POLIGON CONVEX: DEFINIȚIE, ELEMENTE, PROPRIETĂȚI, EXEMPLE - MATEMATICA - 2025

Un poligon convex este o figură geometrică conținută într-un plan care este caracterizat pentru că are toate diagonale în interiorul său și unghiurile sale măsoară mai puțin de 180º. Printre proprietățile sale se numără următoarele:

1) Este format din n segmente consecutive în care ultimul dintre segmentele se alătură primului. 2) Niciunul dintre segmentele nu se intersectează astfel încât să delimiteze planul într-o regiune interioară și o regiune exterioară. 3) Fiecare unghi din regiunea interioară este strict mai mic decât un unghi plan.

Figura 1. Poligonii 1, 2 și 6 sunt convexe. (Pregătit de Ricardo Pérez).

O modalitate simplă de a determina dacă un poligon este convex sau nu este de a lua în considerare linia care trece printr-una din laturile sale, care determină două jumătăți de plan. Dacă în fiecare linie care trece printr-o parte, celelalte laturi ale poligonului sunt în același jumătate plan, atunci este un poligon convex.

Elemente ale unui poligon

Fiecare poligon este format din următoarele elemente:

- Partile

- Vârfuri

Laturile sunt fiecare dintre segmentele consecutive care alcătuiesc poligonul. Într-un poligon niciunul dintre segmentele care îl compun nu poate avea un capăt deschis, în acest caz ar exista o linie poligonală, dar nu un poligon.

Vârfurile sunt punctele de joncțiune ale două segmente consecutive. Într-un poligon, numărul de vârfuri este întotdeauna egal cu numărul de laturi.

Dacă două laturi sau segmente ale unui poligon se intersectează, atunci aveți un poligon încrucișat. Punctul de trecere nu este considerat un vertex. Un poligon încrucișat este un poligon non-convex. Poligonii stele sunt poligoane încrucișate și, prin urmare, nu sunt convexe.

Când un poligon are toate laturile de aceeași lungime, atunci avem un poligon regulat. Toate poligoanele obișnuite sunt convexe.

Poligoane convexe și non-convexe

Figura 1 prezintă mai multe poligoane, unele dintre ele sunt convexe, iar altele nu. Să le analizăm:

Numărul 1 este un poligon (triunghi) cu trei fețe și toate unghiurile interioare sunt sub 180 °, prin urmare este un poligon convex. Toate triunghiurile sunt poligoane convexe.

Numărul 2 este un poligon cu patru fețe (patrulater) unde niciuna dintre laturi nu se intersectează și fiecare unghi interior este mai mic de 180º. Este apoi un poligon convex cu patru laturi (patrulater convex).

Pe de altă parte, numărul 3 este un poligon cu patru laturi, dar unul dintre unghiurile sale interioare este mai mare de 180º, deci nu îndeplinește condiția de convexitate. Adică este un poligon non-convex pe patru fețe numit patrulater concave.

Numărul 4 este un poligon cu patru segmente (laturi), dintre care două se intersectează. Cele patru unghiuri interioare sunt mai mici de 180º, dar întrucât două laturi se intersectează este un poligon cruce non-convex (patrulater încrucișat).

Un alt caz este numărul 5. Acesta este un poligon cu cinci laturi, dar din moment ce unul dintre unghiurile sale interioare este mai mare de 180º, avem apoi un poligon concave.

În cele din urmă, numărul 6, care are și cinci laturi, are toate unghiurile sale interioare mai mici de 180º, deci este un poligon convex cu cinci laturi (pentagon convex).

Proprietățile poligonului convex

1- Un poligon neîncrucișat sau un poligon simplu împarte planul care îl conține în două regiuni. Regiunea interioară și cea exterioară, poligonul fiind granița dintre cele două regiuni.

Dar dacă poligonul este în plus convex, atunci avem o regiune interioară care este pur și simplu conectată, ceea ce înseamnă că luând orice două puncte din regiunea interioară, acesta poate fi întotdeauna unit de un segment care aparține în întregime regiunii interioare.

Figura 2. Un poligon convex este pur și simplu conectat, în timp ce unul concave nu este. (Pregătit de Ricardo Pérez).

2- Fiecare unghi interior al unui poligon convex este mai mic decât un unghi plan (180º).

3- Toate punctele interioare ale unui poligon convex aparțin întotdeauna unuia dintre semi-planurile definite de linia care trece prin două vârfuri consecutive.

4- Într-un poligon convex, toate diagonalele sunt complet conținute în regiunea poligonală interioară.

5- Punctele interioare ale unui poligon convex aparțin în întregime sectorului unghiular convex definit de fiecare unghi interior.

6- Fiecare poligon în care toate vârfurile sale sunt pe o circumferință este un poligon convex care se numește poligon ciclic.

7- Fiecare poligon ciclic este convex, dar nu fiecare poligon convex este ciclic.

8- Orice poligon neîncrucișat (poligon simplu) care are toate laturile sale de lungime egală este convex și este cunoscut sub numele de poligon regulat.

Diagonale și unghiuri în poligoane convexe

9- Numărul total N al diagonalelor unui poligon convex cu n laturi este dat de următoarea formulă:

N = ½ n (n - 3)

Dovadă: Într-un poligon convex cu n laturi ale fiecărui vertex sunt desenate 3 - diagonale, deoarece vertexul în sine și cele două adiacente sunt excluse. Deoarece există n vârfuri, sunt desenate un total de n (n - 2) diagonale, dar fiecare diagonală a fost desenată de două ori, deci numărul de diagonale (fără repetare) este n (n-2) / 2.

10- Suma S a unghiurilor interioare ale unui poligon convex cu n laturi este dată de următoarea relație:

S = (n - 2) 180º

Exemple

Exemplul 1

Hexagonul ciclic este un poligon cu șase laturi și șase vârfuri, dar toate vârfurile sunt pe aceeași circumferință. Fiecare poligon ciclic este convex.

Hexagon ciclic.

Exemplul 2

Determinați valoarea unghiurilor interioare ale unui enegon obișnuit.

Soluție: Enegonul este un poligon cu 9 părți, dar dacă este de asemenea regulat, toate laturile și unghiurile sale sunt egale.

Suma tuturor unghiurilor interioare ale unui poligon cu 9 părți este:

S = (9 - 2) 180º = 7 * 180º = 1260º

Dar există 9 unghiuri interne de măsură egală α, deci trebuie să se îndeplinească următoarea egalitate:

S = 9 α = 1260º

Din care rezultă că măsura α a fiecărui unghi intern al enegonului regulat este:

α = 1260º / 9 = 140º