VECTOR: CARACTERISTICI ȘI PROPRIETĂȚI, ELEMENTE, TIPURI, EXEMPLE - ŞTIINŢĂ - 2025

Cei Vectorii sunt entități matematice care au un general , însoțite de magnitudinea și direcția o unitate de măsură -positiva- bine. Astfel de caracteristici sunt foarte potrivite pentru a descrie cantități fizice precum viteza, forța, accelerația și multe altele.

Cu vectori este posibil să se efectueze operații precum adunarea, scăderea și produsele. Diviziunea nu este definită pentru vectori și în ceea ce privește produsul, există trei clase pe care le vom descrie mai târziu: punct produs sau punct, produs vectorial sau cruce și produs al scalarului de către un vector.

Figura 1. Elementele unui vector. Sursa: Wikimedia Commons.

Pentru a descrie pe deplin un vector, trebuie indicate toate caracteristicile acestuia. Mărimea sau modulul este o valoare numerică însoțită de o unitate, în timp ce direcția și sensul sunt stabilite cu ajutorul unui sistem de coordonate.

Să analizăm un exemplu: să presupunem că un avion zboară dintr-un oraș în altul cu o viteză de 850 km / h într-o direcție NE. Aici avem un vector complet specificat, deoarece mărimea este disponibilă: 850 km / h, în timp ce direcția și sensul sunt NE.

Vectoarele sunt de obicei reprezentate grafic de segmente de linie orientate, a căror lungime este proporțională cu mărimea.

Deși pentru a specifica direcția și sensul este necesară o linie de referință, care este de obicei axa orizontală, deși nordul poate fi luat și ca referință, acesta este cazul vitezei avionului:

Figura 2. Un vector de viteză. Sursa: F. Zapata.

Figura arată vectorul de viteză al planului, notat ca v cu caractere aldine , pentru a-l distinge de o cantitate scalară, care necesită doar o valoare numerică și o anumită unitate.

Elemente ale unui vector

După cum am spus, elementele vectorului sunt:

-Magnitudinea sau modulul, uneori numit și valoare sau normă absolută a vectorului.

-Abordare

-Sens

În exemplul din figura 2, modulul lui v este de 850 km / h. Modulul este notat ca v fără bold, sau as - v -, unde barele reprezintă valoarea absolută.

Direcția lui v este specificată în raport cu nordul. În acest caz se află la 45 ° nord de est (45º NE). În sfârșit, vârful săgeții informează despre sensul v .

În acest exemplu, originea vectorului a fost desenată coincidând cu originea O a sistemului de coordonate, aceasta este cunoscută sub numele de vector legat. Pe de altă parte, dacă originea vectorului nu coincide cu cea a sistemului de referință, se spune că este un vector liber.

Trebuie menționat că pentru a specifica pe deplin vectorul, aceste trei elemente trebuie notate, altfel descrierea vectorului ar fi incompletă.

Componente dreptunghiulare ale unui vector

Figura 3. Componentele dreptunghiulare ale unui vector în plan. Sursa: Wikimedia Commons. uranther

În imagine avem înapoi exemplul nostru vector v , care se află în planul xy.

Este ușor de observat că proiecțiile lui v pe axele coordonatelor x și y determină un triunghi drept. Aceste proiecții sunt v _{y și} v _x și se numesc componente dreptunghiulare ale v .

Un mod de a denota v prin componentele sale dreptunghiulare este astfel: v =x, v _și >. Aceste paranteze sunt utilizate în loc de paranteze pentru a sublinia faptul că este un vector și nu o perioadă, deoarece în acest caz vor fi utilizate paranteze.

Dacă vectorul se află într-un spațiu tridimensional, este nevoie de încă o componentă, astfel încât:

v =x, v _y , v _z >

Cunoașterea componentelor rectangulare mărimea vectorului este calculat, echivalent cu găsirea ipotenuza triunghiului dreptunghic ale cărui picioare sunt v _x și v _{și ,.} Prin teorema pitagoreică rezultă că:

Forma polară a unui vector

Când magnitudinea vectorului - v - și unghiul θ pe care îl face cu axa de referință, în general axa orizontală, sunt cunoscute, vectorul este de asemenea specificat. Se spune că vectorul este exprimat sub formă polară.

Componentele dreptunghiulare în acest caz sunt ușor calculate:

Conform celor de mai sus, componentele dreptunghiulare ale vectorului de viteză v al planului ar fi:

Tipuri

Există mai multe tipuri de vectori. Există vectori de viteză, poziție, deplasare, forță, câmp electric, moment și multe altele. După cum am spus deja, în fizică există un număr mare de cantități vectoriale.

În ceea ce privește vectorii care au anumite caracteristici, putem menționa următoarele tipuri de vectori:

-Nul : acestea sunt vectori a căror mărime este 0 și care sunt notate ca 0. Rețineți că litera cu caractere aldine simbolizează cele trei caracteristici fundamentale ale unui vector, în timp ce litera normală reprezintă doar modulul.

De exemplu, pe un corp în echilibru static, suma forțelor trebuie să fie un vector nul.

- Libera și legată : vectorii liberi sunt cei ale căror puncte de origine și sosire sunt orice pereche de puncte în plan sau spațiu, spre deosebire de vectori legați, a căror origine coincide cu cea a sistemului de referință utilizat pentru a le descrie.

Cuplul sau momentul produs de un cuplu de forțe este un bun exemplu de vector liber, deoarece cuplul nu se aplică niciunui punct particular.

- Echipamente : sunt doi vectori liberi care au caracteristici identice. Prin urmare, au o magnitudine, direcție și sens egale.

- Coplanar sau coplanar : vectori care aparțin aceluiași plan.

- opuse : vectori cu aceeași mărime și direcție, dar direcții opuse. Vectorul opus unui vector v este vectorul - v, iar suma ambelor este vectorul nul: v + (- v ) = 0 .

- Concomitent : vectori ale căror linii de acțiune trec toate prin același punct.

- Glisoare : sunt acei vectori al căror punct de aplicare poate aluneca de-a lungul unei anumite linii.

- Collinear : vectori care sunt situați pe aceeași linie.

- Unitar : acei vectori al căror modul este 1.

Vectori de unitate ortogonali

Există un tip de vector foarte util în fizică numit vector de unitate ortogonală. Vectorul unității ortogonale are un modul egal cu 1 și unitățile pot fi oricare, de exemplu cele de viteză, poziție, forță sau altele.

Există un set de vectori speciali care ajută la reprezentarea cu ușurință a altor vectori și la efectuarea operațiunilor cu aceștia: sunt vectori de unități ortogonale i , j și k , unități și perpendiculare între ele.

În două dimensiuni, acești vectori sunt direcționați de-a lungul direcției pozitive atât axa x cât și axa y Și în trei dimensiuni se adaugă un vector de unitate pe direcția axei z pozitive. Sunt reprezentate după cum urmează:

i = <1, 0,0>

j = <0,1,0>

k = <0,0,1>

Un vector poate fi reprezentat de vectorii unității i , j și k după cum urmează:

v = v _x i + v _y j + v _z k

De exemplu, vectorul de viteză v din exemplele precedente poate fi scris ca:

v = 601,04 i + 601,04 j km / h

Componenta din k nu este necesară, deoarece acest vector se află în plan.

Adaos vectorial

Suma vectorilor apare foarte des în diferite situații, de exemplu atunci când doriți să găsiți forța rezultantă asupra unui obiect care este afectat de diverse forțe. Pentru a începe, să presupunem că avem doi vectori liberi u și v pe plan, așa cum se arată în figura următoare din stânga:

Figura 4. Suma grafică a doi vectori. Sursa: Wikimedia Commons. Lluc cabanach.

Este imediat transferat cu atenție la vectorul v , fără a-și modifica magnitudinea, direcția sau sensul, astfel încât originea sa coincide cu sfârșitul lui u .

Suma vectorială se numește w și este desenată începând de la u care se termină în v , conform cifrei drepte. Este important de menționat că magnitudinea vectorului w nu este neapărat suma mărimilor v și u .

Dacă vă gândiți cu atenție, singura dată când magnitudinea vectorului rezultat este suma mărimilor suplimentelor este atunci când ambele adaosuri sunt în aceeași direcție și au același sens.

Și ce se întâmplă dacă vectorii nu sunt liberi? De asemenea, este foarte ușor să le adăugați. Modul de a face acest lucru este prin adăugarea de componente la o componentă sau o metodă analitică.

Ca exemplu, să luăm în considerare vectorii din figura următoare, primul lucru este să le exprimăm într-unul din modurile carteziene explicate anterior:

Figura 5. Suma a doi vectori legați. Sursa: Wikimedia Commons.

v = <5.1>

u = <2,3>

Pentru a obține componenta x a vectorului sumei w , adăugați componentele x respective ale lui v și u : w _x = 5 + 2 = 7. Și pentru a obține w _y este urmată o procedură analogă: w _y = 1 + 3. Prin urmare:

u = <7.4>

Proprietăți de adăugare vectorială

-Suma a doi sau mai mulți vectori are ca rezultat un alt vector.

-Este comutativ, ordinea completărilor nu modifică suma, astfel încât:

u + v = v + u

- Elementul neutru al sumei vectorilor este vectorul nul: v + 0 = v

- Scăderea a doi vectori este definită ca suma opusă: v - u = v + (-u)

Exemple de vector

După cum am spus, în fizică există numeroase cantități vectoriale. Printre cele mai cunoscute se numără:

-Poziţie

-Deplasare

-Viteza medie și viteza instantanee

-Accelerare

-Forta

-Multă mișcare

-Torcul sau momentul unei forțe

-Impuls

-Câmp electric

-Camp magnetic

-Moment magnetic

Pe de altă parte, nu sunt vectori, ci scalari:

-Vreme

-Masa

-Temperatura

-Volum

-Densitate

-Munca mecanica

-Energie

-Fierbinte

-Putere

-Voltaj

-Curent electric

Alte operații între vectori

Pe lângă adăugarea și scăderea vectorilor, există alte trei operații foarte importante între vectori, deoarece dau naștere la noi cantități fizice foarte importante:

-Produsul unui scalar de către un vector.

-Produsul punct sau produsul între vectori

-Și produsul încrucișat sau vector între doi vectori.

Produs al unui scalar și al unui vector

Luați în considerare a doua lege a lui Newton, care prevede că forța F și accelerația a sunt proporționale. Constanta de proporționalitate este masa m a obiectului, prin urmare:

F = m. la

Masa este scalară; la rândul lor, forța și accelerația sunt vectori. Deoarece forța este obținută prin înmulțirea masei cu accelerație, aceasta este rezultatul produsului unui scalar și al unui vector.

Acest tip de produs are ca rezultat întotdeauna un vector. Iată un alt exemplu: cantitatea de mișcare. Fie P vectorul de moment, v vectorul de viteză și, ca întotdeauna, m este masa:

P = m. v

Produs punct sau produs punct între vectori

Am pus lucrări mecanice pe lista cantităților care nu sunt vectori. Cu toate acestea, munca în fizică este rezultatul unei operații între vectori numiți produs scalar, produs interior sau produs punct.

Lăsați vectorii v și u , să definească punctul sau produsul scalar între ei ca:

v ∙ u = - v - ∙ - u -.cos θ

Unde θ este unghiul dintre cele două. Din ecuația arătată rezultă imediat că rezultatul produsului punct este un scalar și, de asemenea, dacă ambii vectori sunt perpendiculari, produsul lor punct este 0.

Înapoi la lucrul mecanic W, acesta este produsul scalar între vectorul de forță F și vectorul de deplasare ℓ .

Când vectorii sunt disponibili în termenii componentelor lor, produsul punct este, de asemenea, foarte ușor de calculat. Dacă v =x, v _y , v _z > y u =x, u _y , u _z >, produsul punct între cele două este:

v ∙ u = v _x u _x + v _y u _y + v _z u _z

Produsul punct între vectori este, prin urmare, comutativ:

v ∙ u = u ∙ v

Produs încrucișat sau produs vectorial între vectori

Dacă v și u sunt cei doi exemple vectori, definim produsul vectorial ca:

v x u = w

Rezultă imediat că produsul încrucișat are ca rezultat un vector, al cărui modul este definit ca:

Unde θ este unghiul dintre vectori.

Produsul încrucișat nu este comutativ, prin urmare v x u ≠ u x v. De fapt v x u = - (u x v).

Dacă cei doi exemplu vectori sunt exprimați în termeni de vectori de unitate, calculul produsului vectorial este mai ușor:

v = v _x i + v _y j + v _z k

u = u _x i + u _y j + u _z k

Produse încrucișate între vectori de unitate

Produsul încrucișat între vectori de unitate identici este zero, deoarece unghiul dintre aceștia este 0º. Dar între diferiți vectori de unități, unghiul dintre ei este 90 ° și sin 90 ° = 1.

Următoarea diagramă ajută la găsirea acestor produse. În direcția săgeții are o direcție pozitivă și în sens opus negativ:

i x j = k, j x k = i; k x i = j; j x i = -k; k x j = -i; i x k = -j

Aplicând proprietatea distributivă, care este încă valabilă pentru produsele dintre vectori plus proprietățile vectorilor unității, avem:

v x u = (v _x i + v _y j + v _z k ) x (u _x i + u _y j + u _z k ) =

Exerciții rezolvate

- Exercitiul 1

Având în vedere vectorii:

v = -5 i + 4 j + 1 k

u = 2 i -3 j + 7 k

Ce trebuie vectorul w fie pentru suma v + u + w pentru a fi 6 i 8 j -10 k ?

Soluţie

Prin urmare, trebuie îndeplinit faptul că:

Răspunsul este: w = 9 i +7 j - 18 k

- Exercițiul 2

Care este unghiul dintre vectorii v și u din exercițiul 1?

Soluţie

Vom folosi produsul dot. Din definiție avem:

v ∙ u = -10 -12 + 7 = -15

Înlocuirea acestor valori:

Referințe

1. Figueroa, D. (2005). Serie: fizică pentru știință și inginerie. Volumul 1. Cinematica. Editat de Douglas Figueroa (USB).
2. Giancoli, D. 2006. Fizică: Principii cu aplicații. 6-a. Sala Ed Prentice.
3. Rex, A. 2011. Fundamentele fizicii. Pearson.
4. Sears, Zemansky. 2016. Universitatea de fizică cu fizică modernă. 14. Ed. Volumul 1.
5. Serway, R., Jewett, J. 2008. Fizică pentru știință și inginerie. Volumul 1. 7. Ed. Cengage Learning.