NUMERE TRANSCENDENTE: CE SUNT ELE, FORMULE, EXEMPLE, EXERCIȚII - MATEMATICA - 2025

Cele Numerele transcendente sunt cele care nu pot fi obținute ca un rezultat al unei ecuații polinomiale. Opusul unui număr transcendent este un număr algebric, care sunt soluții ale unei ecuații polinomiale de tipul:

a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + …… + a ₂ x ² + a ₁ x + a ₀ = 0

Când coeficienții a _n , a _n-1 , … .. a ₂ , a ₁ , a ₀ sunt numere raționale, numiți coeficienții polinomului. Dacă un număr x este o soluție la ecuația anterioară, atunci acest număr nu este transcendent.

Figura 1. Două numere de mare importanță în știință sunt numere transcendente. Sursa: publicdomainpictures.net.

Vom analiza câteva numere și vom vedea dacă sunt transcendente sau nu:

a) 3 nu este transcendent, deoarece este o soluție de x - 3 = 0.

b) -2 nu poate fi transcendent, deoarece este o soluție de x + 2 = 0.

c) ⅓ este o soluție de 3x - 1 = 0

d) O soluție a ecuației x ² - 2x + 1 = 0 este √2 -1, deci numărul după definiție nu este transcendent.

e) Niciuna nu este √2 deoarece este rezultatul ecuației x ² - 2 = 0. Prin pătratul √2 rezultă 2, care a scăzut din 2 este egal cu zero. Deci √2 este un număr irațional, dar nu este transcendent.

Care sunt numerele transcendente?

Problema este că nu există o regulă generală pentru a le obține (vom spune mai departe un mod), dar unele dintre cele mai cunoscute sunt numărul pi și numărul Neper, notate respectiv prin: π și e.

Numărul π

Numărul π apare în mod natural observând că coeficientul matematic dintre perimetrul P al unui cerc și diametrul lui D, indiferent dacă este un cerc mic sau mare, dă întotdeauna același număr, numit pi:

π = P / D ≈ 3.14159 ……

Aceasta înseamnă că, dacă diametrul circumferinței este luat ca unitate de măsură, pentru toți, mari sau mici, perimetrul va fi întotdeauna P = 3.14 … = π, așa cum se poate vedea în animația din figura 2.

Figura 2. Lungimea perimetrului unui cerc este pi de lungimea diametrului, pi este aproximativ 3.1416.

Pentru a determina mai multe zecimale, este necesar să se măsoare P și D cu o precizie mai mare și apoi să se calculeze coeficientul, care a fost făcut matematic. Concluzia este că zecimalele numărului nu au sfârșit și nu se repetă niciodată, astfel că numărul π pe lângă faptul că este transcendent este, de asemenea, irațional.

Un număr irațional este un număr care nu poate fi exprimat ca diviziunea a două numere întregi.

Se știe că fiecare număr transcendent este irațional, dar nu este adevărat că toate numerele iraționale sunt transcendente. De exemplu √2 este irațional, dar nu este transcendent.

Figura 3. Numerele transcendente sunt iraționale, dar invers nu este adevărat.

Numărul e

Numărul transcendent e este baza logaritmelor naturale și aproximarea sa zecimală este:

și ≈ 2.718281828459045235360….

Dacă doriți să scrieți numărul e exact, ar fi necesar să scrieți zecimale infinite, deoarece fiecare număr transcendent este irațional, așa cum s-a spus mai înainte.

Primele zece cifre ale e sunt ușor de reținut:

2,7 1828 1828 și, deși pare să urmeze un model repetitiv, acesta nu se realizează în zecimale de ordin mai mari de nouă.

O definiție mai formală a e este următoarea:

Aceasta înseamnă că valoarea exactă a e este obținută prin efectuarea operațiunii indicate în această formulă, când numărul natural n tinde la infinit.

Așa se explică de ce putem obține doar aproximări ale e, deoarece indiferent cât de mare este plasat numărul n, poate fi găsit întotdeauna un n mai mare.

Să căutăm câteva aproximări pe cont propriu:

-Când n = 100 atunci (1 + 1/100) ¹⁰⁰ = 2.70481 care coincide cu greu în prima zecimală cu valoarea „adevărată” a lui e.

-Dacă alegeți n = 10.000, aveți (1 + 1 / 10.000) ^10.000 = 2.71815, care coincide cu valoarea „exactă” a e în primele trei zecimale.

Acest proces ar trebui urmat la infinit pentru a obține valoarea „adevărată” a e. Nu cred că avem timp să o facem, dar haideți să mai încercăm:

Să folosim n = 100.000:

(1 + 1 / 100.000) ^100.000 = 2.7182682372

Aceasta are doar patru zecimale care se potrivesc cu valoarea considerată exactă.

Important este să înțelegem că, cu cât este mai mare valoarea lui n ales pentru a calcula e _n , cu atât va fi mai aproape de adevărata valoare. Dar acea adevărată valoare va avea doar atunci când n este infinită.

Figura 4. Este arătat grafic cât mai mare este valoarea n, cu atât este mai aproape de e, dar pentru a ajunge la valoarea exactă n trebuie să fie infinită.

Alte numere importante

În afară de aceste numere celebre, există și alte numere transcendente, de exemplu:

- 2 ^√2

-Numărul Champernowne din baza 10:

C_10 = 0.123456789101112131415161718192021….

-Numărul Champernowne din baza 2:

C_2 = 0.1101110010110111….

-Numărul Gamă γ sau constantă Euler-Mascheroni:

γ ≈ 0,577 215 664 901 532 860 606

Ceea ce se obține făcând următorul calcul:

γ ≈ 1 + ½ + ⅓ + ¼ +… + 1 / n - ln (n)

Pentru când n este foarte mare. Pentru a avea valoarea exactă a numărului Gamma, ar fi necesar să se facă calculul cu n infinit. Ceva similar cu ceea ce am făcut mai sus.

Și există multe alte numere transcendente. Marele matematician Georg Cantor, născut în Rusia și care trăiește între 1845 și 1918, a arătat că mulțimea numerelor transcendente este mult mai mare decât mulțimea numerelor algebrice.

Formule în care apare numărul transcendent π

Perimetrul circumferinței

P = π D = 2 π R, unde P este perimetrul, D diametrul și R raza circumferinței. Trebuie amintit că:

-Diametrul circumferinței este cel mai lung segment care unește două puncte ale aceleiași și care trece întotdeauna prin centrul său,

-Rada este jumătate din diametru și este segmentul care merge de la centru la margine.

Zona unui cerc

A = π R ² = ¼ π D ²

Suprafața unei sfere

S = 4 π R2 ^.

Da. Deși poate să nu pară, suprafața unei sfere este aceeași cu cea a patru cercuri de aceeași rază ca sfera.

Volumul sferei

V = 4/3 π R ³

Exerciții

- Exercitiul 1

Pizzeria „EXÓTICA” vinde pizza de trei diametre: mică 30 cm, medie 37 cm și mare 45 cm. Un băiat este foarte flămând și și-a dat seama că două pizza mici costă la fel ca una mare. Ce va fi mai bine pentru el, să cumpere două pizza mici sau una mare?

Figura 5.- Zona unei pizza este proporțională cu pătratul razei, pi fiind constanta proporționalității. Sursa: Pixabay.

Soluţie

Cu cât suprafața este mai mare, cu atât este mai mare cantitatea de pizza, din acest motiv suprafața unei pizza mari va fi calculată și comparată cu cea a două pizza mici:

Zona pizza mare = ¼ π D ² = ¼ ⋅3.1416⋅45 ² = 1590,44 cm ²

Suprafața pizza mică = ¼ π d ² = ¼ ⋅3.1416⋅30 ² = 706,86 cm ²

Prin urmare, două mici pizza vor avea o suprafață de

2 x 706,86 = 1413,72 cm ² .

Este clar: veți avea o cantitate mai mare de pizza cumpărând una singură mare decât două mici.

- Exercițiul 2

Pizzeria „EXÓTICA” vinde și o pizza emisferică cu o rază de 30 cm la același preț ca și una dreptunghiulară care măsoară 30 x 40 cm pe fiecare parte. Pe care ai alege?

Figura 6.- Suprafața unei emisfere este de două ori suprafața circulară a bazei. Sursa: F. Zapata.

Soluţie

Așa cum am menționat în secțiunea anterioară, suprafața unei sfere este de patru ori mai mare decât a unui cerc cu același diametru, deci o emisferă de 30 cm în diametru va avea:

Pizza emisferică 30 cm: 1413,72 cm ² (de două ori o circulară cu același diametru)

Pizza dreptunghiulară: (30 cm) x (40 cm) = 1200 cm ² .

Pizza emisferică are o suprafață mai mare.

Referințe

1. Fernández J. Numărul e. Originea și curiozitățile. Recuperat de la: soymatematicas.com
2. Bucurați-vă de matematică. Numărul lui Euler. Recuperat de la: enjoylasmatematicas.com.
3. Figuera, J. 2000. Matematica 1. Diversified. Ediții CO-BO.
4. García, M. Numărul e în calculul elementar. Recuperat din: matematica.ciens.ucv.ve.
5. Wikipedia. Numărul PI. Recuperat de la: wikipedia.com
6. Wikipedia. Numere transcendente. Recuperat de la: wikipedia.com