NUMERE RAȚIONALE: PROPRIETĂȚI, EXEMPLE ȘI OPERAȚII - MATEMATICA - 2025

Cele Numerele raționale sunt toate numerele pot fi obținute ca împărțirea a două numere întregi. Exemple de numere raționale sunt: ​​3/4, 8/5, -16/3 și cele care apar în figura următoare. Într-un număr rațional se indică coeficientul, fiind posibil să se facă mai târziu, dacă este necesar.

Figura reprezintă orice obiect, rotund pentru un confort mai mare. Dacă vrem să îl împărțim în 2 părți egale, ca în dreapta, mai avem două jumătăți la stânga și fiecare valorează 1/2.

Figura 1. Numerele raționale sunt utilizate pentru a împărți întregul în mai multe părți. Sursa: Freesvg.

Împărțind-o în 4 părți egale, vom obține 4 bucăți și fiecare valorează 1/4, ca în imaginea din centru. Și dacă trebuie împărțit în 6 părți egale, fiecare parte ar valora 1/6, ceea ce vedem în imaginea din stânga.

Desigur, am putea să o împărțim și în două părți inegale, de exemplu am putea păstra 3/4 părți și economisi 1/4 parte. Alte diviziuni sunt de asemenea posibile, cum ar fi 4/6 părți și 2/6 părți. Important este că suma tuturor părților este 1.

În acest fel, este evident că cu numere raționale puteți împărți, număra și distribui lucruri precum alimente, bani, terenuri și tot felul de obiecte în fracțiuni. Și astfel numărul de operații care se pot face cu numere este extins.

Numerele raționale pot fi, de asemenea, exprimate în formă zecimală, așa cum se poate observa în următoarele exemple:

1/2 = 0,5

1/3 = 0,3333… ..

3/4 = 0,75

1/7 = 0.142857142857142857 ………

Mai târziu vom indica cum să trecem de la o formă la alta cu exemple.

Proprietățile numerelor raționale

Numerele raționale, al căror set îl vom nota cu litera Q, au următoarele proprietăți:

-Q include numerele naturale N și numerele întregi Z.

Ținând cont de faptul că orice număr a poate fi exprimat ca coeficient între el și 1, este ușor de observat că printre numerele raționale există și numere naturale și întregi.

Astfel, numărul natural 3 poate fi scris ca o fracție, și, de asemenea, -5:

3 = 3/1

-5 = -5/1 = 5 / -1 = - (5/1)

În acest fel, Q este un set numeric care include un număr mai mare de numere, ceva foarte necesar, deoarece numerele „rotunde” nu sunt suficiente pentru a descrie toate operațiunile posibile de făcut.

-Numerele raționale pot fi adăugate, scăzute, înmulțite și împărțite, rezultatul operației fiind un număr rațional: 1/2 + 1/5 = 7/10; 1/2 - 1/5 = 3/10; (1/2) x (1/5) = 1/10; (1/2) ÷ (1/5) = 5/2.

-Între fiecare pereche de numere raționale se poate găsi întotdeauna un alt număr rațional. De fapt, între două numere raționale există numere raționale infinite.

De exemplu, între raționalele 1/4 și 1/2 sunt raționalele 3/10, 7/20, 2/5 (și multe altele), care pot fi verificate exprimându-le drept zecimale.

-Oricum număr rațional poate fi exprimat ca: i) un număr întreg sau ii) un zecimal limitat (strict) sau periodic: 4/2 = 2; 1/4 = 0,25; 1/6 = 0.16666666 ……

-Un același număr poate fi reprezentat de fracțiuni echivalente infinite și toate aparțin Q. Să vedem acest grup:

Toate reprezintă 0,428571 zecimal …

-De toate fracțiile echivalente care reprezintă același număr, fracția ireductibilă, cea mai simplă dintre toate, este reprezentantul canonic al acestui număr. Reprezentantul canonic al exemplului de mai sus este 3/7.

Figura 2.- Setul Q al numerelor raționale. Sursa: Wikimedia Commons. Uvm Eduardo Artur / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0).

Exemple de numere raționale

-Fracțiuni proprii, cele în care numărătorul este mai mic decât numitorul:

-Fracții improprii, al căror numărător este mai mare decât numitorul:

-Numere naturale și numere întregi:

-Fracții echivalente:

Reprezentarea zecimală a unui număr rațional

Când numărătorul este împărțit la numitor, se găsește forma zecimală a numărului rațional. De exemplu:

2/5 = 0,4

3/8 = 0,375

1/9 = 0.11111 …

6/11 = 0,545454 …

În primele două exemple, numărul de zecimale este limitat. Aceasta înseamnă că, atunci când se face divizarea, se obține în final un rest de 0.

Pe de altă parte, în următoarele două, numărul de zecimale este infinit și de aceea sunt plasate elipsele. În ultimul caz, există un model în zecimale. În cazul fracției 1/9, numărul 1 se repetă la nesfârșit, în timp ce în 6/11 este 54.

Când se întâmplă acest lucru, se zice zecimală periodică și este notată de un tip de îngrijire ca acesta:

Transformă o zecimală într-o fracție

Dacă este o zecimală limitată, virgula este pur și simplu eliminată și numitorul devine unitatea urmată de atâtea zerouri pe cât există cifre în zecimal. De exemplu, pentru a transforma zecimalul 1.26 într-o fracție, scrieți-o astfel:

1,26 = 126/100

Atunci fracția rezultată este simplificată la maxim:

126/100 = 63/50

Dacă zecimalul este nelimitat, prima perioadă este identificată. Apoi acești pași sunt urmați pentru a găsi fracția rezultată:

-Numerătorul este scăderea dintre numărul (fără virgulă sau îngrijire) și partea care nu are îngrijire.

-Denumitorul este un număr întreg cu câte 9, cât există cifre sub circumflex, și câte 0 există figuri în partea zecimală care nu sunt sub circumflex.

Să urmăm această procedură pentru a transforma numărul zecimal 0.428428428 … într-o fracțiune.

-În primul rând, se identifică perioada, care este secvența care se repetă: 428.

-Apoi operația de scădere a numărului fără virgulă sau accent se face: 0428 din partea care nu are circumflex, care este 0. Este astfel 428 - 0 = 428.

-Denumitorul este construit, știind că sub circumflex sunt 3 figuri și toate sunt sub circumflex. Prin urmare, numitorul este 999.

-Final fracția este formată și simplificată, dacă este posibil:

0,428 = 428/999

Nu este posibil să simplificăm mai multe.

Operații cu numere raționale

- Adăugați și scăpați

Fracții cu același numitor

Atunci când fracțiile au același numitor, adăugarea și / sau scăderea acestora este foarte ușoară, deoarece numeratorii sunt pur și simplu adăugați algebric, lăsând la fel ca și completările ca numitorul rezultatului. În cele din urmă, dacă este posibil, este simplificată.

Exemplu

Efectuați următoarea adăugare algebrică și simplificați rezultatul:

Fracția rezultată este deja ireductibilă.

Fracții cu numitori diferiți

În acest caz, suplimentele sunt înlocuite cu fracțiuni echivalente cu același numitor și apoi se urmărește procedura deja descrisă.

Exemplu

Adăugați algebric următoarele numere raționale, simplificând rezultatul:

Pașii sunt:

-Determinați cel mai puțin multiplu comun (mcm) dintre numitorii 5, 8 și 3:

mcm (5,8,3) = 120

Acesta va fi numitorul fracției rezultate fără a simplifica.

-Pentru fiecare fracțiune: împărțiți MCM la numitor și înmulțiți la numărător. Rezultatul acestei operații este plasat, cu semnul său respectiv, în numărătorul fracției. În acest fel, se obține o fracție echivalentă cu originalul, dar cu MCM ca numitor.

De exemplu, pentru prima fracție, numărătorul este construit astfel: (120/5) x 4 = 96 și obținem:

Procedați în același mod pentru fracțiile rămase:

În cele din urmă, fracțiile echivalente sunt înlocuite fără a uita semnul lor și se realizează suma algebrică a numărătorilor:

(4/5) + (14/8) - (11/3) + 2 = (96/120) + (210/120) - (440/120) + (240/120) =

= (96 + 210-440 + 24) / 120 = -110 / 120 = -11/12

- Înmulțirea și divizarea

Înmulțirea și divizarea se fac urmând regulile prezentate mai jos:

Figura 3. Reguli pentru înmulțirea și împărțirea numerelor raționale. Sursa: F. Zapata.

În orice caz, este important să ne amintim că înmulțirea este comutativă, ceea ce înseamnă că ordinea factorilor nu modifică produsul. Acest lucru nu se întâmplă cu împărțirea, așa că trebuie avut grijă să respectăm ordinea dintre dividend și divizor.

Exemplul 1

Efectuați următoarele operații și simplificați rezultatul:

a) (5/3) x (8/15)

b) (-4/5) ÷ (2/9)

Raspunde la

(5/3) x (8/15) = (5 x 8) / (3 x 15) = 15/120 = 1/8

Răspuns b

(-4/5) ÷ (2/9) = (-4 x 9) / (5 x 2) = -36 / 10 = -18/5

Exemplul 2

Luisa avea 45 de dolari. A cheltuit o zecime din ea cumpărând o carte și 2/5 din ceea ce a rămas pe un tricou. Câți bani au mai rămas Luisa? Exprimați rezultatul ca o fracție ireductibilă.

Soluţie

Costul cărții (1/10) x 45 $ = 0,1 x 45 $ = 4,5 USD

Prin urmare, Luisa a rămas cu:

45 - 4,5 $ = 40,5 $

Cu acești bani, Luisa s-a dus la magazinul de îmbrăcăminte și a cumpărat tricoul, al cărui preț este:

(2/5) x 40,5 USD = 16,2 USD

Acum, Luisa are în portofoliu:

40,5 - 16,2 $ = 24,3 $

Pentru a-l exprima ca fracție, se scrie astfel:

24,3 = 243/10

Acest lucru este ireductibil.

Referințe

1. Baldor, A. 1986. Aritmetica. Ediții și distribuții Codex.
2. Carena, M. 2019. Manual de matematică. Universitatea Națională din Litoral.
3. Figuera, J. 2000. Matematică 8. Ediciones Co-Bo.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Sala Prentice.
5. Numerele raționale. Recuperat din: Cimanet.uoc.edu.
6. Numere rationale. Recuperat din: webdelprofesor.ula.ve.