PROPORȚIONALITATE COMPUSĂ: EXPLICAȚIE, REGULĂ COMPUSĂ A TREI, EXERCIȚII - MATEMATICA - 2025

Proporționalitatea compusă sau multiplă este raportul de peste două mărimi, care poate fi observat direct și invers proporționalitate între date și necunoscute. Aceasta este o versiune mai avansată de proporționalitate simplă, deși tehnicile utilizate în ambele proceduri sunt similare.

De exemplu, dacă 7 persoane sunt necesare pentru a descărca 10 tone de mărfuri în 3 ore, proporționalitatea compusului poate fi utilizată pentru a calcula câte persoane va fi nevoie pentru a descărca 15 tone în 4 ore.

Sursa: pixabay.com

Pentru a răspunde la această întrebare, este convenabil să se facă un tabel de valori pentru a studia și relaționa mărimile și necunoscutele.

Procedăm la analizarea tipurilor de relații dintre fiecare magnitudine și prezentul necunoscut, care pentru acest caz corespunde numărului de persoane care vor lucra.

Pe măsură ce greutatea mărfii crește, la fel și numărul de persoane necesare pentru descărcare. Din această cauză, relația dintre greutate și lucrători este directă.

Pe de altă parte, pe măsură ce numărul lucrătorilor crește, programul de lucru scade. Datorită acestui fapt, relația dintre oameni și orele de lucru este de tip invers.

Cum se calculează proporționalitățile compuse

Pentru a rezolva exemple precum cea de mai sus, se folosește în mare parte regula compusă a trei metode. Aceasta constă în stabilirea tipurilor de relații între cantități și necunoscute și apoi reprezentarea unui produs între fracții.

În ceea ce privește exemplul inițial, fracțiile corespunzătoare tabelului de valori sunt organizate după cum urmează:

Dar înainte de rezolvarea și rezolvarea necunoscutului, fracțiunile corespunzătoare relației inverse trebuie inversate. Care pentru acest caz corespund timpului variabil. În acest fel, operațiunea de rezolvat va fi:

A cărei singură diferență este inversarea fracției corespunzătoare variabilei de timp 4/3. Procedăm la operarea și ștergerea valorii x.

Astfel, este nevoie de mai mult de unsprezece persoane pentru a putea descărca 15 tone de mărfuri în 4 ore sau mai puțin.

Explicaţie

Proporționalitatea este relația constantă dintre cantitățile care pot fi modificate, care va fi simetrică pentru fiecare dintre cantitățile implicate. Există relații direct și invers proporționale, definind astfel parametrii proporționalității simple sau compuse.

Regula directă a trei

Constă dintr-o relație proporțională între variabile, care arată același comportament atunci când este modificat. Este foarte frecvent la calcularea procentelor care se referă la alte mărimi decât o sută, unde structura sa fundamentală este apreciată.

Ca exemplu, se pot calcula 15% din 63. La prima vedere, acest procent nu poate fi apreciat cu ușurință. Dar punând în aplicare regula celor trei, se poate face următoarea relație: dacă 100% este 63, atunci 15%, cât va fi?

100% ---- 63

15% ---– X

Iar operațiunea corespunzătoare este:

(15%. 63) / 100% = 9,45

În cazul în care semnele procentuale sunt simplificate și se obține cifra 9.45, ceea ce reprezintă 15% din 63.

Regula inversă a trei

După cum indică numele său, în acest caz relația dintre variabile este opusă. Relația inversă trebuie stabilită înainte de a continua calculul. Procedura sa este omologă cu cea a regulii directe a trei, cu excepția investiției în fracția care trebuie calculată.

De exemplu, 3 pictori au nevoie de 5 ore pentru a termina un perete. În câte ore ar termina 4 pictori?

În acest caz, relația este inversă, deoarece numărul pictorilor crește, timpul de lucru ar trebui să scadă. Relația este stabilită;

3 pictori - 5 ore

4 pictori - X ore

Pe măsură ce relația este inversată, ordinea operației este inversată. Aceasta este calea corectă;

(3 pictori). (5 ore) / 4 pictori = 3,75 ore

Termenul de pictori este simplificat, iar rezultatul este de 3,75 ore.

Condiție

Pentru a fi în prezența unui compus sau a unei proporționalități multiple, este necesar să se găsească ambele tipuri de relații între magnitudini și variabile.

- Direct: variabila are același comportament ca necunoscutul. Adică atunci când unul crește sau scade, celălalt este modificat în mod egal.

- Invers: variabila are un comportament antonim față de cel necunoscut. Fracția care definește respectiva variabilă în tabelul de valori trebuie inversată, pentru a reprezenta relația invers proporțională între variabilă și necunoscută.

Verificarea rezultatelor

Este foarte comun să confundați ordinea cantităților atunci când lucrați cu proporționalități compuse, spre deosebire de ceea ce se întâmplă în calculele proporționale obișnuite, a căror natură este în mare parte directă și solubilă printr-o simplă regulă de trei.

Din acest motiv, este important să examinăm ordinea logică a rezultatelor, verificând coerența cifrelor produse de regula compusă din trei.

În exemplul inițial, a face o astfel de greșeală ar rezulta 20 ca rezultat. Adică 20 de persoane să descarce 15 tone de mărfuri în 4 ore.

La prima vedere nu pare un rezultat nebun, dar este curios o creștere de aproape 200% a personalului (de la 7 la 20 de persoane) când creșterea mărfurilor este de 50% și chiar cu o marjă mai mare de timp pentru a efectua. munca.

Astfel, verificarea logică a rezultatelor reprezintă un pas important în implementarea regulii compuse a trei.

lichidare

Deși este mai de bază în natură în ceea ce privește pregătirea matematică, clearance-ul reprezintă un pas important în cazurile de proporționalitate. O autorizare greșită este suficientă pentru a invalida orice rezultat obținut în regula simplă sau compusă din trei.

Istorie

Regula celor trei a devenit cunoscută în Occident prin arabi, cu publicații ale diferiților autori. Printre ei Al-Jwarizmi și Al-Biruni.

Al-Biruni, datorită cunoștințelor sale multiculturale, a avut acces la informații vaste cu privire la această practică în călătoriile sale în India, fiind responsabil pentru cea mai extinsă documentare privind regula celor trei.

El afirmă în cercetările sale că India a fost primul loc în care utilizarea regulii a trei a devenit comună. Scriitorul se asigură că a fost realizat într-un mod fluid în versiunile sale directe, inverse și chiar compuse.

Data exactă când regula celor trei a făcut parte din cunoștințele matematice ale Indiei nu este încă cunoscută. Cu toate acestea, cel mai vechi document care abordează această practică, manuscrisul Bakhshali, a fost descoperit în 1881. În prezent se află la Oxford.

Mulți istorici ai matematicii susțin că acest manuscris datează de la începutul erei actuale.

Exerciții rezolvate

Exercitiul 1

O companie aeriană trebuie să ducă 1.535 de persoane. Se știe că cu 3 avioane ar fi nevoie de 12 zile pentru a ajunge ultimul pasager la destinație. Alte 450 de persoane au ajuns la linia aeriană și sunt comandate 2 avioane pentru a ajuta la această sarcină. Câte zile va dura compania aeriană pentru a transfera fiecare ultim pasager la destinație?

Relația dintre numărul de persoane și zilele de muncă este directă, deoarece numărul de persoane este mai mare, cu atât mai multe zile vor fi necesare pentru a efectua această muncă.

Pe de altă parte, relația dintre avioane și zile este invers proporțională. Pe măsură ce numărul de avioane crește, zilele necesare pentru transportul tuturor pasagerilor scad.

Se face tabelul de valori referitor la acest caz.

Așa cum este detaliat în exemplul inițial, numerotatorul și numitorul trebuie inversate în fracția corespunzătoare variabilei inversă față de necunoscut. Operațiunea este următoarea:

X = 71460/7675 = 9,31 zile

Pentru a transfera 1985 persoane folosind 5 avioane, este nevoie de mai mult de 9 zile.

Exercițiul 2

O recoltă de porumb de 25 de tone este transportată în camioanele de marfă. Se știe că anul precedent le-a luat 8 ore cu un salariu de 150 de lucrători. Dacă pentru acest an, salariile au crescut cu 35%, cât timp le va dura să umple camioanele cu o recoltă de 40 de tone?

Înainte de a reprezenta tabelul de valori, trebuie definit numărul de lucrători pentru acest an. Aceasta a crescut cu 35% față de cifra inițială a 150 de lucrători. Pentru aceasta se folosește o regulă directă de trei.

100% ---- 150

35% ---– X

X = (35.100) / 100 = 52,5. Acesta este numărul de lucrători suplimentari față de anul precedent, obținând un număr total de lucrători de 203, după rotunjirea sumei obținute.

Procedăm la definirea tabelului de date corespunzător

Pentru acest caz, greutatea reprezintă o variabilă direct legată de timpul necunoscut. Pe de altă parte, variabila lucrătorilor are o relație inversă cu timpul. Cu cât este mai mare numărul lucrătorilor, cu atât este mai scurtă ziua lucrătoare.

Luând în considerare aceste considerente și inversând fracția corespunzătoare variabilei lucrătorilor, procedăm la calcul.

X = 40600/6000 = 6,76 ore

Călătoria va dura puțin sub 7 ore.

Exerciții propuse

- Definiți 73% din 2875.

- Calculați numărul de ore în care doarme Teresa, dacă se știe că doarme doar 7% din totalul zilei. Definiți câte ore dormiți pe săptămână.

- Un ziar publică 2000 de exemplare la fiecare 5 ore, folosind doar 2 mașini de imprimat. Câte exemplare va produce în 1 oră, dacă folosește 7 mașini? Cât durează pentru a produce 10.000 de exemplare folosind 4 mașini?

Referințe

1. Enciclopedia Alvarez-inițiere. A. Álvarez, Antonio Álvarez Pérez. EDAF, 2001.
2. Manual complet de instruire primară elementară și superioară: pentru utilizarea profesorilor aspiranți și în special a studenților Școlilor Normale din provincie, volumul 1. Joaquín Avendaño. Tipărirea lui D. Dionisio Hidalgo, 1844.
3. Apropierea rațională a funcțiilor reale. PP Petrushev, Vasil Atanasov Popov. Cambridge University Press, 3 mar. 2011.
4. Aritmetica elementară pentru predarea în școli și colegii din America Centrală. Darío González. Bacsis. Arenales, 1926.
5. Studiul matematicii: privind studiul și dificultățile matematicii. Augustus De Morgan. Baldwin și Cradock, 1830.