TEOREMA EXISTENȚEI ȘI UNICITĂȚII: DOVADĂ, EXEMPLE ȘI EXERCIȚII - MATEMATICA - 2025

Existența și unicitatea teorema stabilește condițiile necesare și suficiente pentru o ecuație diferențială de ordinul I , cu o condiție inițială dată, să aibă o soluție și pentru această soluție să fie singura.

Totuși, teorema nu oferă nicio tehnică sau indicație despre cum se poate găsi o astfel de soluție. Teorema existenței și unicității este extinsă și la ecuații diferențiale de ordin superior cu condiții inițiale, care este cunoscută sub numele de problema Cauchy.

Figura 1. Este prezentată o ecuație diferențială cu condiția inițială și soluția sa. Teorema existenței și unicității garantează că este singura soluție posibilă.

Enunțul formal al teoremei existenței și unicității este următoarea:

„Pentru o ecuație diferențială y '(x) = f (x, y) cu condiția inițială y (a) = b, există cel puțin o soluție într-o regiune dreptunghiulară a planului XY care conține punctul (a, b), dacă f (x, y) este continuă în regiunea respectivă. Și dacă derivata parțială a f față de y: g = ∂f / ∂y este continuă în aceeași regiune dreptunghiulară, atunci soluția este unică într-un cartier al punctului (a, b) conținut în regiunea de continuitate a fy g. "

Utilitatea acestei teoreme constă mai întâi în cunoașterea care sunt regiunile planului XY în care poate exista o soluție și, de asemenea, știind dacă soluția găsită este singura posibilă sau dacă există alte.

Rețineți că, în cazul în care condiția de unicitate nu este satisfăcută, teorema nu poate prezice câte soluții în total are problema Cauchy: poate este una, două sau mai multe.

Dovada existenței și a teoremei unicității

Figura 2. Charles Émile Picard (1856-1941) este creditat cu una dintre primele dovezi ale teoremei existenței și unicității. Sursa: Wikimedia Commons.

Pentru această teoremă sunt cunoscute două posibile dovezi, una dintre ele fiind dovada lui Charles Émile Picard (1856-1941), iar cealaltă se datorează lui Giuseppe Peano (1858-1932), bazată pe lucrările lui Augustin Louis Cauchy (1789-1857) .

Este de remarcat faptul că cele mai strălucitoare minți matematice ale secolului al XIX-lea au participat la dovada acestei teoreme, astfel încât se poate intui că niciuna dintre ele nu este simplă.

Pentru a dovedi formal teorema, este necesar să se stabilească mai întâi o serie de concepte matematice mai avansate, cum ar fi funcțiile de tip Lipschitz, spațiile Banach, teorema existenței lui Carathéodory și alte câteva, care sunt în afara domeniului de aplicare al articolului.

O mare parte din ecuațiile diferențiale care sunt gestionate în fizică se ocupă de funcții continue în regiunile de interes, prin urmare, ne vom limita la a arăta modul în care se aplică teorema în ecuații simple.

Exemple

- Exemplul 1

Să luăm în considerare următoarea ecuație diferențială cu o condiție inițială:

y '(x) = - y; cu y (1) = 3

Există o soluție pentru această problemă? Este singura soluție posibilă?

Răspunsuri

În primul rând, este evaluată existența soluției ecuației diferențiale și că aceasta îndeplinește și condiția inițială.

În acest exemplu f (x, y) = - și condiția de existență necesită să știm dacă f (x, y) este continuă într-o regiune a planului XY care conține punctul coordonatelor x = 1, y = 3.

Dar f (x, y) = - y este funcția afină, care este continuă în domeniul numerelor reale și există pe toată gama de numere reale.

Prin urmare, se concluzionează că f (x, y) este continuă în R ² , deci teorema garantează existența a cel puțin unei soluții.

Știind acest lucru, este necesar să se evalueze dacă soluția este unică sau dacă, dimpotrivă, există mai multe. Pentru aceasta, este necesar să se calculeze derivata parțială a f în raport cu variabila y:

Apoi , g (x, y) = -1 , care este o funcție constantă, care este de asemenea definit pentru toți R ² și este de asemenea continuă acolo. Rezultă că teorema existenței și unicității garantează că această problemă de valoare inițială are o soluție unică, deși nu ne spune ce este.

- Exemplul 2

Luați în considerare următoarea ecuație diferențială ordinară de prim ordin cu condiția inițială:

y '(x) = 2√y; și (0) = 0.

Există o soluție y (x) la această problemă? Dacă da, stabiliți dacă există unul sau mai mulți.

Răspuns

Considerăm funcția f (x, y) = 2√y. Funcția f este definită doar pentru y≥0, deoarece știm că un număr negativ lipsește o rădăcină reală. Mai mult, f (x, y) este continuă în jumătatea superioară a planului R ² inclusiv axa X, astfel încât existența și teorema unicității garantează cel puțin o soluție în regiunea menționată.

Acum condiția inițială x = 0, y = 0 este la marginea regiunii soluției. Atunci luăm derivata parțială a f (x, y) în raport cu y:

∂f / ∂y = 1 / √y

În acest caz funcția nu este definită pentru y = 0, exact acolo unde este condiția inițială.

Ce ne spune teorema? Ne spune că, deși știm că există cel puțin o soluție în planul jumătății superioare a axei X inclusiv axa X, deoarece condiția de unicitate nu este îndeplinită, nu există nicio garanție că va exista o soluție unică.

Aceasta înseamnă că ar putea exista una sau mai multe soluții în regiunea de continuitate a f (x, y). Și ca întotdeauna, teorema nu ne spune ce ar putea fi.

Exerciții rezolvate

- Exercitiul 1

Rezolvați problema Cauchy din Exemplul 1:

y '(x) = - y; cu y (1) = 3.

Găsiți funcția y (x) care satisface ecuația diferențială și condiția inițială.

Soluţie

În Exemplul 1 s-a stabilit că această problemă are o soluție și este, de asemenea, unică. Pentru a găsi soluția, primul lucru de remarcat este că este o ecuație diferențială de prim grad a variabilelor separabile, care este scrisă astfel:

Împărțirea între și în ambii membri pentru a separa variabilele avem:

Integrala nedeterminată se aplică la ambii membri:

Rezolvarea integralelor nedefinite pe care le avem:

unde C este o constantă de integrare care este determinată de condiția inițială:

Înlocuirea valorii C și rearanjarea acesteia rămâne:

Aplicând următoarea proprietate a logaritmelor:

Expresia de mai sus poate fi rescrisă astfel:

Funcția exponențială cu baza e în ambii membri se aplică pentru a obține:

y / 3 = e ^{(1 - x)}

Ceea ce este echivalent cu:

y = 3e e ^-x

Aceasta este soluția unică a ecuației y '= -y cu y (1) = 3. Graficul acestei soluții este prezentat în figura 1.

- Exercițiul 2

Găsiți două soluții pentru problema prezentată în Exemplul 2:

y '(x) = 2√ (y); și (0) = 0.

Soluţie

De asemenea, este o ecuație a variabilelor separabile, care, scrise sub formă diferențială, arată astfel:

dy / √ (y) = 2 dx

Asigurarea integrală nedeterminată a ambilor membri rămâne:

2 √ (y) = 2 x + C

Deoarece știm că y≥0 în regiunea soluției avem:

y = (x + C) ²

Dar, deoarece condiția inițială x = 0, y = 0 trebuie îndeplinită, atunci constanța C este zero și rămâne următoarea soluție:

y (x) = x ² .

Dar această soluție nu este unică, funcția y (x) = 0 este, de asemenea, o soluție la problema propusă. Existența și teorema unicității aplicate acestei probleme din Exemplul 2 au prezis deja că ar putea exista mai multe soluții.

Referințe

1. Coddington, Earl A .; Levinson, Norman (1955), Teoria ecuațiilor diferențiale ordinare, New York: McGraw-Hill.
2. Enciclopedia matematicii. Teorema lui Cauchy-Lipschitz. Recuperat din: encyclopediaofmath.org
3. Lindelöf, Sur l'application de la méthode de aproximări succesive aux équations différentielles ordinaires du premier ordre; Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Vol. 116, 1894, pp. 454-457. Recuperat din: gallica.bnf.fr.
4. Wikipedia. Metoda aproximărilor succesive ale lui Picard. Recuperat din: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Teorema lui Picard-Lindelöf. Recuperat din: es.wikipedia.com.
6. Zill, D. 1986. Ecuații diferențiale elementare cu aplicații. Sala Prentice.