PUNCTE COPLANARE: ECUAȚIE, EXEMPLU ȘI EXERCIȚII REZOLVATE - MATEMATICA - 2025

Punctele coplanare aparțin tuturor aceluiași plan. Două puncte sunt întotdeauna coplanare, deoarece aceste puncte definesc o linie prin care trec avioane infinite. Apoi, ambele puncte aparțin fiecărui plan care trece prin linie și, prin urmare, vor fi întotdeauna coplanare.

Pe de altă parte, trei puncte definesc un singur plan, din care rezultă că trei puncte vor fi întotdeauna coplanare față de planul pe care îl determină.

Figura 1. A, B, C și D sunt coplanare cu planul (Ω). E, F și G nu sunt coplanare la (Ω), ci sunt coplanare cu planul pe care îl definesc. Sursa: F. Zapata.

Peste trei puncte pot fi coplanare sau nu. De exemplu în figura 1, punctele A, B, C și D sunt coplanare cu planul (Ω). Dar E, F și G nu sunt coplanare cu (Ω), deși sunt coplanare cu planul pe care îl definesc.

Ecuația unui avion a dat trei puncte

Ecuația unui plan determinat de trei puncte cunoscute A, B, C este o relație matematică care garantează că orice punct P cu coordonate generice (x, y, z) care îndeplinește ecuația aparține planului menționat.

Afirmația anterioară este echivalentă cu a spune că dacă P de coordonate (x, y, z) îndeplinește ecuația planului, atunci punctul respectiv va fi coplanar cu cele trei puncte A, B, C care au determinat planul.

Pentru a găsi ecuația acestui plan, să începem prin a găsi vectorii AB și AC :

AB =

AC =

Produsul vectorial AB X AC are ca rezultat un vector perpendicular sau normal pe planul determinat de punctele A, B, C.

Orice punct P cu coordonate (x, y, z) aparține planului dacă vectorul AP este perpendicular pe vectorul AB X AC , care este garantat dacă:

AP • (AB X AC) = 0

Acest lucru este echivalent cu a spune că produsul triplu al AP , AB și AC este zero. Ecuația de mai sus poate fi scrisă sub formă de matrice:

Exemplu

Fie punctele A (0, 1, 2); B (1, 2, 3); C (7, 2, 1) și D (a, 0, 1). Ce valoare trebuie să aibă pentru ca cele patru puncte să fie coplanare?

Soluţie

Pentru a găsi valoarea lui a, punctul D trebuie să facă parte din planul determinat de A, B și C, care este garantat dacă satisface ecuația planului.

Dezvoltarea determinantului pe care îl avem:

Ecuația anterioară ne spune că a = -1 pentru egalitatea care trebuie îndeplinită. Cu alte cuvinte, singurul mod prin care punctul D (a, 0,1) este coplanar cu punctele A, B și C este ca a să fie -1. Altfel nu va fi coplanar.

Exerciții rezolvate

- Exercitiul 1

Un avion intersectează axele carteziene X, Y, Z la 1, 2, respectiv 3. Intersecția acestui plan cu axele determină punctele A, B și C. Găsiți componenta Dz a unui punct D, ale cărei componente carteziene sunt:

Cu condiția ca D să fie coplanar cu punctele A, B și C.

Soluţie

Când sunt cunoscute interceptările unui plan cu axele carteziene, se poate folosi forma segmentară a ecuației planului:

x / 1 + y / 2 + z / 3 = 1

Deoarece punctul D trebuie să aparțină planului anterior, acesta trebuie să:

-Dz / 1 + (Dz + 1) / 2 + Dz / 3 = 1

Adică:

-Dz + Dz / 2 + ½ + Dz / 3 = 1

Dz (-1 + ½ + ⅓) = ½

Dz (-1 / 6⅙) = ½

Dz = -3

Din cele de mai sus rezultă că punctul D (3, -2, -3) este coplanar cu punctele A (1, 0, 0); B (0, 2, 0) și C (0, 0, 3).

- Exercițiul 2

Determinați dacă punctele A (0, 5, 3); B (0, 6, 4); C (2, 4, 2) și D (2, 3, 1) sunt coplanare.

Soluţie

Formăm matricea ale cărei rânduri sunt coordonatele DA, BA și CA. Atunci determinantul este calculat și se verifică dacă este sau nu zero.

După efectuarea tuturor calculelor, se concluzionează că acestea sunt coplanare.

- Exercițiul 3

Există două linii în spațiu. Una dintre ele este linia (R) a cărei ecuație parametrică este:

Iar cealaltă este linia (S) a cărei ecuație este:

Arătați că (R) și (S) sunt linii coplanare, adică se află în același plan.

Soluţie

Să începem luând în mod arbitrar două puncte pe linia (R) și două pe linia (S):

Linia (R): λ = 0; A (1, 1, 1) și λ = 1; B (3, 0, 1)

Fie x = 0 pe linia (S) => y = ½; C (0, ½, -1). Și pe de altă parte, dacă facem y = 0 => x = 1; D (1, 0, -1).

Adică am luat punctele A și B care aparțin liniei (R) și punctelor C și D care aparțin liniei (S). Dacă acele puncte sunt coplanare, cele două linii vor fi și ele.

Acum alegem punctul A ca pivot și apoi găsim coordonatele vectorilor AB , AC și AD. Astfel obțineți:

B - A: (3-1, 0 -1, 1 - 1) => AB = (2, -1, 0)

C - A: (0-1, 1/2 -1, -1 - 1) => AC = (-1, -1/2, -2)

D - A: (1-1, 0 -1, -1 - 1) => AD = (0, -1, -2)

Următorul pas este construirea și calcularea determinantului al cărui prim rând sunt coeficienții vectorului AB , al doilea rând sunt cei ai AC și al treilea rând cei ai vectorului AD :

Deoarece determinantul se dovedește a fi nul, putem concluziona că cele patru puncte sunt coplanare. În plus, se poate afirma că liniile (R) și (S) sunt, de asemenea, coplanare.

- Exercițiul 4

Liniile (R) și (S) sunt coplanare, așa cum se arată în exercițiul 3. Găsiți ecuația planului care le conține.

Soluţie

Punctele A, B, C definesc complet acel plan, dar vrem să impunem că orice punct X de coordonate (x, y, z) îi aparține.

Pentru ca X să aparțină planului definit de A, B, C și în care sunt conținute liniile (R) și (S), este necesar ca determinantul format în primul rând de componentele lui AX , în al doilea rând de cei de la AB și în a treia de cei de la AC :

În urma acestui rezultat, ne grupăm astfel:

2 (x-1) + 4 (y-1) -2 (z-1) = 0

Și imediat vedeți că poate fi rescris astfel:

x - 1 + 2y - 2 - z + 1 = 0

Prin urmare x + 2y - z = 2 este ecuația planului care conține liniile (R) și (S).

Referințe

1. Fleming, W. 1989. Precalculus Mathematics. Sala Prentice PTR.
2. Kolman, B. 2006. Algebra liniară. Pearson Education.
3. Leal, JM 2005. Geometrie analitică plană. Mérida - Venezuela: Editorial Venezolana CA
4. Navarro, Rocio. Vectorii. Recuperat din: books.google.co.ve.
5. Pérez, CD 2006. Pre-calcul. Pearson Education.
6. Prenowitz, W. 2012. Conceptele de bază ale geometriei. Rowman & Littlefield.
7. Sullivan, M. 1997. Precalculus. Pearson Education.