CARE SUNT LIMITELE TRIGONOMETRICE? (EXERCIȚII REZOLVATE) - MATEMATICA - 2025

De Limitele trigonometrice sunt limitele de funcții astfel încât aceste funcții sunt formate de funcții trigonometrice.

Există două definiții care trebuie cunoscute pentru a înțelege cum se calculează o limită trigonometrică.

Aceste definiții sunt:

- Limita unei funcții «f» atunci când «x» tinde spre «b»: constă în calcularea valorii la care f (x) se apropie pe măsură ce „x” se apropie de „b”, fără a ajunge la „b” ».

- Funcții trigonometrice: funcțiile trigonometrice sunt funcțiile sinusoidale, cosinice și tangente, notate prin păcat (x), cos (x) și respectiv bronzul (x).

Celelalte funcții trigonometrice sunt obținute din cele trei funcții menționate mai sus.

Limitele funcției

Pentru a clarifica conceptul de limită a funcției, vom continua să arătăm câteva exemple cu funcții simple.

- Limita f (x) = 3 când „x” tinde spre „8” este egală cu „3”, deoarece funcția este întotdeauna constantă. Oricât de mult valorează „x”, valoarea f (x) va fi întotdeauna „3”.

- Limita f (x) = x-2 când „x” tinde spre „6” este „4”. De când „x” se apropie de „6”, atunci „x-2” se apropie de „6-2 = 4”.

- Limita lui g (x) = x² când "x" tinde spre "3" este egală cu 9, deoarece atunci când "x" se apropie de "3" atunci "x²" se apropie de "3² = 9" .

După cum se poate observa în exemplele anterioare, calcularea unei limite constă în evaluarea valorii la care „x” tinde în funcție, iar rezultatul va fi valoarea limită, deși acest lucru este valabil doar pentru funcțiile continue.

Există limite mai complicate?

Raspunsul este da. Exemplele de mai sus sunt cele mai simple exemple de limite. În cărțile de calcul, principalele exerciții limită sunt cele care generează o nedeterminare de tipul 0/0, ∞ / ∞, ∞-∞, 0 * ∞, (1) ^ ∞, (0) ^ 0 și (∞) ^ 0.

Aceste expresii se numesc indeterminări, deoarece sunt expresii care nu au sens matematic.

În plus, în funcție de funcțiile implicate în limita inițială, rezultatul obținut la rezolvarea indeterminărilor poate fi diferit în fiecare caz.

Exemple de limite trigonometrice simple

Pentru a rezolva limitele, este întotdeauna foarte util să cunoaștem graficele funcțiilor implicate. Graficele funcțiilor sinusoidale, cosinus și tangent sunt prezentate mai jos.

Câteva exemple de limite trigonometrice simple sunt:

- Calculați limita păcatului (x) când „x” tinde către «0».

Când privim graficul, se poate observa că dacă „x” se apropie de „0” (atât de la stânga cât și de la dreapta), atunci graficul sinusoidal se apropie și de „0”. Prin urmare, limita păcatului (x) când „x” tinde spre „0” este „0”.

- Calculați limita cos (x) când „x” tinde spre „0”.

Observând graficul cosinusului se poate observa că atunci când „x” este aproape de „0” atunci graficul cosinului este aproape de „1”. Aceasta implică faptul că limita cos (x) când „x” tinde spre „0” este egală cu „1”.

Poate exista o limită (să fie un număr), ca în exemplele anterioare, dar se poate întâmpla ca ea să nu existe așa cum se arată în exemplul următor.

- Limita bronzului (x) când „x” tinde spre „Π / 2” din stânga este egală cu „+ ∞”, așa cum se poate observa în grafic. Pe de altă parte, limita de bronz (x) când „x” tinde spre „-Π / 2” din dreapta este egală cu „-∞”.

Identități ale limitelor trigonometrice

Două identități foarte utile la calcularea limitelor trigonometrice sunt:

- Limita «sin (x) / x» când «x» tinde spre «0» este egală cu «1».

- Limita lui ((1-cos (x)) / x »când« x »tinde spre« 0 »este egală cu« 0 ».

Aceste identități sunt utilizate foarte des atunci când aveți un fel de indeterminare.

Exerciții rezolvate

Rezolvați următoarele limite utilizând identitățile descrise mai sus.

- Calculați limita lui «f (x) = sin (3x) / x» când «x» tinde spre «0».

Dacă funcția „f” este evaluată la „0”, se va obține o nedeterminare de tip 0/0. Prin urmare, trebuie să încercăm să rezolvăm această indeterminare folosind identitățile descrise.

Singura diferență între această limită și identitate este numărul 3 care apare în cadrul funcției sinusoidale. Pentru a aplica identitatea, funcția «f (x)» trebuie rescrisă în felul următor «3 * (sin (3x) / 3x)». Acum atât argumentul sinus, cât și numitorul sunt egali.

Deci, atunci când „x” tinde către „0”, folosind identitatea se dă „3 * 1 = 3”. Prin urmare, limita lui f (x) când „x” tinde spre „0” este egală cu „3”.

- Calculați limita lui «g (x) = 1 / x - cos (x) / x» când «x» tinde spre «0».

Când „x = 0” este înlocuit în g (x), se obține o nedeterminare a tipului ∞-∞. Pentru a o rezolva, fracțiile sunt mai întâi scăzute, ceea ce produce "(1-cos (x)) / x".

Acum, aplicând cea de-a doua identitate trigonometrică, avem în vedere că limita lui g (x) când „x” tinde spre „0” este egală cu 0.

- Calculați limita lui «h (x) = 4tan (5x) / 5x» când «x» tinde spre «0».

Din nou, dacă h (x) este evaluat la „0”, se va obține o nedeterminare de tip 0/0.

Rescrierea ca (5x) ca sin (5x) / cos (5x) are ca rezultat h (x) = (sin (5x) / 5x) * (4 / cos (x)).

Folosind această limită de 4 / cos (x) când „x” tinde către „0” este egală cu „4/1 = 4” și se obține prima identitate trigonometrică încât limita de h (x) când „x” tinde un „0” este egal cu „1 * 4 = 4”.

Observare

Limitele trigonometrice nu sunt întotdeauna ușor de rezolvat. Numai exemple de bază au fost prezentate în acest articol.

Referințe

1. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Precalculus Matematica. Sala Prentice PTR.
2. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Precalculus matematica: o abordare de rezolvare a problemelor (2, ed. Ilustrată). Michigan: Sala Prentice.
3. Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Algebra și trigonometria cu geometrie analitică. Pearson Education.
4. Larson, R. (2010). Precalculus (8 ed.). Cengage Learning.
5. Leal, JM și Viloria, NG (2005). Geometrie analitică plan. Mérida - Venezuela: Editorial Venezolana CA
6. Pérez, CD (2006). Precalculation. Pearson Education.
7. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Calcul (ediția a noua). Sala Prentice.
8. Saenz, J. (2005). Calcul diferențial cu funcții transcendente timpurii pentru știință și inginerie (ediția a doua ediție). Ipotenuză.
9. Scott, CA (2009). Geometria planului cartezian, partea: Conics analitice (1907) (ed. Reimprimată). Sursa fulgerului.
10. Sullivan, M. (1997). Precalculation. Pearson Education.