ORTOEDRU: FORMULE, ZONĂ, VOLUM, DIAGONALĂ, EXEMPLE - MATEMATICA - 2025

Orthohedron este un volumetric sau figura geometrică tridimensională , care se caracterizează prin faptul că șase fețe dreptunghiulare, astfel încât fețele opuse sunt în planuri paralele și sunt dreptunghiuri identice sau congruente. Pe de altă parte, fețele adiacente unei fețe date sunt în plan perpendicular pe cel al feței inițiale.

Ortoedrul poate fi de asemenea considerat ca o prismă ortogonală cu o bază dreptunghiulară, în care unghiurile diedrice formate de planurile a două fețe adiacente unei margini comune măsoară 90 °. Unghiul diedric dintre două fețe este măsurat pe intersecția fețelor cu un plan perpendicular comun acestora.

Figura 1. Ortoedru. Sursa: F. Zapata cu Geogebra.

De asemenea, ortoedrul este un paralelipiped dreptunghi, deoarece astfel se definește paralelepipedul ca figura volumetrică a șase fețe, care sunt paralele două câte două.

În orice paralelipiped, fețele sunt paralelograme, dar în paralelipiped dreptunghic, fețele trebuie să fie dreptunghiulare.

Părți ale ortoedrului

Părțile unui poliedru, precum ortoedrul, sunt:

-Aristas

-Vertices

-Faces

Unghiul dintre două muchii ale unei fețe a ortoedrului coincide cu unghiul diedric format de celelalte două fețe adiacente fiecăreia dintre margini, formând un unghi drept. Următoarea imagine clarifică fiecare concept:

Figura 2. Părțile unui ortoedru. Sursa: F. Zapata cu Geogebra.

-În total, ortoedrul are 6 fețe, 12 muchii și 8 vertexuri.

-Unghiul dintre cele două margini este un unghi drept.

-Unghiul diedric dintre oricare două fețe este, de asemenea, drept.

-În fiecare față există patru vârfuri și la fiecare vertex sunt trei fețe reciproc ortogonale.

Formule de ortoedru

Zonă

Suprafața sau aria unui ortoedru este suma suprafețelor fețelor sale.

Dacă cele trei muchii care se întâlnesc la un vârf au măsurile a, b și c, așa cum se arată în figura 3, atunci fața frontală are zona c⋅b, iar partea inferioară are și zona c⋅b.

Apoi, cele două fețe laterale au fiecare a areab. Și în final, fețele de podea și tavan au fiecare câte un tienenc.

Figura 3. Ortoedru de dimensiuni a, b, c. Diagonala internă D și diagonala externă d.

Adăugarea zonei tuturor fețelor dă:

Luând un factor comun și comandând termenii:

Volum

Dacă ortoedrul este gândit ca o prismă, atunci volumul său este calculat astfel:

În acest caz, podeaua dimensiunilor c și a este luată ca bază dreptunghiulară, deci suprafața bazei este c⋅a.

Înălțimea este dată de lungimea b a marginilor ortogonale fațetelor laturilor a și c.

Înmulțirea zonei bazei (a⋅c) cu înălțimea b dă volumul V al ortoedrului:

Diagonala internă

Într-un ortoedru există două feluri de diagonale: diagonalele exterioare și cele interne.

Diagonalele exterioare sunt pe fețele dreptunghiulare, în timp ce diagonalele interne sunt segmentele care unesc două vârfuri opuse, fiind înțelese prin vârfuri opuse pe cele care nu au nicio margine.

Într-un ortoedru există patru diagonale interne, toate de măsură egală. Lungimea diagonalelor interne poate fi obținută prin aplicarea teoremei Pitagore pentru triunghiurile drepte.

Lungimea d a diagonalei exterioare a feței podelei de ortoadă îndeplinește relația pitagoreică:

d ² = a ² + c ²

În mod similar, diagonala interioară a măsurii D îndeplinește relația pitagoreică:

D ² = d ² + b ² .

Combinând cele două expresii anterioare avem:

D ² = a ² + c ² + b ² .

În cele din urmă, lungimea oricărei diagonale interne a ortoedrului este dată de următoarea formulă:

D = √ (a ² + b ² + c ² ).

Exemple

- Exemplul 1

Un zidar construiește un rezervor în formă de ortoedru ale cărui dimensiuni interne sunt: ​​6 mx 4 m în bază și 2 m înălțime. Se întreabă:

a) Determinați suprafața interioară a rezervorului dacă acesta este complet deschis în partea de sus.

b) Calculați volumul spațiului interior al rezervorului.

c) Găsiți lungimea unei diagonale interioare.

d) Care este capacitatea rezervorului în litri?

Solutie la

Vom lua dimensiunile bazei dreptunghiulare a = 4 m și c = 6 m și înălțimea ca b = 2 m

Zona unui ortoedru cu dimensiunile date este dată de următoarea relație:

A = 2⋅ (a⋅b + b⋅c + c⋅a) = 2⋅ (4 m⋅2 m + 2 m⋅6 m + 6 m⋅4 m)

Adică:

A = 2⋅ (8 m ² + 12 m ² + 24 m ² ) = 2⋅ (44 m ² ) = 88 m ²

Rezultatul anterior este aria ortedrului închis cu dimensiunile date, dar, deoarece este un rezervor complet descoperit în partea superioară a acestuia, pentru a obține suprafața pereților interiori ai rezervorului, trebuie să se scadă zona capacului care lipsește, care este:

c⋅a = 6 m ⋅ 4 m = 24 m ² .

În sfârșit, suprafața interioară a rezervorului va fi: S = 88 m ² - 24 m ² = 64 m ² .

Soluție b

Volumul interior al rezervorului este dat de volumul unui ortoedru al dimensiunilor interioare ale rezervorului:

V = a⋅b⋅c = 4 m ⋅ 2 m ⋅ 6 m = 48 m ³ .

Soluție c

Diagonala interioară a unui octaedru cu dimensiunile interiorului rezervorului are o lungime D dată de:

√ (a ² + b ² + c ² ) = √ ((4 m) ² + (2 m) ² + (6 m) ² )

Efectuarea operațiunilor indicate avem:

D = √ (16 m ² + 4 m ² + 36 m ² ) = √ (56 m ² ) = 2√ (14) m = 7,48 m.

Soluție d

Pentru a calcula capacitatea rezervorului în litri, este necesar să știm că volumul unui decimetru cub este egal cu capacitatea unui litru. Înainte fusese calculat în volum în metri cubi, dar trebuie transformat în decimetri cubi și apoi în litri:

V = 48 m ³ = 48 (10 dm) ³ = 4.800 dm ³ = 4.800 L

- Exercițiul 2

Un acvariu de sticlă are o formă cubică cu o latură de 25 cm. Determinați suprafața în m ² , volumul în litri și lungimea unei diagonale interioare în cm.

Figura 4. Acvariu de sticlă în formă de cub.

Soluţie

Zona este calculată folosind aceeași formulă de ortoedru, dar ținând cont că toate dimensiunile sunt identice:

A = 2⋅ (3 a⋅a) = 6⋅ a ² = 6⋅ (25 cm) ² = 1.250 cm ²

Volumul cubului este dat de:

V = a ³ = (25 cm) ³ = 15.625 cm ³ = 15.625 (0.1 dm) ³ = 15.625 dm ³ = 15.625 L.

Lungimea D a diagonalei interne este:

D = √ (3a ² ) = 25√ (3) cm = 43,30 cm.

Referințe

1. Arias J. GeoGebra: Prisma. Recuperat de pe: youtube.com.
2. Calculation.cc. Exerciții și probleme rezolvate ale zonelor și volumelor. Recuperat din: calculo.cc.
3. Piramida Salvador + ortoedru cu GEOGEBRA (IHM). Recuperat de pe: youtube.com
4. Weisstein, Eric. "Orthohedron". Mathworld. Wolfram Research.
5. Wikipedia. Orthohedron Recuperat din: es.wikipedia.com