CUM GĂSIȚI ZONA UNUI PENTAGON? - MATEMATICA - 2025

Aria unui pentagon este calculată utilizând o metodă cunoscută sub denumirea de triangulație, care poate fi aplicată oricărui poligon. Această metodă constă în împărțirea pentagonului în mai multe triunghiuri.

După aceasta, se calculează aria fiecărui triunghi și în final se adaugă toate zonele găsite. Rezultatul va fi zona pentagonului.

Pentagonul ar putea fi împărțit și în alte forme geometrice, cum ar fi un trapez și un triunghi, cum ar fi figura din dreapta.

Problema este că lungimea bazei mai mari și înălțimea trapezului nu sunt ușor de calculat. De asemenea, trebuie calculată înălțimea triunghiului roșu.

Cum să găsești zona unui pentagon?

Metoda generală pentru calcularea ariei unui pentagon este triunghiularea, dar metoda poate fi simplă sau un pic mai lungă, în funcție de faptul dacă pentagonul este regulat sau nu.

Zona unui pentagon obișnuit

Înainte de a calcula zona este necesar să știm care este apotemul.

Apotemul unui pentagon regulat (poligon regulat) este cea mai mică distanță de la centrul pentagonului (poligon) până la punctul mijlociu al unei părți a pentagonului (poligonului).

Cu alte cuvinte, apotemul este lungimea segmentului de linie care merge de la centrul pentagonului până la punctul mijlociu al unei părți.

Să luăm în considerare un pentagon obișnuit, astfel încât lungimea laturilor sale să fie "L". Pentru a calcula apotemul său, mai întâi împărțiți unghiul central α la numărul de laturi, adică α = 360º / 5 = 72º.

Acum, folosind raporturile trigonometrice, lungimea apotemului este calculată așa cum se arată în imaginea următoare.

Prin urmare, apotemul are o lungime de L / 2tan (36º) = L / 1,45.

Prin triangularea pentagonului, se va obține o figură ca cea de mai jos.

Toate cele 5 triunghiuri au aceeași zonă (pentru a fi un pentagon regulat). Prin urmare, zona pentagonului este de 5 ori mai mare decât a unui triunghi. Adică: zona unui pentagon = 5 * (L * ap / 2).

Substituind valoarea apotemului, obținem că aria este A = 1,72 * L².

Prin urmare, pentru a calcula aria unui pentagon obișnuit, trebuie doar să cunoașteți lungimea unei părți.

Zona unui pentagon neregulat

Pornim de la un pentagon neregulat, astfel încât lungimile laturilor sale să fie L1, L2, L3, L4 și L5. În acest caz, apotemul nu poate fi folosit așa cum a fost folosit anterior.

După realizarea triangulării, se obține o figură ca următoarea:

Acum procedăm la desenarea și calcularea înălțimilor acestor 5 triunghiuri interioare.

Deci zonele triunghiurilor interioare sunt T1 = L1 * h1 / 2, T2 = L2 * h2 / 2, T3 = L3 * h3 / 2, T4 = L4 * h4 / 2 și T5 = L5 * h5 / 2.

Valorile pentru h1, h2, h3, h4 și h5 sunt înălțimile fiecărui triunghi, respectiv.

În sfârșit, zona pentagonului este suma acestor 5 zone. Adică A = T1 + T2 + T3 + T4 + T5.

După cum puteți vedea, calcularea ariei unui pentagon neregulat este mai complexă decât calcularea ariei unui pentagon obișnuit.

Determinant gaussian

Există, de asemenea, o altă metodă prin care poate fi calculată aria oricărui poligon neregulat, cunoscută sub numele de determinant gaussian.

Această metodă constă în trasarea poligonului pe planul cartezian, apoi se calculează coordonatele fiecărui vertex.

Vârfurile sunt enumerate în sens invers acelor de ceasornic și în final sunt calculați determinanți pentru a obține în sfârșit aria poligonului în cauză.

Referințe

1. Alexander, DC, & Koeberlein, GM (2014). Geometrie elementară pentru studenți. Cengage Learning.
2. Arthur Goodman, LH (1996). Algebra și trigonometria cu geometrie analitică. Pearson Education.
3. Lofret, EH (2002). Cartea tabelelor și formulelor / Cartea tabelelor și formulelor de înmulțire. Imaginativ.
4. Palmer, CI, & Bibb, SF (1979). Matematică practică: aritmetică, algebră, geometrie, trigonometrie și regulă de diapozitive (ediție reimprimată). Reverte.
5. Posamentier, AS, & Bannister, RL (2014). Geometria, elementele și structura sa: ediția a doua. Corporația de curierat.
6. Quintero, AH, & Costas, N. (1994). Geometrie. Editorial, UPR.
7. Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). Geometrii. Editorial Tecnologica de CR.
8. Tora, FB (2013). Matematica. Prima unitate didactică I ESO, Volumul 1. Editorial Club Universitario.
9. Víquez, M., Arias, R., & Araya, J. (sf). Matematică (anul șase). EUNED.