. Recuperat din: superprof.es
4. wikipedia. Simetrie axială. Recuperat din: es.wikipedia.com
5. wikipedia. Simetrie circulară. Recuperat din: en.wikipedia.com