LEGILE EXPONENȚILOR (CU EXEMPLE ȘI EXERCIȚII REZOLVATE) - MATEMATICA - 2025

De Legile exponenți sunt cele care se aplică acel număr care indică de câte ori un număr de bază trebuie să fie multiplicată cu ea însăși. Exponenții sunt cunoscuți și ca puteri. Împuternicirea este o operație matematică formată dintr-o bază (a), exponentul (m) și puterea (b), care este rezultatul operației.

Exponenții sunt folosiți în general atunci când se utilizează cantități foarte mari, deoarece acestea nu sunt altceva decât abrevieri care reprezintă înmulțirea aceluiași număr de o anumită cantitate de ori. Exponenții pot fi atât pozitivi, cât și negativi.

Explicarea legilor exponenților

După cum sa menționat anterior, exponenții sunt o formă scurtă care reprezintă înmulțirea numerelor de mai multe ori de mai multe ori, unde exponentul se raportează doar la numărul din stânga. De exemplu:

2 ³ = 2 * 2 * 2 = 8

În acest caz, numărul 2 este baza puterii, care va fi înmulțită de 3 ori după cum indică exponentul, situat în colțul din dreapta sus al bazei. Există diferite modalități de a citi expresia: 2 ridicate la 3 sau 2 ridicate la cub.

De asemenea, exponenții indică numărul de ori în care pot fi divizați și pentru a diferenția această operație de înmulțire, exponentul are semnul minus (-) în fața acestuia (este negativ), ceea ce înseamnă că exponentul este în numitorul a fracțiune. De exemplu:

2 ^{- 4} = 1/2 * 2 * 2 * 2 = 1/16

Acest lucru nu trebuie confundat cu cazul în care baza este negativă, deoarece va depinde dacă exponentul este ciudat sau chiar pentru a determina dacă puterea va fi pozitivă sau negativă. Deci, trebuie să:

- Dacă exponentul este egal, puterea va fi pozitivă. De exemplu:

(-7) ² = -7 _* -7 = 49.

- Dacă exponentul este ciudat, puterea va fi negativă. De exemplu:

( - 2) ⁵ = (-2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) = - 32.

Există un caz special în care dacă exponentul este egal cu 0, atunci puterea este egală cu 1. Există, de asemenea, posibilitatea ca baza să fie 0; în acest caz, în funcție de exponent, puterea va fi nedeterminată sau nu.

Pentru a efectua operații matematice cu exponenți este necesar să urmați mai multe reguli sau norme care să faciliteze găsirea soluției la aceste operații.

Prima lege: puterea exponentului egală cu 1

Când exponentul este 1, rezultatul va fi aceeași valoare a bazei: a ¹ = a.

Exemple

9 ¹ = 9.

22 ¹ = 22.

895 ¹ = 895.

A doua lege: puterea exponentului egală cu 0

Când exponentul este 0, dacă baza este zero, rezultatul va fi: a ⁰ = 1.

Exemple

1 ⁰ = 1.

323 ⁰ = 1.

1095 ⁰ = 1.

A treia lege: exponent negativ

Deoarece expunerea este negativă, rezultatul va fi o fracțiune, unde puterea va fi numitorul. De exemplu, dacă m este pozitiv, atunci a ^-m = 1 / a ^m .

Exemple

- 3 ^-1 = 1/3.

- 6 ^-2 = 1/6 ² = 1/36.

- 8 ^-3 = 1/8 ³ = 1/512.

A patra lege: înmulțirea puterilor cu o bază egală

Pentru a multiplica puterile unde bazele sunt egale și diferite de 0, baza rămâne și exponenții sunt adăugați: a ^m _* a ⁿ = a ^{m + n} .

Exemple

- 4 ⁴ _* 4 ³ = 4 ^{4 + 3} = 4 ⁷

- 8 ¹ _* 8 ⁴ = 8 ^{1 + 4} = 8 ⁵

- 2 ² _* 2 ⁹ = 2 ^{2 + 9} = 2 ¹¹

A cincea lege: împărțirea puterilor cu o bază egală

Pentru a împărți puterile în care bazele sunt egale și diferite de 0, baza este păstrată și exponenții se scad astfel: a ^m / a ⁿ = a ^m-n .

Exemple

- 9 cu ² /9 ¹ = 9 ^{(2 - 1)} = 9 ¹ .

- 6 de ¹⁵ /6 ^brumărel = 6 ^(15-10) = 6 ⁵ .

- 49 ^decembrie / 49 ⁶ = 49 ^(12-6) = 49 ⁶ .

A șasea lege: înmulțirea puterilor cu o bază diferită

Această lege are opusul celor exprimate în a patra; adică dacă aveți baze diferite, dar cu aceiași exponenți, bazele se înmulțesc și se menține exponentul: a ^m _* b ^m = (a _* b) ^m .

Exemple

- 10 ² _* 20 ² = (10 _* 20) ² = 200 ² .

- 45 ¹¹ _* 9 ¹¹ = (45 * 9) ^{11 =} 405 ¹¹ .

Un alt mod de a reprezenta această lege este atunci când o înmulțire este ridicată la o putere. Astfel, exponentul va aparține fiecăruia dintre termenii: (a _* b) ^m = a ^m _* b ^m .

Exemple

- (5 _* 8) ⁴ = 5 ⁴ _* 8 ⁴ = 40 ⁴ .

- (23 * 7) ⁶ = 23 ⁶ _* 7 ⁶ = 161 ⁶ .

A șaptea lege: împărțirea puterilor cu o bază diferită

Dacă aveți baze diferite, dar cu aceeași exponenți, împărțiți bazele și păstrați exponentul: a ^m / b ^m = (a / b) ^m .

Exemple

- 30 ³ / cu 2 ³ = (2/30) ³ = 15 ³ .

- 440 ⁴ /80 la ⁴ = (440/80) ⁴ = 5.5 ⁴ .

În mod similar, atunci când o diviziune este ridicată la o putere, exponentul va aparține în fiecare dintre termenii: (a / b) ^m = a ^m / b ^m .

Exemple

- (8/4) ⁸ = 8 ⁸ / cu 4 ⁸ = 2 ⁸ .

- (25/5) ² = 25 ² /5 ² = 5 ² .

Există cazul în care exponentul este negativ. Apoi, pentru a fi pozitiv, valoarea numărătorului este inversată cu cea a numitorului, după cum urmează:

- (a / b) ^-n = (b / a) ⁿ = b ⁿ / a ⁿ .

- (4/5) ^-9 = (5/4) ⁹ = 5 ⁹ /4 ⁴ .

A opta lege: puterea unei puteri

Când aveți o putere care este ridicată la o altă putere - adică doi exponenți în același timp-, baza este menținută și exponenții sunt înmulțiți: (a ^m ) ⁿ = a ^{m * n} .

Exemple

- (8 ³ ) ² = 8 ^{(3 * 2)} = 8 ⁶ .

- (13 ⁹ ) ³ = 13 ^{(9 * 3)} = 13 ²⁷ .

- (238 ¹⁰ ) ¹² = 238 ^{(10 * 12)} = 238 ¹²⁰ .

A noua lege: exponent fracțional

Dacă puterea are o fracție ca exponent, aceasta este rezolvată transformând-o într-o rădăcină a n-a, unde numărătorul rămâne ca exponent și numitorul reprezintă indicele rădăcinii:

Exemplu

Exerciții rezolvate

Exercitiul 1

Calculați operațiunile între puteri care au baze diferite:

2 ⁴ _* 4 ⁴ /8 ² .

Soluţie

Aplicând regulile exponenților, bazele sunt înmulțite în numărător și exponentul este menținut, astfel:

2 ⁴ _* 4 ⁴ /8 ² = (2 _* 4) ⁴ /8 ² = 8 ⁴ /8 ²

Acum, având în vedere că avem aceleași baze, dar cu exponenți diferiți, baza este păstrată și exponenții se scad:

8 cu ⁴ /8 ² = 8 ^(4-2) = 8 ²

Exercițiul 2

Calculați operațiunile dintre puterile ridicate la o altă putere:

(3 ² ) ³ _* (2 _* 6 ⁵ ) ^-2 _* (2 ² ) ³

Soluţie

Aplicând legile, trebuie să:

(3 ² ) ³ _* (2 _* 6 ⁵ ) ^-2 _* (2 ² ) ³

= 3 ⁶ _* 2 ^-2 _* 2 ^-10 _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^{(-2) + (- 10)} _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^-12 _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^{(-12) + (6)}

= 3 ⁶ _* 2 ⁶

= (3 _* 2) ⁶

= 6 ⁶

= 46.656

Referințe

1. Aponte, G. (1998). Fundamente ale matematicii de bază. Pearson Education.
2. Corbalán, F. (1997). Matematică aplicată vieții de zi cu zi.
3. Jiménez, JR (2009). Matematica 1 SEP.
4. Max Peters, WL (1972). Algebră și trigonometrie.
5. Rees, PK (1986). Reverte.