- Exemple de grad al unui polinom
- Tabelul 1. Exemple de polinoame și gradele acestora
- Procedura de lucru cu polinomii
- Ordonați, reduceți și completați un polinom
- Importanța gradului unui polinom în plus și scădere
- Exerciții rezolvate
- - Exercițiu rezolvat 1
- Soluţie
- - Exercițiu rezolvat 2
- Soluţie
- Referințe
Gradul unui polinom într - o variabilă este dată de termenul care are cel mai mare exponent și dacă polinomul are două sau mai multe variabile, atunci gradul este determinată de suma exponenților fiecare termen, suma mai mare fiind gradul a polinomului.
Să vedem cum să determinăm gradul polinomului într-un mod practic.
Figura 1. Faimoasa ecuație a lui Einstein pentru energia E este un monomial de gradul 1 absolut pentru masa variabilă, notată cu m, deoarece viteza luminii c este considerată constantă. Sursa: Piqsels.
Să presupunem că polinomul P (x) = -5x + 8x 3 + 7 - 4x 2 . Acest polinom este o variabilă, în acest caz este variabila x. Acest polinom este format din mai mulți termeni, care sunt următorii:
Și acum care este exponentul? Răspunsul este 3. Prin urmare, P (x) este un polinom de gradul 3.
Dacă polinomul în cauză are mai mult de o variabilă, atunci gradul poate fi:
-Absolut
-În raport cu o variabilă
Gradul absolut se găsește așa cum se explică la început: adăugarea exponenților fiecărui termen și selectarea celui mai mare.
În schimb, gradul polinomului în raport cu una dintre variabile sau litere este cea mai mare valoare a exponentului pe care îl are litera respectivă. Punctul va deveni mai clar cu exemplele și exercițiile rezolvate din secțiunile următoare.
Exemple de grad al unui polinom
Polinoamele pot fi clasificate în funcție de grad și pot fi de gradul I, gradul doi, gradul al treilea și așa mai departe. Pentru exemplul din figura 1, energia este un monomial de prim grad pentru masă.
De asemenea, este important de menționat că numărul de termeni pe care un polinom îl are este egal cu gradul plus 1. Astfel:
-Polomomele de gradul întâi au 2 termeni: a 1 x + a o
-Polinomul de gradul doi are 3 termeni: a 2 x 2 + a 1 x + a o
-Un polinom de gradul al treilea are 4 termeni: a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a sau
Si asa mai departe. Cititorul atent va fi observat că polinoamele din exemplele anterioare sunt scrise în formă descrescătoare, adică plasând primul termen cu cel mai mare grad.
Următorul tabel prezintă diverse polinoame, atât ale uneia cât și ale mai multor variabile și ale gradelor lor absolute absolute:
Tabelul 1. Exemple de polinoame și gradele acestora
| polinom | grad |
|---|---|
| 3x 4 + 5x 3 -2x + 3 | 4 |
| 7x 3 -2x 2 + 3x-6 | 3 |
| 6 | 0 |
| x-1 | unu |
| x 5- bx 4 + abx 3 + ab 3 x 2 | 6 |
| 3x 3 și 5 + 5x 2 și 4 - 7xy 2 + 6 | 8 |
Ultimele două polinoame au mai mult de o variabilă. Dintre acestea, termenul cu cel mai înalt grad absolut a fost evidențiat cu caractere aldine, astfel încât cititorul să poată verifica rapid gradul. Este important să ne amintim că atunci când variabila nu are un exponent scris, se înțelege că respectivul exponent este egal cu 1.
De exemplu, în termenul evidențiat ab 3 x 2 există trei variabile, și anume: a, b și x. În acest termen, a este ridicat la 1, adică:
a = a 1
Prin urmare, ab 3 x 2 = a 1 b 3 x 2
Deoarece exponentul lui b este 3 și cel al lui x este 2, rezultă imediat că gradul acestui termen este:
1 + 3 + 2 = 6
Y este gradul absolut al polinomului, deoarece niciun alt termen nu are un grad mai mare.
Procedura de lucru cu polinomii
Atunci când lucrați cu polinoame, este important să acordați atenție gradului acestuia, întrucât mai întâi și înainte de a efectua orice operație, este convenabil să urmați acești pași, în care gradul oferă informații foarte importante:
-Prinsește polinomul de preferință în direcție descrescătoare. Astfel, termenul cu cel mai înalt grad este în stânga și termenul cu cel mai mic grad este în dreapta.
-Reduce termeni similari, o procedură care constă în adăugarea algebrică a tuturor termenilor cu aceeași variabilă și grad găsite în expresie.
-Dacă este necesar, polinoamele sunt completate, introducând termeni al căror coeficient este 0, în cazul în care lipsesc termeni cu un exponent.
Ordonați, reduceți și completați un polinom
Având în vedere polinomul P (x) = 6x 2 - 5x 4 - 2x + 3x + 7 + 2x 5 - 3x 3 + x 7 -12, se cere să se ordoneze în ordine descrescătoare, se reduc termenii similari dacă există, și se completează termenii care lipsesc dacă sunt corecte.
Primul lucru pe care trebuie să-l căutăm este termenul cu cel mai mare exponent, care este gradul polinomului, care se dovedește a fi:
x 7
Prin urmare, P (x) este de gradul 7. Atunci polinomul este ordonat, începând cu acest termen din stânga:
P (x) = x 7 + 2x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 6x 2 - 2x + 3x + 7 -12
Acum termenii similari se reduc, care sunt următoarele: - 2x și 3x pe de o parte. Și 7 și -12 pe de altă parte. Pentru a le reduce, coeficienții sunt adăugați algebric și variabila este lăsată neschimbată (dacă variabila nu apare lângă coeficient, nu uitați că x 0 = 1):
-2x + 3x = x
7 -12 = -5
Înlocuiți aceste rezultate în P (x):
P (x) = x 7 + 2x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 6x 2 + x -5
Și în final polinomul este examinat pentru a vedea dacă lipsește vreun exponent și, într-adevăr, un termen al cărui exponent este 6 lipsește, de aceea este completat cu zerouri ca acesta:
P (x) = x 7 + 0x 6 + 2x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 6x 2 + x - 5
Acum se observă că polinomul a rămas cu 8 termeni, deoarece așa cum s-a spus anterior, numărul de termeni este egal cu gradul + 1.
Importanța gradului unui polinom în plus și scădere
Cu polinoame poți efectua operații de adunare și scădere, în care se adaugă sau scade doar termeni similari, care sunt aceiași cu aceeași variabilă și același grad. Dacă nu există termeni similari, adăugarea sau scăderea este indicată pur și simplu.
Odată ce s-a efectuat adăugarea sau scăderea, aceasta din urmă fiind suma opusă, gradul polinomului rezultat este întotdeauna egal sau mai mic decât gradul polinomului adăugând cel mai înalt grad.
Exerciții rezolvate
- Exercițiu rezolvat 1
Găsiți următoarea sumă și determinați gradul său absolut:
a 3 - 8ax 2 + x 3 + 5a 2 x - 6ax 2 - x 3 + 3a 3 - 5a 2 x - x 3 + a 3 + 14ax 2 - x 3
Soluţie
Este un polinom cu două variabile, deci este convenabil să se reducă termenii similari:
a 3 - 8ax 2 + x 3 + 5a 2 x - 6ax 2 - x 3 + 3a 3 - 5a 2 x - x 3 + a 3 + 14ax 2 - x 3 =
= a 3 + 3a 3 + a 3 - 8ax 2 - 6ax 2 + 14ax 2 + 5a 2 x - 5a 2 x + x 3 - x 3 - x 3 - x 3 =
= 5a 3 - 2x 3
Ambii termeni sunt de gradul 3 în fiecare variabilă. Prin urmare, gradul absolut al polinomului este 3.
- Exercițiu rezolvat 2
Exprima aria figurii geometrice a planului următor ca polinom (figura 2 stânga). Care este gradul polinomului rezultat?
Figura 2. În stânga, figura pentru exercițiul rezolvat 2 și în dreapta, aceeași figură se descompune în trei zone a căror expresie este cunoscută. Sursa: F. Zapata.
Soluţie
Deoarece este o arie, polinomul rezultat trebuie să fie de gradul 2 în variabila x. Pentru a determina o expresie adecvată pentru zonă, figura este descompusă în zone cunoscute:
Zona unui dreptunghi și a unui triunghi sunt respectiv: baza x înălțimea și baza x înălțimea / 2
A 1 = x. 3x = 3x 2 ; A 2 = 5. x = 5x; A 3 = 5. (2x / 2) = 5x
Notă : baza triunghiului este 3x - x = 2x și înălțimea sa este 5.
Acum se adaugă cele trei expresii obținute, cu aceasta avem aria figurii în funcție de x:
3x 2 + 5x + 5x = 3x 2 + 10x
Referințe
- Baldor, A. 1974. Algebră elementară. Cultural Venezolana SA
- Jiménez, R. 2008. Algebra. Sala Prentice.
- Wikimanuale. Polinomiale. Recuperat din: es. wikibooks.org.
- Wikipedia. Grad (polinomial). Recuperat de la: es.wikipedia.org.
- Zill, D. 1984. Algebră și trigonometrie. Mac Graw Hill.