BINOM CONJUGAT: CUM SĂ-L REZOLVE, EXEMPLE, EXERCIȚII - MATEMATICA - 2025

Un binom conjugat al unui alt binom este unul în care acestea sunt diferențiate doar printr-un semn al operației. Binomul, după cum îi spune și numele, este o structură algebrică formată din doi termeni.

Câteva exemple de binomii sunt: ​​(a + b), (3m - n) și (5x - y). Iar binomurile lor conjugate respective sunt: ​​(a - b), (-3m - n) și (5x + y). După cum se poate observa imediat, diferența este în semn.

Figura 1. Un binom și binomul său conjugat. Au aceiași termeni, dar diferă ca semn. Sursa: F. Zapata.

Un binom înmulțit prin conjugatul său are ca rezultat un produs remarcabil care este utilizat pe scară largă în algebră și știință. Rezultatul înmulțirii este scăderea pătratelor termenilor binomului inițial.

De exemplu, (x - y) este un binom și conjugatul său este (x + y). Deci, produsul celor două binomii este diferența pătratelor termenilor:

(x - y). (x + y) = x ² - y ²

Cum rezolvați un binom conjugat?

Regula declarată a binomurilor conjugate este următoarea:

Ca exemplu de aplicare, vom începe prin a demonstra rezultatul anterior, care poate fi realizat folosind proprietatea distributivă a produsului în raport cu suma algebrică.

(x - y) (x + y) = xx + xy - yx - yy

Înmulțirea de mai sus a fost obținută urmând acești pași:

- Primul termen al primului binom se înmulțește cu primul termen al celui de-al doilea

- Apoi, primul din primul, pentru cel de-al doilea

- Apoi, a doua a primului de prima a doua

- În sfârșit, al doilea din primul până la al doilea din al doilea.

Acum să facem o mică modificare folosind proprietatea comutativă: yx = xy. Arată astfel:

(x - y) (x + y) = xx + xy - xy - yy

Întrucât există doi termeni egali, dar cu semn opus (evidențiat prin culoare și subliniat), aceștia sunt anulați și se simplifică:

(x - y) (x + y) = xx - yy

În cele din urmă, se aplică faptul că înmulțirea unui număr singur este echivalentă cu ridicarea lui la pătrat, astfel încât xx = x ² și, de asemenea, yy = y ² .

În acest fel se demonstrează ceea ce fusese indicat în secțiunea anterioară, că produsul unei sume și diferența sa este diferența pătratelor:

(x - y). (x + y) = x ² - y ²

Figura 2. O sumă de ori diferența sa este o diferență de pătrate. Sursa: F. Zapata.

Exemple

- Binomuri conjugate de diverse expresii

Exemplul 1

Găsiți conjugatul din (y ² - 3y).

Răspuns : (y ² + 3y)

Exemplul 2

Obțineți produsul din (y ² - 3y) și conjugatul său.

Răspuns: (y ² - 3y) (y ² + 3y) = (y ² ) ² - (3y) ² = y ⁴ - 3 ² y ² = y ⁴ - 9y ²

Exemplul 3

Dezvoltați produsul (1 + 2a). (2a -1).

Răspuns: expresia anterioară este echivalentă cu (2a + 1). (2a -1), adică corespunde produsului unui binom și conjugatul său.

Se știe că produsul unui binom prin binomul său conjugat este egal cu diferența pătratelor termenilor binomului:

(2a + 1) (2a -1) = (2a) ² - 1 ² = 4 a ² - 1

Exemplul 4

Scrieți produsul (x + y + z) (x - y - z) ca diferență de pătrate.

Răspuns: putem asimila trinomele de mai sus cu forma binomială conjugată, folosind cu atenție parantezele și parantezele pătrate:

(x + y + z) (x - y - z) =

În acest fel, se poate aplica diferența pătratelor:

(x + y + z) (x - y - z) =. = x ² - (y + z) ²

Exemplul 5

Exprimați produsul (m ² - m -1). (M ² + m -1) ca o diferență de pătrate.

Răspuns : expresia anterioară este produsul a două trinomiale. Mai întâi trebuie rescris ca produsul a două binomuri conjugate:

(m ² - m -1) (m ² + m -1) = (m ² - 1 - m) (m ² -1 + m) =.

Aplicăm faptul că produsul unui binom prin conjugatul său este diferența patratică a termenilor săi, așa cum s-a explicat:

. = (m ² -1) ² - m ²

Exerciții

Ca întotdeauna, începeți cu cele mai simple exerciții și apoi creșteți nivelul de complexitate.

- Exercitiul 1

Scrieți (de la 9 la ² ) ca produs.

Soluţie

Mai întâi, rescriem expresia ca o diferență de pătrate, pentru a aplica ceea ce a fost explicat anterior. Prin urmare:

(9 - a ² ) = (3 ² - a ² )

Următorul factor, care este echivalent cu scrierea acestei diferențe de pătrate ca produs, așa cum se solicită în enunț:

(9 - a ² ) = (3 ² - a ² ) = (3 + a) (3 -a)

- Exercițiul 2

Factor 16x ² - 9y ⁴ .

Soluţie

Factorizarea unei expresii înseamnă scrierea ei ca produs. În acest caz, este necesar să rescrieți anterior expresia, pentru a obține o diferență de pătrate.

Nu este dificil să faceți acest lucru, din moment ce priviți cu atenție, toți factorii sunt pătrate perfecte. De exemplu, 16 este pătratul de 4, 9 este pătratul de 3, iar ⁴ este pătratul lui y ² și x ² este pătratul lui x:

16x ² - 9y ⁴ = 4 ² x ² - 3 ² y ⁴ = 4 ² x ² - 3 ² (y ² ) ²

Apoi aplicăm ceea ce știm deja anterior: că o diferență de pătrate este produsul binomurilor conjugate:

(4x) ² - (3 și ² ) ² = (4x - 3 și ² ). (4x + 3 și ² )

- Exercițiul 3

Scrieți (a - b) ca produs al binomilor

Soluţie

Diferența de mai sus trebuie scrisă ca diferențe de pătrate

(√a) ² - (√b) ²

Apoi se aplică faptul că diferența pătratelor este produsul binomurilor conjugate

(√a - √b) (√a + √b)

- Exercițiul 4

Una dintre utilizările binomului conjugat este raționalizarea expresiilor algebice. Această procedură constă în eliminarea rădăcinilor numitorului unei expresii fracționale, care facilitează în multe cazuri operațiunile. Se solicită utilizarea binomului conjugat pentru a raționaliza următoarea expresie:

√ (2-x) /

Soluţie

Primul lucru este identificarea binomului conjugat al numitorului:.

Acum multiplicăm numerotatorul și numitorul expresiei originale cu binomul conjugat:

√ (2-x) / {.}

În numitorul expresiei anterioare, recunoaștem produsul unei diferențe cu o sumă, despre care știm deja că corespunde diferenței pătratelor binomelor:

√ (2-x). / {(√3) ² - ² }

Simplificarea numitorului este:

√ (2-x). / = √ (2-x). / (1 - x)

Acum avem de-a face cu numărătorul, pentru care vom aplica proprietatea distributivă a produsului în raport cu suma:

√ (2-x). / (1 - x) = √ (6-3x) + √ / (1 - x)

În expresia anterioară, recunoaștem produsul binomului (2-x) prin conjugatul său, care este produsul notabil egal cu diferența pătratelor. În acest fel, se obține în sfârșit o expresie raționalizată și simplificată:

/ (1 - x)

- Exercițiul 5

Dezvoltați următorul produs, utilizând proprietățile binomului conjugat:

.

Soluţie

4a ^{(2x + 6y)} - 9a ^{(2x - 6y)} = 4a ^(2x) .a ^(6y) - 9a ^(2x) .a ^(-6y) = .a ^(2x)

Cititorul atent va observa factorul comun care a fost evidențiat prin culoare.

Referințe

1. Baldor, A. 1991. Algebră. Editorial Cultural Venezolana SA
2. González J. Exerciții binomiale conjugate. Recuperat din: academia.edu.
3. Profesorul de matematica Alex. Produse remarcabile. Recuperat de pe youtube.com.
4. Math2me. Binomuri conjugate / produse notabile. Recuperat de pe youtube.com.
5. Produse binomiale conjugate. Recuperat din: lms.colbachenlinea.mx.
6. Vitual. Binomuri conjugate. Recuperat de pe: youtube.com.