DIVIZIUNEA SINTETICĂ: METODĂ ȘI EXERCIȚII REZOLVATE - MATEMATICA - 2025

Diviziune sintetică este un mod simplu de a diviza polinomul P (x) , oricare dintre forma d (x) = x - c. De exemplu, polinomul P (x) = (x ⁵ + 3x ⁴ -7x ³ + 2x ² -8x + 1) poate fi reprezentat ca înmulțirea celor două cele mai simple polinoame (x + 1) și (x ⁴ + 2x ³ ).

Este un instrument foarte util, deoarece, pe lângă faptul că ne permite să împărțim polinoamele, ne permite să evaluăm și un polinom P (x) la orice număr c, care la rândul nostru ne spune cu precizie dacă numărul menționat este un zero al polinomului sau nu.

Datorită algoritmului de diviziune, știm că dacă avem două polinomii ne-constante P (x) și d (x), există polinomii unice q (x) și r (x) astfel încât este adevărat că P (x) = q (x) d (x) + r (x), unde r (x) este zero sau mai mic decât q (x). Aceste polinoame sunt cunoscute drept coeficient și, respectiv, rest sau rest.

Cu ocazia când polinomul d (x) este de forma x- c, diviziunea sintetică ne oferă un mod scurt de a găsi cine sunt q (x) și r (x).

Metoda divizării sintetice

Fie P (x) = a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + … + a ₁ x + a ₀ polinomul pe care vrem să îl împărțim și d (x) = xc divizorul. Pentru a împărți prin metoda divizării sintetice, procedăm după cum urmează:

1- Scriem coeficienții lui P (x) în primul rând. Dacă nu apare vreo putere X, punem zero ca coeficient al acesteia.

2- În al doilea rând, la stânga lui _n plasăm c și desenăm linii de diviziune, așa cum se arată în figura următoare:

3- Reducem coeficientul de conducere la al treilea rând.

În această expresie b _n-1 = a _n

4- Înmulțim c cu coeficientul conducător b _n-1 și scriem rezultatul în al doilea rând, dar o coloană la dreapta.

5- Adăugăm coloana în care scriem rezultatul anterior și plasăm rezultatul sub acea sumă; adică în aceeași coloană, al treilea rând.

La adăugare, avem ca rezultat _n-1 + c * b _n-1 , ceea ce pentru comoditate vom numi b _n-2

6- Înmulțim c cu rezultatul anterior și scriem rezultatul la dreapta sa în al doilea rând.

7- Repetăm ​​pașii 5 și 6 până ajungem la coeficientul la ₀ .

8- Scriem răspunsul; adică cotul și restul. Deoarece împărțim un polinom de grad n printr-un polinom de grad 1, avem că coeficientul ar fi de gradul n-1.

Coeficienții polinomului cotient vor fi numerele din al treilea rând, cu excepția ultimului, care va fi restul sau restul diviziunii.

Exerciții rezolvate

- Exemplul 1

Efectuați următoarea diviziune prin metoda divizării sintetice:

(x ⁵ + 3x ⁴ -7x ³ + 2x ² -8x + 1): (x + 1).

Soluţie

Mai întâi scriem coeficienții dividendului astfel:

Apoi scriem c în partea stângă, în al doilea rând, împreună cu liniile care divizează. În acest exemplu c = -1.

Reducem coeficientul de conducere (în acest caz b _n-1 = 1) și îl înmulțim cu -1:

Scriem rezultatul său în dreapta a doua rând, după cum se arată mai jos:

Adăugăm numerele din a doua coloană:

Înmulțim 2 cu -1 și scriem rezultatul în a treia coloană, al doilea rând:

Adăugăm în a treia coloană:

Procedăm în același mod până ajungem la ultima coloană:

Astfel, avem faptul că ultimul număr obținut este restul diviziunii, iar numerele rămase sunt coeficienții polinomului cotientului. Aceasta este scrisă după cum urmează:

Dacă dorim să verificăm dacă rezultatul este corect, este suficient să verificăm că următoarea ecuație este adevărată:

P (x) = q (x) * d (x) + r (x)

Deci putem verifica dacă rezultatul obținut este corect.

- Exemplul 2

Efectuați următoarea diviziune a polinoamelor prin metoda divizării sintetice

(7x ³ -x + 2): (x + 2)

Soluţie

În acest caz avem că termenul x ² nu apare, deci vom scrie 0 ca coeficient al acestuia. Astfel, polinomul ar fi 7x ³ + 0x ² -x + 2.

Scriem coeficienții lor la rând, acesta este:

Scriem valoarea C = -2 pe partea stângă a celui de-al doilea rând și desenăm liniile de diviziune.

Reducem coeficientul de conducere b _n-1 = 7 și îl înmulțim cu -2, scriindu-și rezultatul în al doilea rând la dreapta.

Adăugăm și procedăm așa cum am explicat anterior, până când ajungem la ultimul termen:

În acest caz, restul este r (x) = - 52 iar coeficientul obținut este q (x) = 7x ² -14x + 27.

- Exemplul 3

O altă modalitate de a utiliza diviziunea sintetică este următoarea: să presupunem că avem un polinom P (x) de grad n și vrem să știm care este valoarea evaluând-o la x = c.

Prin algoritmul de diviziune putem scrie polinomul P (x) în felul următor:

În această expresie q (x) și r (x) sunt coeficientul, respectiv restul. Acum, dacă d (x) = x- c, atunci când evaluăm la c în polinom, obținem următoarele:

Prin urmare, rămâne doar să găsim ar (x) și putem face acest lucru datorită diviziei sintetice.

De exemplu, avem polinomul P (x) = x ⁷ -9x ⁶ + 19x ⁵ + 12x ⁴ -3x ³ + 19x ² -37x-37 și vrem să știm care este valoarea sa evaluând-o la x = 5. Pentru a face acest lucru, vom efectua diviziune între P (x) și d (x) = x -5 prin metoda divizării sintetice:

Odată efectuate operațiunile, știm că putem scrie P (x) în felul următor:

P (x) = (x ⁶ -4x ⁵ –x ⁴ + 7x ³ + 32x ² + 179x + 858) * (x-5) + 4253

Prin urmare, atunci când evaluăm, trebuie să:

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (5-5) + 4253

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (0) + 4253

P (5) = 0 + 4253 = 4253

După cum putem vedea, este posibil să se folosească diviziunea sintetică pentru a găsi valoarea unui polinom evaluând-o la c, mai degrabă decât simpla substituire a c pentru x.

Dacă am încerca să evaluăm P (5) în mod tradițional, am fi obligați să efectuăm niște calcule care adesea devin obositoare.

- Exemplul 4

Algoritmul de diviziune pentru polinoame este valabil și pentru polinoamele cu coeficienți complexi și, prin urmare, avem că metoda de divizare sintetică funcționează și pentru astfel de polinoame. Vom vedea un exemplu mai jos.

Vom folosi metoda divizării sintetice pentru a arăta că z = 1+ 2i este un zero al polinomului P (x) = x ³ + (1 + i) x ² - (1 + 2i) x + (15 + 5i); adică restul diviziunii P (x) cu d (x) = x - z este egal cu zero.

Procedăm ca înainte: în primul rând scriem coeficienții lui P (x), apoi în al doilea scriem z și desenăm liniile de diviziune.

Realizăm diviziunea ca înainte; aceasta este:

Putem observa că restul este zero; de aceea concluzionăm că z = 1+ 2i este un zero al lui P (x).

Referințe

1. Baldor Aurelio. Algebră Grupo Editorial Patria.
2. Demana, Waits, Foley & Kennedy. Precalculus: Grafic, Numeric, Algebraic Ed. 7 Ed. Pearson Education.
3. Flemming W & Varserg D. Algebra și trigonometria cu geometrie analitică. Sala Prentice
4. Michael Sullivan. Precalculus Ed. A 4-a. Pearson Education.
5. Roșu. Armando O. Algebra 1 6a Ed. Ateneul.