VITEZA UNGHIULARĂ: DEFINIȚIE, FORMULĂ, CALCUL ȘI EXERCIȚII - FIZIC - 2025

Viteza unghiulară este o măsură a vitezei de rotație și este definit ca unghiul care se rotește vectorul de poziție al obiectului rotativ, pe unitatea de timp. Este o magnitudine care descrie foarte bine mișcarea unei multitudini de obiecte care se rotește constant peste tot: CD-uri, roți auto, mașini, Pământ și multe altele.

O diagramă a „London eye” poate fi văzută în figura următoare. Reprezintă mișcarea unui pasager reprezentat de punctul P, care urmează traseul circular, numit c:

Reprezentarea schematică a traseului circular pe care îl urmează un pasager al „London eye”. Sursa: realizată de sine.

Pasagerul ocupă poziția P în momentul t și poziția unghiulară corespunzătoare acelui moment este ϕ.

Din momentul t, trece o perioadă de timp Δt. În această perioadă, noua poziție a pasagerului punctual este P 'și poziția unghiulară a crescut cu un unghi Δϕ.

Cum se calculează viteza unghiulară?

Pentru cantitățile de rotație, literele grecești sunt utilizate pe scară largă pentru a le diferenția de cantitățile liniare. Deci, inițial, viteza unghiulară medie ω _m este definită ca unghiul parcurs într-o anumită perioadă de timp.

Atunci cotientul Δϕ / Δt va reprezenta viteza unghiulară medie ω _m între instantele t și t + Δt.

Dacă doriți să calculați viteza unghiulară chiar în momentul t, atunci trebuie să calculați raportul Δϕ / Δt când Δt ➡0:

Relația dintre viteza liniară și unghiulară

Viteza liniară v, este coeficientul dintre distanța parcursă și timpul luat pentru a o parcurge.

În figura de mai sus, arcul parcurs este Δs. Dar acel arc este proporțional cu unghiul parcurs și raza, urmând să se îndeplinească următoarea relație, valabilă atâta timp cât Δϕ este măsurată la radieni:

Δs = r ・ Δϕ

Dacă împărțim expresia anterioară la intervalul de timp Δt și luăm limita când Δt ➡0, vom obține:

v = r ・ ω

Mișcarea de rotație uniformă

În imagine este faimosul "London eye", o roată de înălțime de 135 m, care se întoarce încet, astfel încât oamenii să poată urca în cabine la baza sa și să se bucure de peisajul londonez. Sursa: Pixabay.

O mișcare de rotație este uniformă dacă în orice moment observat, unghiul parcurs este același în aceeași perioadă de timp.

Dacă rotația este uniformă, atunci viteza unghiulară în orice moment coincide cu viteza unghiulară medie.

În plus, atunci când se face un viraj complet, unghiul parcurs este de 2π (echivalentul a 360º). Prin urmare, într-o rotație uniformă, viteza unghiulară ω este legată de perioada T, prin următoarea formulă:

f = 1 / T

Adică, într-o rotație uniformă, viteza unghiulară este legată de frecvență prin:

ω = 2π ・ f

Rezolvarea problemelor de viteză unghiulară

Exercitiul 1

Cabinele marii roți învârtite cunoscute sub numele de „London Eye” se mișcă încet. Viteza cabinelor este de 26 cm / s, iar roata are 135 m diametru.

Cu aceste date calculați:

i) Viteza unghiulară a roții

ii) Frecvența de rotație

iii) Timpul necesar pentru ca o cabină să se întoarcă.

Răspunsuri:

i) Viteza v în m / s este: v = 26 cm / s = 0,26 m / s.

Raza este jumătate din diametru: r = (135 m) / 2 = 67,5 m

v = r ・ ω => ω = v / r = (0,26 m / s) / (67,5 m) = 0,00385 rad / s

ii) ω = 2π ・ f => f = ω / 2π = (0,00385 rad / s) / (2π rad) = 6,13 x 10 ^-4 rotiri / s

f = 6,13 x 10 ^ -4 tura / s = 0,0368 tura / min = 2,21 tura / oră.

iii) T = 1 / f = 1 / 2,21 tură / oră = 0,45311 oră = 27 min 11 sec

Exercițiul 2

O mașină de jucărie se deplasează pe o pistă circulară cu o rază de 2m. La 0 s poziția sa unghiulară este 0 rad, dar după un timp t poziția sa unghiulară este dată de:

φ (t) = 2 ・ t

A determina:

i) Viteza unghiulară

ii) Viteza liniară în orice moment.

Răspunsuri:

i) Viteza unghiulară este derivata poziției unghiulare: ω = φ '(t) = 2.

Cu alte cuvinte, mașina de jucărie are în permanență o viteză unghiulară egală cu 2 rad / s.

ii) Viteza liniară a mașinii este: v = r ・ ω = 2 m ・ 2 rad / s = 4 m / s = 14,4 Km / h

Exercițiul 3

Aceeași mașină din exercițiul anterior începe să se oprească. Poziția sa unghiulară în funcție de timp este dată de următoarea expresie:

φ (t) = 2 ・ t - 0,5 ・ t ²

A determina:

i) Viteza unghiulară în orice moment

ii) Viteza liniară în orice moment

iii) Timpul necesar pentru a se opri din momentul în care începe să se decelereze

iv) Unghiul parcurs

v) distanța parcursă

Răspunsuri:

i) Viteza unghiulară este derivata poziției unghiulare: ω = φ '(t)

ω (t) = φ '(t) = (2 ・ t - 0,5 ・ t ² )' = 2 - t

ii) Viteza liniară a mașinii în orice moment este dată de:

v (t) = r ・ ω (t) = 2 ・ (2 - t) = 4 - 2 t

iii) Timpul necesar pentru a se opri din momentul în care începe să se decelereze, este determinat de cunoașterea momentului în care viteza v (t) devine zero.

v (t) = 4 - 2 t = 0 => t = 2

Aceasta înseamnă că se oprește 2 s după ce a început să frâneze.

iv) În perioada de 2 secunde de la momentul începerii frânării până la oprirea sa, se parcurge un unghi dat de φ (2):

φ (2) = 2 ・ 2 - 0,5 ・ 2 ^ 2 = 4 - 2 = 2 rad = 2 x 180 / π = 114,6 grade

v) În perioada de 2 secunde de la începutul frânării până la oprire, distanța s este parcursă de:

s = r ・ φ = 2m ・ 2 rad = 4 m

Exercițiul 4

Roțile unei mașini au un diametru de 80 cm. Dacă mașina se deplasează cu 100 km / h. Găsiți: i) viteza unghiulară de rotație a roților, ii) frecvența de rotație a roților, iii) Numărul de rotații pe care o face roata într-o călătorie de 1 oră.

Răspunsuri:

i) În primul rând, vom converti viteza mașinii de la Km / h la h / s

v = 100 Km / h = (100 / 3,6) m / s = 27,78 m / s

Viteza unghiulară de rotație a roților este dată de:

ω = v / r = (27,78 m / s) / (0,4 m) = 69,44 rad / s

ii) Frecvența de rotație a roților este dată de:

f = ω / 2π = (69,44 rad / s) / (2π rad) = 11,05 tur / s

Frecvența de rotație este de obicei exprimată în rotații pe minut turație

f = 11,05 tura / s = 11,05 tura / (1/60) min = 663,15 rpm

iii) Numărul de ture pe care îl face roata într-o călătorie de o oră se calculează știind că 1 oră = 60 min și că frecvența este numărul de ture N divizat în timpul în care se efectuează aceste N ture.

f = N / t => N = f ・ t = 663,15 (tururi / min) x 60 min = 39788,7 rotiri.

Referințe

1. Giancoli, D. Fizică. Principii cu aplicații. Ediția a VI-a. Sala Prentice. 106-108.
2. Resnick, R. (1999). Fizic. Volumul 1. A treia ediție în spaniolă. Mexic. Compañía Editorial Continental SA de CV 67-69.
3. Serway, R., Jewett, J. (2008). Fizică pentru știință și inginerie. Volumul 1. 7. Ediție. Mexic. Cengage Learning Editor. 84-85.
4. geogebra.org