PERMUTĂRI FĂRĂ REPETIȚIE: FORMULE, DOVADĂ, EXERCIȚII, EXEMPLE - DUDAS - 2025

O permutare fără repetarea a n elemente este diferitele grupuri de elemente diferite care pot fi obținute de la a nu se repeta niciun element, modificând doar ordinea de plasare a elementelor.

Pentru a afla numărul de permutări fără repetare, se folosește următoarea formulă:

Pn = n!

Care extins ar fi Pn = n! = n (n - 1) (n - 2)… (2) (1).

Deci, în exemplul practic anterior, acesta ar fi aplicat după cum urmează:

P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 numere diferite de 4 cifre.

Acestea fiind cele 24 de tablouri în total: 2468, 2486, 2648, 2684, 2846, 2864, 4268, 4286, 4628, 4682, 4826, 4862, 6248, 6284, 6428, 6482, 6824, 6842, 8246, 8264, 8426, 8462, 8624, 8642.

După cum se poate observa, în niciun caz nu există repetări, fiind 24 de numere diferite.

Demo și formule

24 Aranjamente de 4 figuri diferite

Vom analiza mai precis exemplul celor 24 de aranjamente diferite din 4 cifre care pot fi formate cu cifrele numărului 2468. Numărul de aranjamente (24) poate fi cunoscut după cum urmează:

Aveți 4 opțiuni pentru a selecta prima cifră, care lasă 3 opțiuni pentru a selecta a doua. Două cifre au fost deja setate și rămân 2 opțiuni pentru selectarea celei de-a treia cifre. Ultima cifră are o singură opțiune de selectare.

Prin urmare, numărul de permutări, notat cu P4, este obținut prin produsul opțiunilor de selecție din fiecare poziție:

P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 numere diferite de 4 cifre

În general, numărul de permutări sau aranjamente diferite care pot fi efectuate cu toate cele n elemente ale unui set dat este:

Pn = n! = n (n - 1) (n - 2)… (2) (1)

Expresia n! este cunoscut ca n factorial și înseamnă produsul tuturor numerelor naturale care se află între numărul n și numărul unu, inclusiv ambele.

12 Aranjamente de 2 figuri diferite

Acum să presupunem că doriți să știți numărul de permutări sau numere din două cifre care pot fi formate cu cifrele numărului 2468.

Acestea ar fi 12 aranjamente în total: 24, 26, 28, 42, 46, 48, 62, 64, 68, 82, 84, 86

Aveți 4 opțiuni pentru a selecta prima cifră, care lasă 3 cifre pentru a selecta a doua. Prin urmare, numărul de permutări din cele 4 cifre luate două câte două, notate cu 4P2, este obținut prin produsul opțiunilor de selecție din fiecare poziție:

4P2 = 4 * 3 = 12 numere diferite de 2 cifre

În general, numărul de permutări sau aranjamente diferite care pot fi executate cu r elemente ale n în total într-un set dat este:

nPr = n (n - 1) (n - 2) …

Expresia de mai sus este trunchiată înainte de a juca n !. Pentru a completa n! din ea ar trebui să scriem:

n! = n (n - 1) (n - 2)… (n - r)… (2) (1)

Factorii pe care îi adăugăm, la rândul lor, reprezintă un factor:

(n - r)… (2) (1) = (n - r)!

Prin urmare,

n! = n (n - 1) (n - 2)… (n - r)… (2) (1) = n (n - 1) (n - 2)… (n - r)!

De aici

n! / (n - r)! = n (n - 1) (n - 2) … = nPr

Exemple

Exemplul 1

Câte combinații diferite de 5 litere pot fi construite cu literele cuvântului KEY?

Vrem să găsim numărul de combinații de litere diferite de 5 litere care pot fi construite cu cele 5 litere ale cuvântului cheie; adică numărul de tablouri cu 5 litere care implică toate literele disponibile în cuvântul KEY.

Numărul de 5 cuvinte litere = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 combinații diferite de 5 litere.

Acestea ar fi: CLAVE, VELAC, LCAEV, VLEAC, ECVLAC … până la 120 de combinații de litere diferite în total.

Exemplul 2

Aveți 15 bile numerotate și doriți să știți Câte grupuri diferite de 3 bile pot fi construite cu cele 15 bile numerotate?

Vrei să găsești numărul de grupuri de 3 bile care pot fi realizate cu cele 15 bile numerotate.

Nr de grupuri de 3 bile = 15P3 = 15! / (15 - 3)!

Nr de grupuri de 3 bile = 15 * 14 * 13 = 2730 grupuri de 3 bile

Exerciții rezolvate

Exercitiul 1

Un magazin de fructe are un stand expozițional format dintr-un rând de compartimente amplasate în holul de la intrare în incintă. Într-o singură zi, fructele verzi achiziționează spre vânzare: portocale, banane, ananas, pere și mere.

a) Câte moduri diferite trebuie să comandați standul expozițional?

b) Câte moduri diferite trebuie să comandați standul dacă, pe lângă fructele menționate (5), ați primit în acea zi: mango, piersici, căpșuni și struguri (4)?

a) Vrem să găsim numărul de moduri diferite de a comanda toate fructele din rândul de afișare; adică numărul de aranjamente de 5 fructe care implică toate fructele disponibile pentru vânzare în acea zi.

Numărul de aranjamente pentru stand = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Numărul de aranjamente pentru standuri = 120 de modalități de prezentare a standului

b) Vrem să găsim numărul de moduri diferite de a comanda toate fructele din rândul afișajului dacă s-au adăugat 4 elemente suplimentare; adică numărul de aranjamente de 9 fructe care implică toate fructele disponibile pentru vânzare în acea zi.

Numărul de aranjamente pentru stand = P9 = 9! = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Numărul de aranjamente pentru standuri = 362.880 moduri de prezentare a standului

Exercițiul 2

O mică priză alimentară are un teren cu suficient spațiu pentru a parca 6 vehicule.

a) Câte modalități diferite de a comanda vehiculele pe terenul pot fi selectate?

b) Să presupunem că este dobândită o parcelă contiguă ale cărei dimensiuni permit parcarea a 10 vehicule, câte forme diferite de amenajare a vehiculului pot fi selectate acum?

a) Vrem să găsim numărul de moduri diferite de a comanda cele 6 vehicule care pot fi adăpostite în teren.

Numărul de aranjamente ale celor 6 vehicule = P6 = 6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Numărul de aranjamente ale celor 6 vehicule = 720 moduri diferite de a comanda cele 6 vehicule în lot.

b) Vrem să găsim numărul de moduri diferite de a comanda cele 10 vehicule care pot fi adăpostite în parcele de teren după extinderea parcelei.

Numărul de aranjamente ale celor 10 vehicule = P10 = 10!

Număr de aranjamente pentru vehicule = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Numărul de aranjamente ale celor 10 vehicule = 3.628.800 de moduri diferite de a comanda cele 10 vehicule în teren.

Exercițiul 3

O florară are flori de 6 culori diferite pentru a face steaguri florale ale națiunilor care au doar 3 culori. Dacă se știe că ordinea culorilor este importantă în steaguri,

a) Câte steaguri diferite de 3 culori pot fi făcute cu cele 6 culori disponibile?

b) Vânzătorul cumpără flori cu 2 culori suplimentare celor 6 pe care le avea deja, acum câte steaguri diferite de 3 culori pot fi făcute?

c) Deoarece aveți 8 culori, decideți să extindeți gama de steaguri. Câte steaguri 4 culori diferite puteți face?

d) Câte din 2 culori?

a) Vrem să găsim numărul diferitelor steaguri de 3 culori care pot fi realizate selectând dintre cele 6 culori disponibile.

Nr. Stegulețe în 3 culori = 6P3 = 6! / (6 - 3)!

Nr. Steaguri în 3 culori = 6 * 5 * 4 = 120 steaguri

b) Doriți să găsiți numărul diferitelor steaguri de 3 culori care pot fi realizate selectând dintre cele 8 culori disponibile.

Nr. Stegulețe în 3 culori = 8P3 = 8! / (8 - 3)!

Nr. Steaguri în 3 culori = 8 * 7 * 6 = 336 steaguri

c) Numărul diferitelor steaguri în 4 culori care pot fi realizate prin selectarea dintre cele 8 culori disponibile.

Număr steaguri în 4 culori = 8P4 = 8! / (8 - 4)!

Nr. Steaguri în 4 culori = 8 * 7 * 6 * 5 = 1680 steaguri

d) Doriți să determinați numărul diferitelor steaguri în 2 culori care pot fi realizate selectând dintre cele 8 culori disponibile.

Nr. Stegulețe în 2 culori = 8P2 = 8! / (8 - 2)!

Nr. Steaguri în 2 culori = 8 * 7 = 56 steaguri

Referințe

1. Boada, A. (2017). Utilizarea permutării cu repetarea ca predare a experimentelor. Revista Vivat Academia. Recuperat de la researchgate.net.
2. Canavos, G. (1988). Probabilitate și statistici. Aplicații și metode. McGraw-Hill / Interamericana de México SA de CV
3. Sticlă, G .; Stanley, J. (1996). Metode statistice care nu sunt aplicate științelor sociale. Prentice Hall Hispanoamericana SA
4. Spiegel, M .; Stephens, L. (2008). Statistici. A patra ed. McGraw-Hill / Interamericana de México SA
5. Walpole, R .; Myers, R .; Myers, S .; Ye, Ka. (2007). Probabilitate și statistici pentru ingineri și oameni de știință. A opta ed. Pearson Education International Prentice Hall.
6. Webster, A. (2000). Statistici aplicate afacerilor și economiei. A treia ed. McGraw-Hill / Interamericana SA
7. (2019). Permutare. Recuperat de pe en.wikipedia.org.