PROPRIETĂȚILE EGALITĂȚII - MATEMATICA - 2025

În Proprietățile de egalitate se referă la relația dintre două obiecte matematice, indiferent dacă acestea sunt numere sau variabile. Este notat de simbolul "=", care merge întotdeauna între aceste două obiecte. Această expresie este utilizată pentru a stabili că două obiecte matematice reprezintă același obiect; cu alte cuvinte, că două obiecte sunt același lucru.

Există cazuri în care este banal să folosim egalitatea. De exemplu, este clar că 2 = 2. Cu toate acestea, când vine vorba de variabile, acesta nu mai este banal și are utilizări specifice. De exemplu, dacă avem că y = x și pe de altă parte x = 7, putem concluziona că și y = 7.

Exemplul de mai sus se bazează pe una dintre proprietățile egalității, așa cum veți vedea în scurt timp. Aceste proprietăți sunt esențiale pentru rezolvarea ecuațiilor (egalități care implică variabile), care formează o parte foarte importantă a matematicii.

Care sunt proprietățile egalității?

Proprietate reflectorizantă

Proprietatea reflexivă, în cazul egalității, afirmă că fiecare număr este egal cu sine și este exprimat ca b = b pentru orice număr real b.

În cazul particular al egalității, această proprietate pare a fi evidentă, dar în alte tipuri de relații între numere nu este așa. Cu alte cuvinte, nu orice relație de număr real îndeplinește această proprietate. De exemplu, un astfel de caz al relației „mai puțin decât” (<); nici un număr nu este mai mic decât el însuși.

Proprietate simetrică

Proprietatea simetrică pentru egalitate spune că dacă a = b, atunci b = a. Indiferent ce ordine este folosită în variabile, aceasta va fi păstrată de relația de egalitate.

O anumită analogie a acestei proprietăți cu proprietatea comutativă poate fi observată în cazul adăugării. De exemplu, datorită acestei proprietăți, este echivalent să scrieți y = 4 sau 4 = y.

Proprietate tranzitorie

Proprietatea tranzitivă asupra egalității afirmă că dacă a = b și b = c, atunci a = c. De exemplu, 2 + 7 = 9 și 9 = 6 + 3; prin urmare, prin proprietatea tranzitivă avem 2 + 7 = 6 + 3.

O aplicație simplă este următoarea: să presupunem că Julian are 14 ani și că Mario are aceeași vârstă ca Rosa. Dacă Rosa are aceeași vârstă ca Julián, câți ani are Mario?

În spatele acestui scenariu, proprietatea tranzitivă este utilizată de două ori. Matematic se interpretează astfel: „a” să fie vârsta lui Mario, „b” vârsta lui Rosa și „c” vârsta lui Iulian. Se știe că b = c și că c = 14.

Prin proprietatea tranzitivă avem acea b = 14; adică Rosa are 14 ani. Deoarece a = b și b = 14, folosind din nou proprietatea tranzitivă avem că a = 14; adică vârsta lui Mario are și 14 ani.

Proprietate uniformă

Proprietatea uniformă este aceea că dacă ambele părți ale unei egalități sunt adăugate sau înmulțite cu aceeași sumă, egalitatea este păstrată. De exemplu, dacă 2 = 2, atunci 2 + 3 = 2 + 3, ceea ce este clar, deoarece 5 = 5. Această proprietate este cea mai utilă atunci când încercați să rezolvați o ecuație.

De exemplu, să presupunem că vi se cere să rezolvați ecuația x-2 = 1. Este convenabil să ne amintim că rezolvarea unei ecuații constă în determinarea explicită a variabilei (sau variabilelor) implicate, pe baza unui număr specific sau a unei variabile specificate anterior.

Revenind la ecuația x-2 = 1, ceea ce trebuie să faceți este să găsiți explicit cât valorează x. Pentru a face acest lucru, variabila trebuie ștersă.

S-a învățat în mod eronat că în acest caz, deoarece numărul 2 este negativ, trece la cealaltă parte a egalității cu un semn pozitiv. Dar nu este corect să o spui așa.

Practic, ceea ce faceți este să aplicați proprietatea uniformă, așa cum vom vedea mai jos. Ideea este să ștergeți „x”; adică lăsați-l singur pe o parte a ecuației. Prin convenție este de obicei lăsat pe partea stângă.

În acest scop, numărul care trebuie „eliminat” este -2. Modul de realizare ar fi adăugând 2, deoarece -2 + 2 = 0 și x + 0 = 0. Pentru a face acest lucru fără a modifica egalitatea, trebuie aplicată aceeași operațiune și în cealaltă parte.

Acest lucru îi permite să realizeze proprietatea uniformă: deoarece x-2 = 1, dacă numărul 2 este adăugat pe ambele părți ale egalității, proprietatea uniformă spune că nu este modificată. Atunci avem acel x-2 + 2 = 1 + 2, ceea ce echivalează cu a spune că x = 3. Prin aceasta ecuația va fi rezolvată.

În mod similar, dacă doriți să rezolvați ecuația (1/5) y-1 = 9, puteți continua folosind proprietatea uniformă după cum urmează:

Mai general, se pot face următoarele afirmații:

- Dacă ab = cb, atunci a = c.

- Dacă xb = y, atunci x = y + b.

- Dacă (1 / a) z = b, atunci z = a ×

- Dacă (1 / c) a = (1 / c) b, atunci a = b.

Anulare proprietate

Proprietatea de anulare este un caz particular al proprietății uniforme, luând în considerare în special cazul scăderii și divizării (care, de fapt, corespund și adunării și înmulțirii). Această proprietate tratează acest caz separat.

De exemplu, dacă 7 + 2 = 9, atunci 7 = 9-2. Sau dacă 2y = 6, atunci y = 3 (împărțind câte două pe ambele părți).

Analog cu cazul precedent, prin proprietatea de anulare pot fi stabilite următoarele declarații:

- Dacă a + b = c + b, atunci a = c.

- Dacă x + b = y, atunci x = yb.

- Dacă az = b, atunci z = b / a.

- Dacă ca = cb, atunci a = b.

Proprietatea de înlocuire

Dacă cunoaștem valoarea unui obiect matematic, proprietatea de substituție afirmă că această valoare poate fi substituită în orice ecuație sau expresie. De exemplu, dacă b = 5 și a = bx, atunci înlocuind valoarea lui "b" în a doua egalitate avem că a = 5x.

Un alt exemplu este următorul: dacă „m” împarte „n” și, de asemenea, „n” împarte „m”, atunci trebuie să avem că m = n.

Într-adevăr, a spune că „m” împarte „n” (sau echivalent, că „m” este divizor de „n”) înseamnă că diviziunea m ÷ n este exactă; adică, împărțirea „m” la „n” produce un număr întreg, nu o zecimală. Aceasta se poate exprima spunând că există un "k" întreg, astfel încât m = k × n.

Deoarece „n” împarte și „m”, există un „p” întreg, astfel încât n = p × m. Datorită proprietății de substituție, avem că n = p × k × n, iar pentru ca acest lucru să se întâmple există două posibilități: n = 0, caz în care am avea identitatea 0 = 0; op × k = 1, de unde identitatea n = n.

Să presupunem că „n” este zero. Atunci neapărat p × k = 1; prin urmare, p = 1 și k = 1. Folosind din nou proprietatea de substituție, substituind k = 1 în egalitatea m = k × n (sau echivalent, p = 1 în n = p × m), obținem în sfârșit acea m = n, ceea ce am dorit să dovedim.

Proprietatea de putere în egalitate

Așa cum s-a văzut anterior, dacă o operațiune cum ar fi o adăugare, înmulțire, scădere sau divizare se face în ambii termeni ai unei egalități, se păstrează, în același mod, se pot aplica și alte operații care nu modifică o egalitate.

Cheia este să o efectuați întotdeauna pe ambele părți ale egalității și să vă asigurați din timp că operația poate fi efectuată. Acesta este cazul împuternicirii; adică dacă ambele părți ale unei ecuații sunt ridicate la aceeași putere, avem totuși o egalitate.

De exemplu, de când 3 = 3, deci 3 ² = 3 ² (9 = 9). În general, dat un număr întreg "n", dacă x = y, atunci x ⁿ = y ⁿ .

Proprietatea rădăcină într-o egalitate

Acesta este un caz particular de împuternicire și se aplică atunci când puterea este un număr rațional non-întreg, cum ar fi ½, care reprezintă rădăcina pătrată. Această proprietate afirmă că dacă aceeași rădăcină este aplicată pe ambele părți ale unei egalități (ori de câte ori este posibil), egalitatea este păstrată.

Spre deosebire de cazul anterior, aici trebuie să fii atent cu paritatea rădăcinii care trebuie aplicată, deoarece se știe că rădăcina uniformă a unui număr negativ nu este bine definită.

În cazul în care radicalul este egal, nu există nicio problemă. De exemplu, dacă x ³ = -8, deși este o egalitate, nu puteți aplica o rădăcină pătrată pe ambele părți, de exemplu. Cu toate acestea, dacă puteți aplica o rădăcină cub (ceea ce este și mai convenabil dacă doriți să cunoașteți explicit valoarea lui x), obținând astfel x = -2.

Referințe

1. Aylwin, CU (2011). Logică, seturi și numere. Mérida - Venezuela: Consiliul publicațiilor, Universidad de Los Andes.
2. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Matematica 1 SEP. Prag.
3. Lira, ML (1994). Simon și matematică: text de matematică pentru clasa a doua: cartea elevului. Andres Bello.
4. Preciado, CT (2005). Curs de matematica a 3-a. Editorial Progreso.
5. Segovia, BR (2012). Activități și jocuri matematice cu Miguel și Lucía. Baldomero Rubio Segovia.
6. Toral, C., & Preciado, M. (1985). Al doilea curs de matematică. Editorial Progreso.