PATRULATER: ELEMENTE, PROPRIETĂȚI, CLASIFICARE, EXEMPLE - MATEMATICA - 2025

Un patrulater este un poligon cu patru laturi și patru vârfuri. Laturile sale opuse sunt cele care nu au vertexuri în comun, în timp ce laturile consecutive sunt cele care au un vertex comun.

Într-un patrulater, unghiurile adiacente împart o parte, în timp ce unghiurile opuse nu au laturi în comun. O altă caracteristică importantă a unui patrulater este că suma celor patru unghiuri interne ale acesteia este de două ori mai mare decât unghiul plan, adică 360º sau 2π.

Figura 1. Diverse patrulaterale. Sursa: F. Zapata.

Diagonalele sunt segmentele care unesc un vertex cu opusul său și într-un patrulater dat, o singură diagonală poate fi trasă din fiecare vertex. Numărul total de diagonale dintr-un patrulater este de două.

Quadrilaterale sunt figuri cunoscute omenirii încă din cele mai vechi timpuri. Documentele arheologice, precum și construcțiile care supraviețuiesc astăzi.

La fel, astăzi, patrulaterele continuă să aibă o prezență importantă în viața de zi cu zi a tuturor. Cititorul poate găsi acest formular pe ecranul pe care citește textul în acest moment, pe ferestre, uși, piese auto și nenumărate alte locuri.

Clasificarea patrulateră

Conform paralelismului laturilor opuse, patrulaterele sunt clasificate astfel:

1. Trapezoid, când nu există paralelism și patrulaterul este convex.
2. Trapezoid, când există paralelism între o singură pereche de laturi opuse.
3. Paralelogramă, când laturile sale opuse sunt paralele două câte două.

Figura 2. Clasificarea și subclasificarea patrulaterilor. Sursa: Wikimedia Commons.

Tipuri de paralelogram

La rândul său, paralelogramele pot fi clasificate în funcție de unghiurile și laturile lor după cum urmează:

1. Dreptunghiul este paralelograma care are cele patru unghiuri interne de măsură egală. Unghiurile interioare ale unui dreptunghi formează un unghi drept (90º).
2. Pătrat, este un dreptunghi cu cele patru laturi ale sale de măsură egală.
3. Rhombus este paralelogramul cu cele patru laturi ale sale egale, dar diferite unghi adiacente.
4. Romboid, paralelogram cu diferite unghiuri adiacente.

Trapez

Trapezul este un patrulater convex cu două laturi paralele.

Figura 3. Bazele, laturile, înălțimea și mediana unui trapez. Sursa: Wikimedia Commons.

- Într-un trapez, laturile paralele se numesc baze, iar laturile non-paralele se numesc laterale.

- Înălțimea unui trapez este distanța dintre cele două baze, adică lungimea unui segment cu capete la baze și perpendicular pe acestea. Acest segment se mai numește și înălțimea trapezului.

- Mediana este segmentul care unește punctele medii ale lateralelor. Se poate arăta că mediana este paralelă cu bazele trapezului și lungimea acesteia este egală cu semisumul bazelor.

- Zona unui trapez este înălțimea sa înmulțită cu semi-suma bazelor:

Tipuri de trapezi

-Trapezoid dreptunghiular : este cel cu o latură perpendiculară pe baze. Această latură este, de asemenea, înălțimea trapezului.

-Trapez isoscel : cel cu laturi de lungime egală. Într-un trapez isoscel unghiurile adiacente bazelor sunt egale.

-Trapezi de scena : cea cu laturile sale de lungimi diferite. Unghiurile sale opuse pot fi unul acut și celălalt obtuz, dar se poate întâmpla ca ambele să fie obturate sau ambele acute.

Figura 4. Tipuri de trapez. Sursa: F. Zapata.

Paralelogram

Paralelograma este un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele două câte două. Într-o paralelogramă unghiurile opuse sunt egale, iar unghiurile adiacente sunt suplimentare sau, pe alte cuvinte, unghiurile adiacente se ridică până la 180º.

Dacă o paralelogramă are un unghi drept, atunci toate celelalte unghiuri vor fi prea, iar figura rezultată se numește dreptunghi. Dar dacă dreptunghiul are și laturile adiacente de aceeași lungime, atunci toate laturile sale sunt egale, iar figura rezultată este un pătrat.

Figura 5. Paralelogramele. Dreptunghiul, pătratul și rombul sunt paralelograme. Sursa: F. Zapata.

Când un paralelogram are două laturi adiacente de aceeași lungime, toate laturile sale vor avea aceeași lungime, iar figura rezultată este un romboi.

Înălțimea unui paralelogram este un segment cu capete pe laturile opuse și perpendicular pe ele.

Zona unui paralelogram

Zona unui paralelogram este produsul bazei de ori înălțimea sa, baza fiind o latură perpendiculară pe înălțime (figura 6).

Diagonale ale unei paralelograme

Pătratul diagonalei care pornește de la un vertex este egal cu suma pătratelor celor două părți adiacente vertexului menționat, plus produsul dublu al laturilor respective prin cosinusul unghiului respectivului vertex:

f ² = a ² + d ² + 2 ad Cos (α)

Figura 6. Paralelogramă. Unghiuri opuse, înălțime, diagonale. Sursa: F. Zapata.

Pătratul diagonalei opuse vertexului unei paralelograme este egal cu suma pătratelor celor două laturi adiacente vertexului menționat și scade produsul dublu al laturilor respective prin cosinusul unghiului acelui vertex:

g ² = a ² + d ² - 2 ad Cos (α)

Legea paralelogramelor

În orice paralelogramă, suma pătratelor laturilor sale este egală cu suma pătratelor diagonalelor:

a ² + b ² + c ² + d ² = f ² + g ²

re ctángulo

Dreptunghiul este un patrulater cu laturile opuse paralele două câte două și care are, de asemenea, un unghi drept. Cu alte cuvinte, dreptunghiul este un tip de paralelogram cu un unghi drept. Deoarece este un paralelogram, dreptunghiul are laturi opuse de lungime egală a = c și b = d.

Dar, ca în orice paralelogram, unghiurile adiacente sunt suplimentare și unghiurile opuse egale, în dreptunghi, deoarece are un unghi drept, acesta va forma în mod necesar unghiuri drepte în celelalte trei unghiuri. Cu alte cuvinte, într-un dreptunghi, toate unghiurile interne măsoară 90 ° sau π / 2 radiani.

Diagonale ale unui dreptunghi

Într-un dreptunghi, diagonalele au lungimea egală, așa cum se va demonstra mai jos. Raționamentul este următorul; Un dreptunghi este o paralelogramă cu toate unghiurile sale drepte și, prin urmare, moștenește toate proprietățile paralelogramei, inclusiv formula care dă lungimea diagonalelor:

f ² = a ² + d ² + 2 ad Cos (α)

g ² = a ² + d ² - 2 ad Cos (α)

cu α = 90º

Deoarece Cos (90º) = 0, atunci se întâmplă că:

f ² = g ² = a ² + d ²

Adică f = g și, prin urmare, lungimile f și g ale celor două diagonale ale dreptunghiului sunt egale, iar lungimea lor este dată de:

Mai mult, dacă într-un dreptunghi cu laturile adiacente a și b este luată o parte ca bază, cealaltă parte va fi înălțime și, prin urmare, zona dreptunghiului va fi:

Zona dreptunghiului = ax b.

Perimetrul este suma tuturor laturilor dreptunghiului, dar întrucât opusele sunt egale, rezultă că pentru un dreptunghi cu laturile a și b perimetrul este dat de următoarea formulă:

Perimetrul dreptunghiului = 2 (a + b)

Figura 7. Rectangle cu laturile a și b. Diagonalele f și g au lungimea egală. Sursa: F. Zapata.

Pătrat

Pătratul este un dreptunghi cu laturile adiacente de aceeași lungime. Dacă pătratul are latura a, atunci diagonalele sale f și g au aceeași lungime, care este f = g = (√2) a.

Zona unui pătrat este latura pătrată:

Suprafața unui pătrat = a ²

Perimetrul unui pătrat este de două ori față:

Perimetrul unui pătrat = 4 a

Figura 8. Pătrat cu latura a, care indică aria, perimetrul și lungimea diagonalelor sale. Sursa: F. Zapata ..

Diamant

Rombul este un paralelogram cu laturile sale adiacente aceeași lungime, dar întrucât laturile opuse sunt egale într-un paralelogram, atunci toate laturile unui rombo sunt egale în lungime.

Diagonalele unui romboi au o lungime diferită, dar se intersectează în unghi drept.

Figura 9. Rombul laturii a, care indică aria, perimetrul și lungimea diagonalelor sale. Sursa: F. Zapata.

Exemple

Exemplul 1

Arătați că într-un patrulater (nu încrucișat) unghiurile interne se ridică până la 360º.

Figura 10: Este arătat cum suma unghiurilor unui patrulater se ridică până la 360º. Sursa: F. Zapata.

Se consideră un patrulater ABCD (vezi figura 10) și se trasează diagonala BD. Se formează două triunghiuri ABD și BCD. Suma unghiurilor interioare ale triunghiului ABD este:

α + β ₁ + δ ₁ = 180º

Și suma unghiurilor interne ale triunghiului BCD este:

β2 + γ + δ ₂ = 180º

Adăugând cele două ecuații obținem:

α + β ₁ + δ ₁ + β ₂ + γ + δ ₂ = 180º + 180º

gruparea:

α + (β ₁ + β ₂ ) + (δ ₁ + δ ₂ ) + γ = 2 * 180º

Prin grupare și redenumire, se arată în final că:

α + β + δ + γ = 360º

Exemplul 2

Arătați că mediana unui trapez este paralelă cu bazele sale și lungimea acesteia este semisumul bazelor.

Figura 11. MN mediană a trapezului ABCD. Sursa: F. Zapata.

Mediana unui trapez este segmentul care unește punctele medii ale laturilor sale, adică laturile non-paralele. În ABCD trapezului prezentat în figura 11 mediana este MN.

Deoarece M este punctul mediu al AD și N este punctul mediu al BC, raporturile AM ​​/ AD și BN / BC sunt egale.

Adică, AM este proporțională cu BN în aceeași proporție cu AD este față de BC, deci sunt date condițiile pentru aplicarea teoremei (reciproce) a lui Thales care afirmă următoarele:

"Dacă segmentele proporționale sunt determinate în trei sau mai multe linii tăiate de doi secani, atunci aceste linii sunt toate paralele."

În cazul nostru, se concluzionează că liniile MN, AB și DC sunt paralele între ele, prin urmare:

"Mediana unui trapez este paralelă cu bazele sale."

Acum se va aplica teorema lui Thales:

"Un set de paralele tăiate de doi sau mai mulți secani determină segmente proporționale."

În cazul nostru AD = 2 AM, AC = 2 AO, deci triunghiul DAC este similar cu triunghiul MAO și, prin urmare, DC = 2 MO.

Un argument similar ne permite să afirmăm că CAB este similar cu CON, unde CA = 2 CO și CB = 2 CN. Urmează imediat că AB = 2 ON.

Pe scurt, AB = 2 ON și DC = 2 MO. Deci, atunci când adăugăm, avem:

AB + DC = 2 ON + 2 MO = 2 (MO + ON) = 2 MN

În cele din urmă, MN este șters:

MN = (AB + DC) / 2

Și se concluzionează că mediana unui trapezoid măsoară semisuma bazelor sau, pe alte cuvinte, mediana măsoară suma bazelor, împărțită la două.

Exemplul 3

Arătați că într-un rombo diagonalele se intersectează în unghi drept.

Figura 12. Rombul și demonstrația că diagonalele sale se intersectează în unghi drept. Sursa: F. Zapata.

Tablă din figura 12 prezintă construcția necesară. Mai întâi paralelograma ABCD este desenată cu AB = BC, adică un rombo. Diagonalele AC și DB determină opt unghiuri prezentate în figură.

Folosind teorema (aip) care afirmă că unghiurile interioare alternative între paralelele tăiate de un secant determină unghiuri egale, putem stabili următoarele:

α ₁ = γ ₁ , α2 = γ2, δ ₁ = β ₁ și δ2 = β2. (*)

Pe de altă parte, deoarece laturile adiacente ale unui romboi au lungimea egală, sunt determinate patru triunghiuri isoscele:

DAB, BCD, CDA și ABC

Acum este invocată teorema triunghiului (izoscel), care afirmă că unghiurile adiacente bazei sunt de măsură egală, din care se concluzionează că:

δ ₁ = β2, δ2 = β ₁ , α2 = γ ₁ și α ₁ = γ2 (**)

Dacă relațiile (*) și (**) sunt combinate, se ajunge la următoarea egalitate de unghiuri:

α ₁ = α2 = γ ₁ = γ ₁ pe de o parte și β ₁ = β2 = δ ₁ = δ2 pe de altă parte.

Reamintind teorema triunghiurilor egale care afirmă că două triunghiuri cu latura egală între doi unghiuri egale sunt egale, avem:

AOD = AOB și, în consecință, și unghiurile ∡AOD = ∡AOB.

Atunci ∡AOD + ∡AOB = 180º, dar întrucât ambele unghiuri sunt de măsură egală, avem 2 ∡AOD = 180º ceea ce presupune că ∡AOD = 90º.

Adică se arată geometric că diagonalele unui rombo se intersectează în unghi drept.

Exerciții rezolvate

- Exercitiul 1

Arată că într-un trapezoid drept, unghiurile non-drepte sunt suplimentare.

Soluţie

Figura 13. Trapezul drept. Sursa: F. Zapata.

Trapezoidul ABCD este construit cu baze AB și DC paralele. Unghiul interior al vertexului A este drept (măsoară 90º), deci avem un trapez drept.

Unghiurile α și δ sunt unghiuri interne între două paralele AB și DC, prin urmare sunt egale, adică δ = α = 90º.

Pe de altă parte, s-a demonstrat că suma unghiurilor interne ale unui patrulater adaugă până la 360º, adică:

α + β + γ + δ = 90º + β + 90º + δ = 360º.

Cele de mai sus duc la:

β + δ = 180º

Confirmând ceea ce s-a dorit să arate, că unghiurile β și δ sunt suplimentare.

- Exercițiul 2

Un paralelogram ABCD are AB = 2 cm și AD = 1 cm, în plus unghiul BAD este 30º. Determinați zona acestui paralelogram și lungimea celor două diagonale ale acesteia.

Soluţie

Zona unui paralelogram este produsul lungimii bazei și a înălțimii sale. În acest caz, lungimea segmentului b = AB = 2 cm va fi luată ca bază, cealaltă parte are lungimea a = AD = 1 cm și înălțimea h va fi calculată după cum urmează:

h = AD * Sen (30º) = 1 cm * (1/2) = ½ cm.

Deci: suprafață = b * h = 2 cm * ½ cm = 1 cm ² .

Referințe

1. CEA (2003). Elemente de geometrie: cu exerciții și geometrie busolă. Universitatea din Medellin.
2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematică 2. Grupo Editorial Patria.
3. Liberat, K. (2007). Descoperă poligoane. Benchmark Education Company.
4. Hendrik, V. (2013). Poligoane generalizate. Birkhăuser.
5. IGER. (Sf). Matematica Primul semestru Tacaná. IGER.
6. Jr. geometrie. (2014). Poligoane. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren și Hornsby. (2006). Matematică: raționament și aplicații (ediția a X-a). Pearson Education.
8. Patiño, M. (2006). Matematică 5. Editorial Progreso.
9. Wikipedia. Patrulatere. Recuperat din: es.wikipedia.com