DIFERENȚA CUBURILOR: FORMULE, ECUAȚII, EXEMPLE, EXERCIȚII - MATEMATICA - 2025

Diferența de cuburi este o expresie algebrică binom a formei unui ³ - b ³ , unde termenii a și b pot fi numere reale sau expresii algebrice de diferite tipuri. Un exemplu de diferență de cuburi este: 8 - x ³ , deoarece 8 se poate scrie ca 2 ³ .

Geometric putem gândi un cub mare, cu latura a, din care se scade cubul mic cu latura b, așa cum este ilustrat în figura 1:

Figura 1. O diferență de cuburi. Sursa: F. Zapata.

Volumul cifrei rezultate este tocmai o diferență de cuburi:

V = a ³ - b ³

Pentru a găsi o expresie alternativă, se observă că această figură poate fi descompusă în trei prisme, după cum se arată mai jos:

Figura 2. Diferența de cuburi (stânga egalității) este egală cu suma volumelor parțiale (dreapta). Sursa: F. Zapata.

O prismă are un volum dat de produs cu cele trei dimensiuni ale sale: lățime x înălțime x adâncime. În acest fel, volumul rezultat este:

V = a ³ - b ³ = a ² .b + b ³ + ab ²

Factorul b este comun la dreapta. În plus, în figura prezentată mai sus, este deosebit de adevărat că:

b = (a / 2) ⇒ a = b + b

Prin urmare, se poate spune că: b = a - b. Prin urmare:

Acest mod de exprimare a diferenței de cuburi se va dovedi a fi foarte util în multe aplicații și ar fi fost obținut în același mod, chiar dacă partea cubului lipsă din colț ar fi diferită de b = a / 2.

Rețineți că a doua paranteză seamănă foarte mult cu produsul notabil al pătratului sumei, dar termenul încrucișat nu este înmulțit cu 2. Cititorul poate extinde partea dreaptă pentru a verifica dacă se obține într-adevăr un ³ - b ³ .

Exemple

Există mai multe diferențe de cuburi:

1 - m ⁶

a ⁶ b ³ - 8z ¹² și ⁶

(1/125) .x ⁶ - 27.y ⁹

Să analizăm fiecare dintre ele. În primul exemplu, 1 poate fi scris ca 1 = 1 ³ și termenul m ⁶ devine: (m ² ) ³ . Ambii termeni sunt cuburi perfecte, de aceea diferența lor este:

1 - m ⁶ = 1 ³ - (m ² ) ³

În al doilea exemplu termenii sunt rescriși:

a ⁶ b ³ = (a ² b) ³

8z ¹² y ⁶ = 2 ³ (z ⁴ ) ³ (y ² ) ³ = (2z ⁴ y ² ) ³

Diferența acestor cuburi este: (a ² b) ³ - (2z ⁴ y ² ) ³ .

În cele din urmă, fracția (1/125) este (1/5 ³ ), x ⁶ = (x ² ) ³ , 27 = 3 ³ și y ⁹ = (y ³ ) ³ . Substituind toate acestea în expresia inițială, obțineți:

(1/125) .x ⁶ - 27y ⁹ = ³ - (3y ³ ) ³

Factorizarea unei diferențe de cuburi

Factorizarea diferenței de cuburi simplifică multe operații algebice. Pentru a face acest lucru, trebuie doar să utilizați formula dedusă mai sus:

Figura 3. Factorizarea diferenței de cuburi și expresia unui coeficient remarcabil. Sursa: F. Zapata.

Acum, procedura de aplicare a acestei formule constă în trei etape:

- În primul rând, se obține rădăcina cubică a fiecăruia dintre termenii diferenței.

- Apoi se construiește binomul și trinomul care apar pe partea dreaptă a formulei.

- În cele din urmă, binomul și trinomul sunt înlocuite pentru a obține factorizarea finală.

Să ilustrăm utilizarea acestor pași cu fiecare dintre exemplele de diferență cub propuse mai sus și astfel obținem echivalentul său facturat.

Exemplul 1

Factorizează expresia 1 - m ⁶ urmând pașii descriși. Începem prin rescrierea expresiei ca 1 - m ⁶ = 1 ³ - (m ² ) ³ pentru a extrage rădăcinile cubului respective ale fiecărui termen:

În continuare, binomul și trinomul sunt construite:

a = 1

b = m ²

Asa de:

a - b = 1 - m ²

(a ² + ab + b ² ) = 1 ² + 1.m ² + (m ² ) ² = 1 + m ² + m ⁴

În cele din urmă, se înlocuiește în formula a ³ - b ³ = (ab) (a ² + ab + b ² ):

1 - m ⁶ = (1 - m ² ) (1 + m ² + m ⁴ )

Exemplul 2

Factorize:

a ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (a ² b) ³ - (2z ⁴ y ² ) ³

Deoarece acestea sunt cuburi perfecte, rădăcinile cubului sunt imediate: a ² b și 2z ⁴ și ² , de aici rezultă că:

- Binomial: a ² b - 2z ⁴ și ²

- Trinomial: (a ² b) ² + a ² b. 2z ⁴ y ² + (a ² b + 2z ⁴ y ² ) ²

Și acum factorizarea dorită este construită:

a ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (a ² b - 2z ⁴ y ² ). =

= (a ² b - 2z ⁴ y ² ).

În principiu, factoring-ul este gata, dar de multe ori este necesar să se simplifice fiecare termen. Apoi se remarcă produsul remarcabil - scutirea unei sume - care apare la final și apoi se adaugă termeni similari. Amintind că pătratul unei sume este:

Produsul notabil din dreapta este dezvoltat astfel:

(a ² b + 2z ⁴ și ² ) ² = a ⁴ b ² + 4a ² b.z ⁴ și ² + 4z ⁸ și ⁴

Înlocuirea expansiunii obținute în factorizarea diferenței de cuburi:

a ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (a ² b - 2z ⁴ y ² ). =

În cele din urmă, gruparea termenilor precum și factorizarea coeficienților numerici, care sunt par, obținem:

(a ² b - 2z ⁴ y ² ). = 2 (a ² b - 2z ⁴ y ² ).

Exemplul 3

Factoring (1/125) x ⁶ - 27y ⁹ este mult mai ușor decât cazul anterior. Mai întâi sunt identificate echivalențele a și ale b:

a = (1/5) x ²

b = 3y ³

Apoi sunt direct înlocuite în formula:

(1/125) .x ⁶ - 27y ⁹ =.

Exercițiu rezolvat

Diferența cuburilor are, așa cum am spus, o varietate de aplicații în Algebră. Să vedem câteva:

Exercitiul 1

Rezolvați următoarele ecuații:

a) x ⁵ - 125 x ² = 0

b) 64 - 729 x ³ = 0

Solutie la

Mai întâi ecuația este considerată în acest fel:

x ² (x ³ - 125) = 0

Deoarece 125 este un cub perfect, parantezele sunt scrise ca o diferență de cuburi:

x ² . (x ³ - 5 ³ ) = 0

Prima soluție este x = 0, dar vom găsi mai multe dacă facem x ³ - 5 ³ = 0, atunci:

x ³ = 5 ³ → x = 5

Soluție b

Partea stângă a ecuației este rescrisă ca 64 - 729 x ³ = 4 ³ - (9x) ³ . Prin urmare:

4 ³ - (9x) ³ = 0

Deoarece exponentul este același:

9x = 4 → x = 9/4

Exercițiul 2

Factor expresia:

(x + y) ³ - (x - y) ³

Soluţie

Această expresie este o diferență de cuburi, dacă în formula de factoring observăm că:

a = x + y

b = x- y

Atunci binomul este construit mai întâi:

a - b = x + y - (x- y) = 2y

Și acum trinomul:

a ² + ab + b ² = (x + y) ² + (x + y) (xy) + (xy) ²

Produse notabile sunt dezvoltate:

În continuare, trebuie să înlocuiți și să reduceți termenii similari:

a ² + ab + b ² = x ² + 2xy + y ² + x ² - y ² + x ² - 2xy + y ² = 3x ² + y ²

Factoring are ca rezultat:

(x + y) ³ - (x - y) ³ = 2y. (3x ² + y ² )

Referințe

1. Baldor, A. 1974. Algebră. Editorial Cultural Venezolana SA
2. Fundația CK-12. Suma și diferența cuburilor. Recuperat de la: ck12.org.
3. Academia Khan. Factorizarea diferențelor de cuburi. Recuperat de la: es.khanacademy.org.
4. Matematica este distractivă. Diferența de doi cuburi. Recuperat de la: mathsisfun.com
5. UNAM. Factorizarea unei diferențe de cuburi. Recuperat din: dcb.fi-c.unam.mx.