Există o matrice ortogonală atunci când matricea menționată înmulțită cu transpunerea acesteia are ca rezultat matricea de identitate. Dacă inversa unei matrice este egală cu transpunerea, atunci matricea inițială este ortogonală.
Matricile ortogonale au caracteristica că numărul de rânduri este egal cu numărul de coloane. Mai mult, vectorii rând sunt vectori ortogonali unitați, iar vectorii rânduri de transpunere sunt de asemenea.
Figura 1. Exemplu de matrice ortogonală și modul în care transformă obiectele geometrice. (Pregătit de Ricardo Pérez)
Când o matrice ortogonală este înmulțită de vectorii unui spațiu vectorial, ea produce o transformare izometrică, adică o transformare care nu schimbă distanțele și păstrează unghiurile.
Un reprezentant tipic al matricilor ortogonale sunt matricile de rotație. Transformările matricilor ortogonale pe un spațiu vectorial se numesc transformări ortogonale.
Transformările geometrice de rotație și reflectare a punctelor reprezentate de vectorii lor cartezieni sunt realizate prin aplicarea matricilor ortogonale pe vectorii originali pentru a obține coordonatele vectorilor transformați. Din acest motiv, matricile ortogonale sunt utilizate pe scară largă în procesarea graficelor computerizate.
Proprietăți
O matrice M este ortogonal dacă înmulțită cu transpusa lui M T dă ca rezultat matricea identitate I . În mod similar, produsul transpunerii unei matrici ortogonale prin matricea originală are ca rezultat matricea de identitate:
MM T = M T M = I
Ca o consecință a enunțului anterior, avem că transpunerea unei matrici ortogonale este egală cu matricea sa inversă:
M T = M -1 .
Ansamblul matricilor ortogonale de dimensiune nxn formează grupa ortogonală O (n). Și subsetul de O (n) al matricilor ortogonale cu determinant +1 formează Grupul de matrici speciale unitare SU (n). Matricile grupului SU (n) sunt matrici care produc transformări liniare de rotație, cunoscute și sub numele de grupul de rotații.
Demonstrație
Vrem să arătăm că o matrice este ortogonală dacă și numai dacă, vectorii rând (sau vectorii pe coloană) sunt ortogonali între ei și ai normei 1.
Să presupunem că rândurile unei matrici ortogonale nxn sunt n vectori ortonormali ai dimensiunii n. Dacă este notat cu v 1 , v 2 ,…., V n la vectori deține:
În cazul în care este evident că într-adevăr, setul de vectori rând este un set de vectori ortogonali cu un standard.
Exemple
Exemplul 1
Arătați că matricea 2 x 2 care în primul rând are vectorul v1 = (-1 0) și în al doilea rând, vectorul v2 = (0 1) este o matrice ortogonală.
Soluție: Matricea M este construită și transpunerea sa M T este calculată :
În acest exemplu, matricea M este auto-transpusă, adică matricea și transpunerea ei sunt identice. Înmulțiți M cu transpunerea sa M T :
Se verifică că MM T este egal cu matricea de identitate:
Când matricea M este înmulțită de coordonatele unui vector sau un punct, se obțin noi coordonate care corespund transformării pe care matricea o face pe vector sau punct.
Figura 1 arată modul în care M transformă vectorul u în u ' și, de asemenea, cum M transformă poligonul albastru în poligon roșu. Deoarece M este ortogonală, atunci este o transformare ortogonală, care păstrează distanțele și unghiurile.
Exemplul 2
Să presupunem că aveți o matrice 2 x 2 definită în realitatea dată de următoarea expresie:
Găsiți valorile reale ale a, b, c și d astfel încât matricea M să fie o matrice ortogonală.
Soluție: Prin definiție, o matrice este ortogonală dacă este înmulțită prin transpunerea ei se obține matricea de identitate. Amintind că matricea transpusă este obținută din original, schimbând rânduri pentru coloane, se obține următoarea egalitate:
Realizarea înmulțirii matricei avem:
Egalând elementele matricei stângi cu elementele matricei identitare din dreapta, obținem un sistem de patru ecuații cu patru necunoscute a, b, c și d.
Propunem pentru a, b, c și d următoarele expresii în termeni de raporturi trigonometrice sinus și cosinus:
Cu această propunere și datorită identității trigonometrice fundamentale, prima și a treia ecuație sunt satisfăcute automat în egalitatea elementelor matricei. A treia și a patra ecuație sunt aceleași și în egalitate matricială după înlocuirea valorilor propuse, arată astfel:
ceea ce duce la următoarea soluție:
În sfârșit, se obțin următoarele soluții pentru matricea ortogonală M:
Rețineți că prima dintre soluții are determinant +1, deci aparține grupului SU (2), în timp ce a doua soluție are determinant -1 și, prin urmare, nu aparține acestui grup.
Exemplul 3
Având în vedere următoarea matrice, găsiți valorile lui a și ale b astfel încât să avem o matrice ortogonală.
Soluție: Pentru ca o matrice dată să fie ortogonală, produsul cu transpunerea sa trebuie să fie matricea de identitate. Apoi, produsul matricial al matricei date cu matricea transpusă este realizat, dând următorul rezultat:
În continuare, rezultatul este egalat cu matricea de identitate 3 x 3:
În cel de-al doilea rând, a treia coloană are (ab = 0), dar nu poate fi zero, deoarece altfel egalitatea elementelor celui de-al doilea rând și a doua coloană nu ar fi îndeplinită. Atunci neapărat b = 0. Înlocuind b pentru valoarea 0 avem:
Atunci ecuația este rezolvată: 2a ^ 2 = 1, ale căror soluții sunt: + ½√2 și -½√2.
Luând soluția pozitivă pentru a, se obține următoarea matrice ortogonală:
Cititorul poate verifica cu ușurință că vectorii rând (și, de asemenea, vectorii pe coloane) sunt ortogonali și unitari, adică ortonormali.
Exemplul 4
Arătați că matricea A ai cărei vectori de rând sunt v1 = (0, -1 0) , v2 = (1, 0, 0) și v3 = (0 0 -1) este o matrice ortogonală. În plus, vectori sunt transformați de la baza canonică i, j, k în vectori u1 , u2 și u3 .
Soluție: Trebuie reținut faptul că elementul (i, j) al unei matrice înmulțit cu transpunerea sa, este produsul scalar al vectorului rândului (i) cu cel al coloanei (j) al transpunerii. Mai mult, acest produs este egal cu delta Kronecker în cazul în care matricea este ortogonală:
În cazul nostru arată așa:
v1 • v1 = 0x0 + (-1) x (-1) + 0x0 = 1
v2 • v2 = 1 × 1 + 0x0 + 0x0 = 1
v3 • v3 = 0x0 + 0x0 + (-1) x (-1) = 1
v1 • v2 = 0x1 + (-1) x0 + 0x0 = 0
v2 • v1 = 1 × 0 + 0x (-1) + 0x0 = 0
v2 • v3 = 1 × 0 + 0x (0) + 0x (-1) = 0
v3 • v2 = 0x1 + 0x (0) + (-1) x0 = 0
v1 • v3 = 0x0 + (-1) x (0) + 0x (-1) = 0
v3 • v1 = 0x0 + 0x (-1) + (-1) x0 = 0
Cu ajutorul căruia se arată că este o matrice ortogonală.
Mai mult u1 = A i = (0, 1, 0); u2 = A j = (-1, 0, 0) și în final u3 = A k = (0, 0, -1)
Referințe
- Anthony Nicolaides (1994) Determinanți și matrice. Publicarea trecerii.
- Birkhoff și MacLane. (1980). Algebra modernă, ed. Vicens-Vives, Madrid.
- Casteleiro Villalba M. (2004) Introducere în algebră liniară. Editorial ESIC.
- Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann.
- Jenny Olive (1998) Matematică: un student's Survival Guide. Presa universitară din Cambridge.
- Richard J. Brown (2012) 30-Second Maths: The 50 Most Mind-Expanding Theories in Mathematics. Ivy Press Limited.
- Wikipedia. Matricea ortogonală. Recuperat din: es.wikipedia.com
- Wikipedia. Matricea ortogonală. Recuperat din: en.wikipedia.com