VECTORUL REZULTAT: CALCUL, EXEMPLE, EXERCIȚII - FIZIC - 2025

Vectorul rezultat este cel obținut printr - o operație cu vectori al căror rezultat este , de asemenea , un vector. În mod normal, această operație este suma a doi sau mai mulți vectori, cu ajutorul cărora se obține un vector al cărui efect este echivalent.

În acest fel, se obțin vectori precum viteza, accelerația sau forța rezultată. De exemplu, când mai multe forțe F ₁ , F ₂ , F ₃ ,… acționează asupra unui corp . suma vectorială a tuturor acestor forțe este egală cu forța netă (rezultanta), care este exprimată matematic astfel:

F ₁ + F ₂ + F ₃ + … = F _R sau F _N

Figura 1. Greutatea zăpezii este distribuită pe acoperiș și acțiunea sa poate fi înlocuită cu o singură forță rezultantă aplicată în locul corespunzător. Sursa: Pixabay.

Vectorul rezultat, indiferent dacă este forțe sau orice altă magnitudine vectorială, se găsește prin aplicarea regulilor de adăugare a vectorului. Deoarece vectorii au direcție și sens, precum și o valoare numerică, nu este suficient să adăugați modulele pentru a avea vectorul rezultat.

Acest lucru este valabil numai în cazul în care vectorii implicați sunt în aceeași direcție (vezi exemple). În caz contrar, este necesar să se utilizeze metode de sumă vectorială, care în funcție de caz pot fi geometrice sau analitice.

Exemple

Metodele geometrice pentru găsirea vectorului rezultat sunt metoda transversală și metoda paralelogramului.

În ceea ce privește metodele analitice, există metoda componentelor, prin care vectorul rezultat din orice sistem de vectori poate fi găsit, cu condiția să avem componentele sale carteziene.

Metode geometrice pentru a adăuga doi vectori

Să presupunem că vectorii u și v (îi denotăm cu caractere aldine pentru a-i distinge de scalari). În figura 2a) le avem localizate în avion. În figura 2 b) a fost tradusă în vectorul v, astfel încât originea sa coincide cu sfârșitul lui u . Vectorul rezultat trece de la originea primului ( u ) până la vârful ultimului ( v ):

Figura 2. Vectorul rezultat din suma grafică a vectorilor. Sursa: realizată de sine.

Figura rezultată în acest caz este un triunghi (un triunghi este un poligon cu 3 fețe). Dacă avem doi vectori în aceeași direcție, procedura este aceeași: așezați unul dintre vectori după celălalt și trageți unul care pleacă de la originea sau coada primului până la vârful sau sfârșitul ultimului.

Rețineți că ordinea în care se face această procedură nu contează, deoarece suma vectorilor este comutativă.

De asemenea, rețineți că, în acest caz, modulul (lungimea sau dimensiunea) vectorului rezultat este suma modulelor vectorilor adăugați, spre deosebire de cazul anterior, în care modulul vectorului rezultat este mai mic decât suma module de participant.

Metoda paralelogramă

Această metodă este foarte potrivită atunci când trebuie să adăugați doi vectori ale căror puncte de origine coincid, să zicem, cu originea unui sistem de coordonate xy. Să presupunem că acesta este cazul vectorilor noștri u și v (figura 3a):

Figura 3. Suma a doi vectori folosind metoda paralelogramului cu vectorul rezultat în albastru turcoaz. Sursa: realizată de sine.

În figura 3b) a fost construită o paralelogramă cu ajutorul liniilor punctate paralele cu u și v . Vectorul rezultat își are originea la O și capătul său în punctul în care se intersectează liniile punctate. Această procedură este complet echivalentă cu cea descrisă în secțiunea precedentă.

Exerciții

-Exercitiul 1

Având în vedere următorii vectori, găsiți vectorul rezultat folosind metoda transversală.

Figura 4. Vectori pentru a-și găsi rezultatul folosind metoda poligonală. Exercițiul 1. Sursa: elaborare proprie.

Soluţie

Metoda transversală este prima dintre metodele văzute. Nu uitați că suma vectorilor este comutativă (ordinea completărilor nu modifică suma), deci puteți începe cu oricare dintre vectori, de exemplu u (figura 5a) sau r (figura 5b):

Figura 5. Suma vectorilor folosind metoda poligonală. Sursa: realizată de sine.

Figura obținut este un poligon și vectorul rezultat (în albastru) se numește R . Dacă începeți cu un alt vector, forma care poate fi formată poate fi diferită, așa cum se arată în exemplu, dar vectorul rezultat este același.

Exercițiul 2

În figura următoare știm că modulele vectorilor u și v sunt respectiv u = 3 unități arbitrare și v = 1,8 unități arbitrare. Unghiul pe care u face cu axa x pozitivă este 45º, în timp ce v face 60º cu axa y, așa cum se vede în figură. Găsiți vectorul, mărimea și direcția rezultate.

Soluţie

În secțiunea precedentă, vectorul rezultat a fost găsit prin aplicarea metodei paralelogramei (în turcoaz în figură).

O modalitate ușoară de a găsi în mod analitic vectorul rezultat este de a exprima vectori suplimentari în termenii componentelor lor carteziene, ceea ce este o sarcină ușoară atunci când modulul și unghiul sunt cunoscute, cum ar fi vectorii din acest exemplu:

u _x = u. cos 45º = 3 x cos 45º = 2,12; u _y = u. sin 45º = 3x sin 45º = 2,12

v _x = v. sin 60º = 1,8 x sin 60º = 1,56; v _y = -v. cos 60º = -1,8 x cos 60º = - 0,9

Vectorii u și v sunt vectori aparținând planului, având astfel două componente fiecare. Vectorul u este în primul cadran și componentele sale sunt pozitive, în timp ce vectorul v este în al patrulea cadran; componenta sa x este pozitivă, dar proiecția sa pe axa verticală cade pe axa y negativă.

Calculul componentelor carteziene ale vectorului rezultat

Vectorul rezultat este găsit adăugând algebric componentele respective x și y, pentru a obține componentele lor carteziene:

R _x = 2,12 + 1,56 = 3,68

R _y = 2,12 + (-0,9) = 1,22

Odată ce componentele carteziene au fost specificate, vectorul este complet cunoscut. Vectorul rezultat poate fi exprimat cu nota între paranteze:

R = <3,68; 1.22> unități arbitrare

Notarea parantezei este folosită pentru a distinge un vector de un punct din plan (sau în spațiu). Un alt mod de a exprima în mod analitic vectorul rezultat este folosirea vectorilor unității i și j în plan ( i , j și k în spațiu):

R = 3,68 i + 1,22 j unități arbitrare

Deoarece ambele componente ale vectorului rezultat sunt pozitive, vectorul R aparține primului cadran, care a fost deja văzut grafic.

Mărimea și direcția vectorului rezultat

Cunoscând componentele carteziene, magnitudinea lui R este calculată prin teorema pitagoreică, deoarece vectorul R rezultat , împreună cu componentele sale R _x și R _și formează un triunghi drept:

Mărimea sau modulul: R = (3,68 ² + 1,22 ² ) ^½ = 3,88

Direcția q luând ca referință axa x pozitivă: q = arctan (R _y / R _x ) = arctg (1,22 / 3,68) = 18,3 º

Referințe

1. Adăugarea de vectori și reguli. Preluat de la: newt.phys.unsw.edu.au
2. Serie Figueroa, D. Seria: Fizică pentru științe și inginerie. Volumul 1. Cinematica .. 31-68.
3. Fizic. Modulul 8: Vectori. Recuperat din: frtl.utn.edu.ar
4. Hibbeler, R. 2006. Mecanici pentru ingineri. Static Ediția a VI-a. Editura Continental. 15-53.
5. Calculator de adăugare vectorială Preluat de pe: www.1728.org