NUMERE COMPLEXE: PROPRIETĂȚI, EXEMPLE, OPERAȚII - MATEMATICA - 2025

Cele Numerele complexe sunt setul numeric care acoperă numere reale și toate rădăcinile polinoame , inclusiv perechi de rădăcini numere negative. Aceste rădăcini nu există în setul de numere reale, dar în numere complexe există soluția.

Un număr complex este format dintr-o parte reală și o parte numită „imaginar”. Partea reală se numește a, de exemplu, și partea imaginară ib, cu a și b numere reale și „i” ca unitate imaginară. În acest fel, numărul complex ia forma:

Figura 1.- Reprezentarea binomială a unui număr complex în termeni de parte reală și parte imaginară. Sursa: Pixabay.

Exemple de numere complexe sunt 2 - 3i, -πi, 1 + (1/2) i. Dar înainte de a opera cu ele, să vedem de unde provine unitatea imaginară, având în vedere această ecuație cuadratică:

x ² - 10x + 34 = 0

În care a = 1, b = -10 și c = 34.

Atunci când aplicăm formula de rezolvare pentru a determina soluția, găsim următoarele:

Cum se determină valoarea √-36? Nu există un număr real care să producă o cantitate negativă pătrat. Atunci se concluzionează că această ecuație nu are soluții reale.

Cu toate acestea, putem scrie acest lucru:

√-36 = √-6 ² = √6 ² (-1) = 6√-1

Dacă definim o anumită valoare x astfel încât:

x ² = -1

Asa de:

x = ± √-1

Iar ecuația de mai sus ar avea o soluție. Prin urmare, unitatea imaginară a fost definită ca:

i = √-1

Așadar:

√-36 = 6i

Mulți matematicieni din antichitate au lucrat la rezolvarea unor probleme similare, în special la Renașterea Girolamo Cardano (1501-1576), Nicolo Fontana (1501-1557) și Raffaele Bombelli (1526-1572).

Ani mai târziu, René Descartes (1596-1650) a numit în exemplu cantitățile „imaginare” ca √-36. Din acest motiv √-1 este cunoscută sub numele de unitate imaginară.

Proprietăți ale numerelor complexe

-Setul de numere complexe este notat ca C și include numerele reale R și numerele imaginare Im. Seturile de numere sunt reprezentate într-o diagramă Venn, așa cum se arată în figura următoare:

Figura 2. Diagrama Venn a seturilor de numere. Sursa: F. Zapata.

-Toate numărul complex este format dintr-o parte reală și o parte imaginară.

-Când partea imaginară a unui număr complex este 0, este un număr real pur.

-Dacă partea reală a unui număr complex este 0, atunci numărul este imaginar pur.

-Doua numere complexe sunt egale daca partea lor reala si partea imaginara sunt aceleasi.

-Cu numere complexe se efectuează operațiunile cunoscute de adunare, scădere, înmulțire, produs și îmbunătățire, rezultând un alt număr complex.

Reprezentarea numerelor complexe

Numerele complexe pot fi reprezentate în diverse moduri. Iată care sunt principalele:

- Forma binomială

Este forma dată la început, unde z este numărul complex, a este partea reală, b este partea imaginară și i este unitatea imaginară:

Sau, de asemenea:

O modalitate de a grafica numărul complex este prin planul complex prezentat în această figură. Axa imaginară Im este verticală, în timp ce axa reală este orizontală și se notează Re.

Numărul complex z este reprezentat în acest plan ca punct de coordonate (x, y) sau (a, b), așa cum se face cu punctele planului real.

Distanța de la origine la punctul z este modulul numărului complex, notat ca r, în timp ce φ este unghiul pe care r îl face cu axa reală.

Figura 3. Reprezentarea unui număr complex în planul complex. Sursa: Wikimedia Commons.

Această reprezentare este strâns legată de cea a vectorilor din planul real. Valoarea r corespunde modulului numărului complex.

- Forma polară

Forma polară constă în exprimarea numărului complex, dând valorile lui r și ale lui φ. Dacă ne uităm la figură, valoarea r corespunde ipotenuzei unui triunghi drept. Picioarele valorează a și b, sau x și y.

Din forma binomială sau binomială, putem trece la forma polă prin:

Unghiul φ este cel format de segmentul r cu axa orizontală sau axa imaginară. Este cunoscut sub numele de argumentul numerelor complexe. În acest fel:

Argumentul are valori infinite, ținând cont că de fiecare dată când o rotație este întoarsă, care valorează 2π radian, r ocupă din nou aceeași poziție. În acest mod general, argumentul lui z, notat Arg (z), este exprimat astfel:

În cazul în care k este un număr întreg și este utilizat pentru a indica numărul de rotații întoarse: 2, 3, 4…. Semnul indică direcția de rotație, dacă este în sens orar sau în sens invers acelor de ceasornic.

Figura 4. Reprezentarea polară a unui număr complex în planul complex. Sursa: Wikimedia Commons.

Și dacă vrem să trecem de la forma polară la forma binomială, folosim raporturile trigonometrice. Din figura anterioară putem vedea că:

x = r cos φ

y = r sin φ

În acest fel z = r (cos φ + i sin φ)

Care este prescurtat astfel:

z = r cis φ

Exemple de numere complexe

Următoarele numere complexe sunt date sub formă binomială:

a) 3 + i

b) 4

d) -6i

Și acestea sub forma unei perechi ordonate:

a) (-5, -3)

b) (0, 9)

c) (7.0)

În cele din urmă, acest grup este dat sub formă polară sau trigonometrică:

a) √2 cis 45º

b) √3 cis 30º

c) 2 cis 315º

Pentru ce sunt ele?

Utilitatea numerelor complexe depășește rezolvarea ecuației cvadratice prezentate la început, deoarece acestea sunt esențiale în domeniul ingineriei și fizicii, în special în:

-Studiul undelor electromagnetice

-Analiza curentului alternativ și a tensiunii

-Modelarea tuturor tipurilor de semnale

-Teoria relativității, unde timpul este asumat ca o magnitudine imaginară.

Operațiuni complexe cu număr

Cu numere complexe putem efectua toate operațiunile care se fac cu cele reale. Unele sunt mai ușor de făcut dacă numerele sunt sub formă binomială, cum ar fi adunarea și scăderea. În schimb, înmulțirea și divizarea sunt mai simple dacă sunt realizate cu forma polară.

Să vedem câteva exemple:

- Exemplul 1

Se adaugă z ₁ = 2 + 5i și z ₂ = -3 -8i

Soluţie

Părțile reale sunt adăugate separat de părțile imaginare:

z ₁ + z ₂ = (2 + 5i) + (-3 -8i) = -1 -3i

- Exemplul 2

Înmulțiți z ₁ = 4 cis 45º și z ₂ = 5 cis 120º

Soluţie

Se poate demonstra că produsul a două numere complexe sub formă polară sau trigonometrică este dat de:

z ₁ . z ₂ = r ₁ .r ₂ cis (φ ₁ + φ ₂ )

În conformitate cu aceasta:

z ₁ . z ₂ = (4 × 5) cis (45 + 120) = 20 cis 165º

cerere

O simplă aplicare a numerelor complexe este de a găsi toate rădăcinile unei ecuații polinomiale precum cea prezentată la începutul articolului.

În cazul ecuației x ² - 10x + 34 = 0, aplicând formula de rezolvare obținem:

Prin urmare, soluțiile sunt:

x ₁ = 5 + 3i

x ₂ = 5 - 3i

Referințe

1. Earl, R. Numere complexe. Recuperat din: maths.ox.ac.uk.
2. Figuera, J. 2000. Matematica 1. Diversified. Ediții CO-BO.
3. Hoffmann, J. 2005. Selecția subiectelor de matematică. Publicații Monfort.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Sala Prentice.
5. Wikipedia. Numere complexe. Recuperat de la: en.wikipedia.org