- Formulă
- Distanța euclidiană în două dimensiuni
- Suprafețe non-euclidiene
- Distanța euclidiană în n dimensiuni
- Cum se calculează distanța euclidiană
- Exemplu
- Referințe
Distanța euclidiană este un număr pozitiv care indică separarea între două puncte într-un spațiu în care se îndeplinesc axiomele și teoremele geometriei lui Euclide.
Distanța dintre două puncte A și B într-un spațiu euclidian este lungimea vectorului AB aparținând singurei linii care trece prin aceste puncte.
Figura 1 . Spațiul euclidian unidimensional format din linia (OX). Mai multe puncte sunt afișate pe spațiul menționat, coordonatele și distanțele lor. (Pregătit de Ricardo Pérez).
Spațiul pe care oamenii îl percep și unde ne mișcă este un spațiu tridimensional (3-D), unde se îndeplinesc axiomele și teoremele geometriei lui Euclid. În acest spațiu sunt conținute sub-spații bidimensionale (planuri) și sub-spații unidimensionale (linii).
Spațiile euclidiene pot fi unidimensionale (1-D), bidimensionale (2-D), tridimensionale (3-D) sau n-dimensionale (nD).
Punctele din spațiul unidimensional X sunt cele care aparțin liniei orientate (OX), direcția de la O la X este direcția pozitivă. Pentru a localiza punctele de pe această linie, se folosește sistemul cartezian, care constă în atribuirea unui număr fiecărui punct al liniei.
Formulă
Distanța euclidiană d (A, B) între punctele A și B, situate pe o linie, este definită ca rădăcina pătrată a pătratului dintre diferențele dintre coordonatele lor X:
d (A, B) = √ ((XB - XA) ^ 2)
Această definiție garantează că: distanța dintre două puncte este întotdeauna o cantitate pozitivă. Și că distanța dintre A și B este egală cu distanța dintre B și A.
Figura 1 prezintă spațiul euclidian unidimensional format din linia (OX) și mai multe puncte pe linia menționată. Fiecare punct are o coordonată:
Punctul A are coordonata XA = 2.5, punctul B coordonata XB = 4 și punctul C coordonata XC = -2,5
d (A, B) = √ ((4 - 2,5) 2) = 1,5
d (B, A) = √ ((2,5 - 4) 2) = 1,5
d (A, C) = √ ((- 2,5 - 2,5) 2) = 5,0
Distanța euclidiană în două dimensiuni
Spațiul euclidian bidimensional este un plan. Punctele unui plan euclidian îndeplinesc axiomele geometriei euclidiene, de exemplu:
- O singură linie trece prin două puncte.
- Trei puncte de pe plan formează un triunghi ale cărui unghiuri interne adaugă întotdeauna până la 180º.
- Într-un triunghi drept, pătratul hipotenuzei este egal cu suma pătratelor picioarelor sale.
În două dimensiuni, un punct are coordonate X și Y.
De exemplu, un punct P are coordonate (XP, YP) și un punct Q coordonate (XQ, YQ).
Distanța euclidiană între punctul P și Q este definită cu următoarea formulă:
d (P, Q) = √ ((XQ - XP) ^ 2 + (YQ - YP) ^ 2)
Trebuie menționat că această formulă este echivalentă cu teorema pitagoreică, așa cum se arată în figura 2.
Figura 2. Distanța dintre două puncte P și Q în plan îndeplinește teorema lui Pitagore. (Pregătit de Ricardo Pérez).
Suprafețe non-euclidiene
Nu toate spațiile bidimensionale se conformează geometriei euclidiene. Suprafața unei sfere este un spațiu bidimensional.
Unghiurile unui triunghi pe o suprafață sferică nu se ridică până la 180 ° și cu aceasta teorema pitagoreică nu este îndeplinită, de aceea o suprafață sferică nu îndeplinește axiomele lui Euclid.
Distanța euclidiană în n dimensiuni
Conceptul de coordonate poate fi extins la dimensiuni mai mari:
- În punctul 2-D punctul P are coordonate (XP, YP)
- În 3-D un punct Q are coordonate (XQ, YQ, ZQ)
- În 4-D punctul R va avea coordonate (XR, YR, ZR, WR)
- În nD, un punct P va avea coordonate (P1, P2, P3, … .., Pn)
Distanța dintre două puncte P și Q ale unui spațiu euclidian dimensional n este dimensionată cu următoarea formulă:
d (P, Q) = √ ((Q1 - P1) ^ 2 + (Q2 - P2) ^ 2 + …… .. + (Qn - Pn) ^ 2)
Locusul tuturor punctelor Q într-un spațiu euclidian n-dimensional echidistant dintr-un alt punct fix P (centrul) formează o hipersferă n-dimensională.
Cum se calculează distanța euclidiană
Următorul arată cum se calculează distanța dintre două puncte situate în spațiul tridimensional euclidian.
Să presupunem punctul A al coordonatelor carteziene x, y, z date de A :( 2, 3, 1) și punctul B al coordonatelor B :( -3, 2, 2).
Dorim să determinăm distanța dintre aceste puncte, pentru care se folosește relația generală:
d (A, B) = √ ((-3 - 2) 2 + (2 - 3) 2 + (2 - 1) 2) = √ ((-5) 2 + (-1) 2 + (1) 2 )
d (A, B) = √ (25 + 1 + 1) = √ (27) = √ (9 * 3) = 3 √ (3) = 5.196
Exemplu
Există două puncte P și Q. Punctul P al coordonatelor carteziene x, y, z date de P :( 2, 3, 1) și punctul Q de coordonate Q :( -3, 2, 1).
I se cere să găsească coordonatele punctului mediu M al segmentului care leagă cele două puncte.
Se presupune că punctul necunoscut M are coordonate (X, Y, Z).
Deoarece M este punctul de mijloc al lui, trebuie să fie adevărat că d (P, M) = d (Q, M), deci d (P, M) ^ 2 = d (Q, M) ^ 2 trebuie să fie adevărat și:
(X - 2) ^ 2 + (Y - 3) ^ 2 + (Z - 1) ^ 2 = (X - (-3)) ^ 2 + (Y - 2) ^ 2 + (Z - 1) ^ 2
Ca și în acest caz, al treilea mandat este egal la ambii membri, expresia anterioară se simplifică pentru:
(X - 2) ^ 2 + (Y - 3) ^ 2 = (X + 3) ^ 2 + (Y - 2) ^ 2
Avem apoi o ecuație cu două necunoscute X și Y. O altă ecuație este necesară pentru a rezolva problema.
Punctul M aparține liniei care trece prin punctele P și Q, pe care le putem calcula astfel:
Mai întâi găsim vectorul PQ al liniei: PQ = <-3-2, 2-3, 1-1> = <-5, -1, 0>.
Atunci PM = OP + a PQ , unde OP este vectorul de poziție al punctului P și este un parametru care aparține numerelor reale.
Ecuația de mai sus este cunoscută ca ecuația vectorială a liniei, care în coordonate carteziene ia următoarea formă:
<X-2, Y-3, Z-1> = <2, 3, 1> + a <-5, -1, 0> = <2 - 5a, 3 - a, 0>
Echivalând componentele corespunzătoare avem:
X - 2 = 2-5 a; Y - 3 = 3 -a; Z - 1 = 0
Adică X = 4 - 5a, Y = 6 - a, în sfârșit Z = 1.
Este substituit în expresia cvadratică care se raportează X la Y:
(4 - 5a - 2) ^ 2 + (6 - a - 3) ^ 2 = (4 - 5a + 3) ^ 2 + (6 - a - 2) ^ 2
Se simplifică:
(2 - 5a) ^ 2 + (3 -a) ^ 2 = (7 - 5a) ^ 2 + (4 - a) ^ 2
Acum se desfășoară:
4 + 25 a ^ 2 - 20a + 9 + a ^ 2 - 6a = 49 + 25 a ^ 2 - 70a + 16 + a ^ 2 - 8a
Este simplificat, anulând termeni similari în ambii membri:
4 - 20a + 9 - 6a = 49 - 70a + 16 - 8a
Parametrul a este șters:
52 a = 49 + 16 - 4 - 9 = 52 rezultând a = 1.
Adică X = 4 - 5, Y = 6 - 1, în sfârșit Z = 1.
În sfârșit, obținem coordonatele carteziene ale punctului mediu M al segmentului:
M: (-1, 5, 1).
Referințe
- Lehmann C. (1972) Geometrie analitică. UTEHA.
- Superprof. Distanța dintre două puncte. Recuperat din: superprof.es
- UNAM. Distanța dintre colectoarele sublineare afine. Recuperat din: prometeo.matem.unam.mx/
- wikipedia. Distanta euclidiana. Recuperat din: es.wikipedia.com
- wikipedia. Spațiul euclidian. Recuperat din: es.wikipedia.com