LINIE PERPENDICULARĂ: CARACTERISTICI, EXEMPLE, EXERCIȚII - MATEMATICA - 2025

O linie perpendiculară este una care formează un unghi de 90º față de o altă linie, curbă sau suprafață. Rețineți că atunci când două linii sunt perpendiculare și se află pe același plan, atunci când se intersectează formează patru unghiuri identice, fiecare de 90 °.

Dacă unul dintre unghiuri nu este 90 °, se spune că liniile sunt oblice. Liniile perpendiculare sunt comune în proiectare, arhitectură și construcție, de exemplu rețeaua de conducte din imaginea următoare.

Figura 1. Rețea de conducte în unghi drept și numeroase linii perpendiculare. Câte unghiuri de 90º pot fi numărate în această imagine? Sursa: Piqsels.

Orientarea liniilor perpendiculare poate fi diversă, cum ar fi cele prezentate mai jos:

Figura 2. Liniile perpendiculare pe plan. Sursa: F. Zapata.

Indiferent de poziție, liniile perpendiculare una pe cealaltă sunt recunoscute prin identificarea unghiului dintre ele ca fiind 90 °, cu ajutorul celui care are loc.

Rețineți că, spre deosebire de liniile paralele din plan, care nu se intersectează niciodată, liniile perpendiculare o fac întotdeauna într-un punct P, numit piciorul uneia dintre linii pe cealaltă. Prin urmare, două linii perpendiculare sunt, de asemenea, în poziție de blocare.

Orice linie are infinite perpendiculare cu ea, deoarece doar mutând segmentul AB spre stânga sau spre dreapta pe segmentul CD, vom avea noi perpendiculare cu un alt picior.

Cu toate acestea, perpendiculara care trece tocmai prin punctul mediu al unui segment se numește bisectoarea acelui segment.

Exemple de linii perpendiculare

Liniile perpendiculare sunt comune în peisajul urban. În imaginea următoare (figura 3) au fost evidențiate doar câteva dintre numeroasele linii perpendiculare care pot fi văzute în fațada simplă a acestei clădiri și elementele sale, cum ar fi ușile, conductele, treptele și altele.

Figura 3. Există un număr mare de linii perpendiculare pe fațada unei clădiri comune ca aceasta. Sursa: Richard Kang prin Flickr.

Lucrul bun este că trei linii perpendiculare între ele ne ajută să stabilim locația punctelor și obiectelor în spațiu. Sunt axele de coordonate identificate ca axa x, axa y și axa z, vizibile clar în colțul unei camere dreptunghiulare ca cea de mai jos:

Figura 4. Sistemul de axe carteziene este format din trei linii perpendiculare între ele, fiecare având o direcție preferențială în spațiu. Credite pentru imaginea din stânga: treybunn 2 prin Flickr. Imagine corectă; Needpix.

În panorama orașului, pe partea dreaptă, se observă și perpendicularitatea dintre zgârie-nori și sol. Primul pe care l-am spune este de-a lungul axei z, în timp ce pământul este un plan, care în acest caz este planul xy.

Dacă pământul constituie planul xy, zgârie-norul este, de asemenea, perpendicular pe orice bulevardă sau stradă, ceea ce garantează stabilitatea acestuia, deoarece o structură înclinată este instabilă.

Și pe străzi, oriunde există colțuri dreptunghiulare, există linii perpendiculare. Multe avenuri și străzi au o dispunere perpendiculară, atât timp cât terenul și caracteristicile geografice o permit.

Pentru a exprima o perpendicularitate prescurtată între linii, segmente sau vectori, se folosește simbolul ⊥. De exemplu, dacă linia L ₁ este perpendiculară pe linia L ₂ , scriem:

L ₁ ⊥ L ₂

Mai multe exemple de linii perpendiculare

- În proiectare, liniile perpendiculare sunt foarte prezente, deoarece multe obiecte comune se bazează pe pătrate și dreptunghiuri. Aceste patrulaterale se caracterizează prin a avea unghiuri interne de 90 °, deoarece laturile lor sunt paralele două câte două:

Figura 5. Pătratele și dreptunghiurile fac parte din multe modele, cum ar fi această simplă cutie de carton pentru a stoca marfa. Sursa: F. Zapata.

- Câmpurile în care se practică diferite sporturi sunt demarcate de numeroase pătrate și dreptunghiuri. Acestea conțin, la rândul lor, linii perpendiculare.

- Două dintre segmentele care alcătuiesc un triunghi drept sunt perpendiculare între ele. Acestea se numesc picioarele, în timp ce linia rămasă se numește hipotenuză.

- Liniile vectorului câmpului electric sunt perpendiculare pe suprafața unui conductor în echilibru electrostatic.

- Pentru un conductor încărcat, liniile echipotențiale și suprafețele sunt întotdeauna perpendiculare cu cele ale câmpului electric.

- În sistemele de conducte sau conducte utilizate pentru transportul diferitelor tipuri de fluide, cum ar fi gazul care apare în figura 1, este comun ca coatele să fie prezente în unghi drept. Prin urmare, ele formează linii perpendiculare, cum este cazul unei camere de cazane:

Figura 6. Țevi într-o cameră de cazane. Sursa: Wikimedia Commons. Roger McLassus / CC BY-SA (http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/)

Exerciții

- Exercitiul 1

Desenați două linii perpendiculare folosind o riglă și o busolă.

Soluţie

Este foarte simplu de făcut, urmând acești pași:

-Prima linie este desenată, numită AB (negru).

-Deasupra (sau mai jos, dacă preferați) marcați punctul P, prin care va trece perpendicularul. Dacă P este chiar deasupra (sau sub) mijlocul lui AB, acea perpendiculară este bisectoarea segmentului AB.

-Cu busola centrată pe P, desenați un cerc care taie AB în două puncte, numit A 'și B' (roșu).

-Cumpasul este deschis la A'P, este centrat pe A 'și se trage o circumferință care trece prin P (verde).

-Repetați pasul anterior, dar acum deschidând măsura lungimea segmentului B'P (verde). Ambele arcuri ale circumferinței se intersectează în punctul Q sub P și bineînțeles la acesta din urmă.

-Punctele P și Q sunt unite cu rigla și linia perpendiculară (albastru) este gata.

-În final, toate construcțiile auxiliare trebuie șterse cu atenție, lăsându-le doar pe cele perpendiculare.

Figura 6. Trasarea liniilor perpendiculare cu o riglă și busolă. Sursa: Wikimedia Commons.

- Exercițiul 2

Două linii L ₁ și L ₂ sunt perpendiculare dacă pantele respective m ₁ și m ₂ întâlnesc această relație:

m ₁ = -1 / m ₂

Având în vedere linia y = 5x - 2, găsiți o linie perpendiculară pe ea și care trece prin punctul (-1, 3).

Soluţie

-Primul este panta liniei perpendiculare m _⊥ , așa cum este indicat în enunț. Panta liniei inițiale este m = 5, coeficientul care însoțește „x”. Asa de:

m _⊥ = -1/5

-Apoi se construiește ecuația liniei perpendiculare y _⊥, înlocuind valoarea găsită anterior:

y _⊥ = -1 / 5x + b

-De ce valoarea b este determinată, cu ajutorul punctului dat de enunț, (-1,3), deoarece linia perpendiculară trebuie să treacă prin ea:

y = 3

x = -1

substituind:

3 = -1/5 (-1) + b

Rezolvați valoarea b:

b = 3- (1/5) = 14/5

-În final, ecuația finală este construită:

și _⊥ = -1 / 5x + 14/5

Referințe

1. Baldor, A. 2004. Geometria planului și spațiului. Publicatii culturale.
2. Clemens, S. 2001. Geometrie cu aplicații și rezolvarea problemelor. Addison Wesley.
3. Matematica este distractivă.Liniile perpendiculare. Recuperat de la: mathisfun.com.
4. Institutul Monterey. Linii perpendiculare. Recuperat de la: montereyinstitute.org.
5. Wikipedia. Linii perpendiculare. Recuperat de la: es.wikipedia.org.