- Produse și exemple notabile
- Binomial pătrat
- Produs de binomuri conjugate
- Produs a două binomii cu un termen comun
- Polinomul pătrat
- Binom cubulat
- Cubul unui trinomial
- Exerciții rezolvate de produse notabile
- Exercitiul 1
- Soluţie
- Exercițiul 2
- Soluţie
- Referințe
Produsele remarcabile sunt operațiunile algebrice, unde se exprimă multiplii de polinomii, care nu trebuie rezolvate în mod tradițional, dar cu ajutorul anumitor reguli se pot găsi rezultatele acelorași.
Polinoamele sunt înmulțite cu da, de aceea este posibil să aibă un număr mare de termeni și variabile. Pentru ca procesul să fie mai scurt, se folosesc regulile notabile ale produsului, care permit înmulțirea fără a fi necesar să meargă termen după termen.
Produse și exemple notabile
Fiecare produs notabil este o formulă care rezultă dintr-o factorizare, alcătuită din polinomii de mai mulți termeni, cum ar fi binomi sau trinomi, numiți factori.
Factorii sunt baza unei puteri și au un exponent. Atunci când factorii sunt înmulțiți, trebuie adăugați exponenții.
Există mai multe formule de produs remarcabile, unele sunt mai utilizate decât altele, în funcție de polinoame și sunt următoarele:
Binomial pătrat
Este înmulțirea unui binom în sine, exprimată ca o putere, în care termenii sunt adăugați sau scăzuți:
la. Binomul cu suma pătrată: este egal cu pătratul primului termen, plus de două ori produsul termenilor, plus pătratul celui de-al doilea termen. Se exprimă astfel:
(a + b) 2 = (a + b) * (a + b).
În figura următoare puteți vedea cum se dezvoltă produsul conform regulii menționate anterior. Rezultatul se numește trinomul unui pătrat perfect.
Exemplul 1
(x + 5) ² = x² + 2 (x * 5) + 5²
(x + 5) ² = x² + 2 (5x) + 25
(x + 5) ² = x² + 10x + 25.
Exemplul 2
(4a + 2b) = (4a) 2 + 2 (4a * 2b) + (2b) 2
(4a + 2b) = 8a 2 + 2 (8ab) + 4b 2
(4a + 2b) = 8a 2 + 16 ab + 4b 2 .
b. Binomul unei scăderi pătrate: se aplică aceeași regulă a binomului unei sume, numai în acest caz al doilea termen este negativ. Formula sa este următoarea:
(a - b) 2 = 2
(a - b) 2 = a 2 + 2a * (-b) + (-b) 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 .
Exemplul 1
(2x - 6) 2 = (2x) 2 - 2 (2x * 6) + 6 2
(2x - 6) 2 = 4x 2 - 2 (12x) + 36
(2x - 6) 2 = 4x 2 - 24x + 36.
Produs de binomuri conjugate
Două binomii sunt conjugate atunci când al doilea termen al fiecăruia are semne diferite, adică primul este pozitiv și al doilea negativ sau invers. Se rezolvă prin pătratul fiecărui monomial și scăzând. Formula sa este următoarea:
(a + b) * (a - b)
În figura următoare se dezvoltă produsul a două binomuri conjugate, unde se observă că rezultatul este o diferență de pătrate.
Exemplul 1
(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a 2 + (-6ab) + (6 ab) + (-9b 2 )
(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a 2 - 9b 2 .
Produs a două binomii cu un termen comun
Este unul dintre cele mai complexe și rareori utilizate produse notabile, deoarece este o înmulțire a două binomii care au un termen comun. Regula prevede următoarele:
- Pătratul termenului comun.
- În plus, sumați termenii care nu sunt obișnuiți și apoi înmulțiți-i cu termenul comun.
- Plus suma înmulțirii termenilor care nu sunt obișnuiți.
Este reprezentat în formula: (x + a) * (x + b) și este dezvoltat așa cum se arată în imagine. Rezultatul este un trinomial pătrat non-perfect.
(x + 6) * (x + 9) = x 2 + (6 + 9) * x + (6 * 9)
(x + 6) * (x + 9) = x 2 + 15x + 54.
Există posibilitatea ca al doilea termen (termenul diferit) să fie negativ, iar formula sa este următoarea: (x + a) * (x - b).
Exemplul 2
(7x + 4) * (7x - 2) = (7x * 7x) + (4 - 2) * 7x + (4 * -2)
(7x + 4) * (7x - 2) = 49x 2 + (2) * 7x - 8
(7x + 4) * (7x - 2) = 49x 2 + 14x - 8.
De asemenea, poate fi cazul ca ambii termeni diferiți să fie negativi. Formula sa va fi: (x - a) * (x - b).
Exemplul 3
(3b - 6) * (3b - 5) = (3b * 3b) + (-6 - 5) * (3b) + (-6 * -5)
(3b - 6) * (3b - 5) = 9b 2 + (-11) * (3b) + (30)
(3b - 6) * (3b - 5) = 9b 2 - 33b + 30.
Polinomul pătrat
În acest caz, există mai mult de doi termeni și pentru a-l dezvolta, fiecare este pătrat și adăugat împreună cu de două ori înmulțirea unui termen cu altul; formula sa este: (a + b + c) 2, iar rezultatul operației este un trinomial pătrat.
Exemplul 1
(3x + 2y + 4z) 2 = (3x) 2 + (2y) 2 + (4z) 2 + 2 (6xy + 12xz + 8yz)
(3x + 2y + 4z) 2 = 9x 2 + 4y 2 + 16z 2 + 12xy + 24xz + 16yz.
Binom cubulat
Este un produs remarcabil de complex. Pentru a-l dezvolta, binomul se înmulțește cu pătratul său, după cum urmează:
la. Pentru binomul cubic dintr-o sumă:
- Cubul primului termen, la care se adaugă triplul pătratului primului termen de două ori.
- În plus, triplul primului mandat, ori al doilea pătrat.
- Plus cubul celui de-al doilea termen.
(a + b) 3 = (a + b) * (a + b) 2
(a + b) 3 = (a + b) * (a 2 + 2ab + b 2 )
(a + b) 3 = a 3 + 2a 2 b + ab 2 + ba 2 + 2ab 2 + b 3
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 .
Exemplul 1
(a + 3) 3 = a 3 + 3 (a) 2 * (3) + 3 (a) * (3) 2 + (3) 3
(a + 3) 3 = a 3 + 3 (a) 2 * (3) + 3 (a) * (9) + 27
(a + 3) 3 = a 3 + 9 a 2 + 27a + 27.
b. Pentru binomul cubul unei scăderi:
- Cubul primului termen, minus de trei ori pătratul primului termen de două ori.
- În plus, triplul primului mandat, ori al doilea pătrat.
- Minus cubul celui de-al doilea termen.
(a - b) 3 = (a - b) * (a - b) 2
(a - b) 3 = (a - b) * (a 2 - 2ab + b 2 )
(a - b) 3 = a 3 - 2a 2 b + ab 2 - ba 2 + 2ab 2 - b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 .
Exemplul 2
(b - 5) 3 = b 3 + 3 (b) 2 * (-5) + 3 (b) * (-5) 2 + (-5) 3
(b - 5) 3 = b 3 + 3 (b) 2 * (-5) + 3 (b) * (25) -125
(b - 5) 3 = b 3 - 15b 2 + 75b - 125.
Cubul unui trinomial
Este dezvoltat prin înmulțirea acestuia prin pătratul său. Este un produs remarcabil foarte extins deoarece aveți 3 termeni cubi, plus de trei ori fiecare termen pătrat, înmulțit de fiecare dintre termeni, plus de șase ori produsul celor trei termeni. Văzut într-un mod mai bun:
(a + b + c) 3 = (a + b + c) * (a + b + c) 2
(a + b + c) 3 = (a + b + c) * (a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc)
(a + b + c) 3 = a 3 + b 3 + c 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + 3a 2 c + 3ac 2 + 3b 2 c + 3bc 2 + 6abc.
Exemplul 1
Exerciții rezolvate de produse notabile
Exercitiul 1
Extindeți următorul binom cubed: (4x - 6) 3 .
Soluţie
Amintind că un binom cubed este egal cu primul termen cubed, minus de trei ori pătratul primului termen de două ori; la care se adaugă triplul primului termen, ori de al doilea pătrat, minus cubul celui de-al doilea termen.
(4x - 6) 3 = (4x) 3 - 3 (4x) 2 (6) + 3 (4x) * (6) 2 - (6) 2
(4x - 6) 3 = 64x 3 - 3 (16x 2 ) (6) + 3 (4x) * (36) - 36
(4x - 6) 3 = 64x 3 - 288x 2 + 432x - 36.
Exercițiul 2
Dezvoltați binomul următor: (x + 3) (x + 8).
Soluţie
Există un binom în care există un termen comun, care este x și al doilea termen este pozitiv. Pentru a-l dezvolta, nu trebuie decât să pătrați termenul comun, plus suma termenilor care nu sunt obișnuiți (3 și 8) și apoi să îi multiplicați prin termenul comun, plus suma înmulțirii termenilor care nu sunt obișnuiți.
(x + 3) (x + 8) = x 2 + (3 + 8) x + (3 * 8)
(x + 3) (x + 8) = x 2 + 11x + 24.
Referințe
- Angel, AR (2007). Algebra elementară. Pearson Education ,.
- Arthur Goodman, LH (1996). Algebra și trigonometria cu geometrie analitică. Pearson Education.
- Das, S. (nd). Maths Plus 8. Marea Britanie: Ratna Sagar.
- Jerome E. Kaufmann, KL (2011). Algebra elementară și intermediară: o abordare combinată. Florida: Cengage Learning.
- Pérez, CD (2010). Pearson Education.