DERIVATE PARȚIALE: NOTAȚIE, EXEMPLE ȘI EXERCIȚII REZOLVATE - MATEMATICA - 2025

De derivatele parțiale ale unei funcții de mai multe variabile sunt cele care determină rata de schimbare a funcției atunci când una dintre variabilele are o variație infinitezimal, în timp ce celelalte variabile rămân neschimbate.

Pentru a face ideea mai concretă, să presupunem cazul unei funcții a două variabile: z = f (x, y). Derivata parțială a funcției f în raport cu variabila x este calculată ca derivată obișnuită față de x, dar luând variabila y ca și cum ar fi constantă.

Figura 1. Funcția f (x, y) și derivatele sale parțiale ∂ _x f y ∂ _y f la punctul P. (Elaborat de R. Pérez cu geogebra)

Notatie derivata partiala

Operația parțială derivată a funcției f (x, y) pe variabila x este notată în oricare dintre următoarele moduri:

În derivate parțiale se folosește simbolul ∂ (un fel de literă rotunjită d, denumită și Jacobi's d), spre deosebire de derivatul obișnuit pentru funcțiile cu o singură variabilă, unde litera d este folosită pentru derivat.

În termeni generali, derivata parțială a unei funcții multivariate, cu privire la una dintre variabilele sale, are ca rezultat o nouă funcție în aceleași variabile ale funcției inițiale:

∂ _x f (x, y) = g (x, y)

∂ _y f (x, y) = h (x, y).

Calculul și semnificația derivatului parțial

Pentru a determina viteza de modificare sau panta funcției pentru un punct specific (x = a, y = b) în direcția paralelă cu axa X:

1- Se calculează funcția ∂ _x f (x, y) = g (x, y), luând derivata obișnuită din variabila x și lăsând variabila y fixă ​​sau constantă.

2- Atunci se înlocuiește valoarea punctului x = a și y = b în care dorim să cunoaștem rata schimbării funcției în direcția x:

{Înclinați în direcția x în punctul (a, b)} = ∂ _x f (a, b).

3- Pentru a calcula rata de modificare a direcției y în punctul de coordonate (a, b), mai întâi calculați ∂ _și f (x, y) = h (x, y).

4- Atunci punctul (x = a, y = b) este înlocuit în rezultatul anterior pentru a obține:

{Panta în direcția y în punctul (a, b)} = ∂ _y f (a, b)

Exemple de derivate parțiale

Câteva exemple de derivate parțiale sunt următoarele:

Exemplul 1

Având în vedere funcția:

f (x, y) = -x ^ 2 - y ^ 2 + 6

Găsiți derivatele parțiale ale funcției f în raport cu variabila x și variabila y.

Soluţie:

∂ xf = -2x

∂ yf = -2y

Rețineți că pentru a calcula derivata parțială a funcției f în raport cu variabila x, a fost realizată derivata obișnuită în raport cu x, dar variabila y a fost luată ca și cum ar fi constantă. În mod similar, la calculul derivatului parțial al lui f față de y, variabila x a fost luată ca și cum ar fi o constantă.

Funcția f (x, y) este o suprafață numită paraboloid prezentată în figura 1 în culoarea ocru.

Exemplul 2

Găsiți viteza de modificare (sau panta) funcției f (x, y) din exemplul 1, pe direcția axei X și axa Y pentru punctul (x = 1, y = 2).

Soluție: Pentru a găsi pantele în direcțiile x și y la punctul dat, pur și simplu substituie valorile punctului în funcția ∂ _x f (x, y) și în funcția ∂ _y f (x, y):

∂ _x f (1,2) = -2⋅ 1 = -2

∂ _și f (1,2) = -2⋅ 2 = -4

Figura 1 arată linia tangentă (în culoare roșie) la curba determinată de intersecția funcției f (x, y) cu planul y = 2, panta acestei linii este -2. Figura 1 arată, de asemenea, linia tangentă (în verde) la curba care definește intersecția funcției f cu planul x = 1; Această linie are panta -4.

Exerciții

Exercitiul 1

Un pahar conic la un moment dat conține apă astfel încât suprafața apei să aibă raza r și adâncimea h. Însă paharul are o gaură mică în partea de jos prin care se pierde apă în ritm de C centimetri cubi pe secundă. Determinați rata de coborâre de pe suprafața apei în centimetri pe secundă.

Soluţie:

În primul rând, este necesar să ne amintim că volumul de apă din momentul dat este:

Volumul este o funcție a două variabile, raza r și adâncimea h: V (r, h).

Când volumul se schimbă cu o cantitate infinitesimală dV, raza r a suprafeței apei și adâncimea h a apei se schimbă și în funcție de următoarea relație:

dV = ∂ _r V dr + ∂ _h V dh

Procedăm la calcularea derivatelor parțiale ale V în raport cu r, respectiv h:

∂ _r V = ∂ _r (⅓ π r ^ 2 h) = ⅔ π rh

∂ _h V = ∂ _h (⅓ π r ^ 2 h) = ⅓ π r ^ 2

Mai mult, raza r și adâncimea h întâlnesc următoarea relație:

Împărțirea ambilor membri la diferențialul de timp dt oferă:

dV / dt = π r ^ 2 (dh / dt)

Dar dV / dt este volumul de apă pierdut pe unitatea de timp despre care se știe că este C centimetri pe secundă, în timp ce dh / dt este rata de coborâre a suprafeței libere a apei, care se va numi v. Adică suprafața apei din momentul dat coboară cu viteza v (în cm / s) dată de:

v = C / (π r ^ 2).

Ca o aplicație numerică, să presupunem că r = 3 cm, h = 4 cm, iar rata de scurgere C este de 3 cm ^ 3 / s. Atunci viteza de coborâre a suprafeței în acel moment este:

v = 3 / (π 3 ^ 2) = 0,11 cm / s = 1,1 mm / s.

Exercițiul 2

Teorema Clairaut - Schwarz afirmă că dacă o funcție este continuă în variabilele sale independente și derivatele sale parțiale cu privire la variabilele independente sunt de asemenea continue, atunci derivatele mixte de ordinul doi pot fi schimbate. Verificați această teoremă pentru funcție

f (x, y) = x ^ 2 y, adică trebuie să fie adevărat că f _xy f = ∂ _yx f.

Soluţie:

∂ _xy f = ∂ _x (∂ _y f) în timp ce ∂ _yx f = ∂ _y (∂ _x f)

∂ _x f = 2 xy; ∂ _y f = x ^ 2

∂ _xy f = ∂ _x (∂ _y f) = 2x

∂ _yx f = ∂ _y (∂ _x f) = 2x

Teorema lui Schwarz s-a dovedit a fi deținută, deoarece funcția f și derivatele sale parțiale sunt continue pentru toate numerele reale.

Referințe

1. Frank Ayres, J., & Mendelson, E. (2000). Calcul 5ed. Mc Graw Hill.
2. Leithold, L. (1992). Calculul cu geometrie analitică. HARLA, SA
3. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Calcul. Mexic: Pearson Education.
4. Saenz, J. (2005). Calcul diferențial. Ipotenuză.
5. Saenz, J. (2006). Calcul integral. Ipotenuză.
6. Wikipedia. Derivat parțial. Recuperat din: es.wikipedia.com