PERMUTĂRI CIRCULARE: DOVADĂ, EXEMPLE, EXERCIȚII REZOLVATE - DUDAS - 2025

Cele permutări circulare sunt diferite tipuri de grupări de toate elementele unui set, atunci când urmează să fie aranjate în cercuri. În acest tip de permutare comanda contează și elementele nu se repetă.

De exemplu, să presupunem că doriți să cunoașteți numărul de tablete distincte de cifre una până la patru, plasând fiecare număr la unul dintre vârfurile unui romboi. Acestea ar fi 6 aranjamente în total:

Nu trebuie confundat că numărul unu se află în poziția superioară a rombului, în toate cazurile, ca poziție fixă. Permutațiile circulare nu sunt modificate prin rotirea tabloului. Următoarele sunt o singură permutare sau aceeași:

Demo și formule

În exemplul diferitelor tablouri circulare în 4 cifre situate la vârfurile unui romb, numărul de matrice (6) poate fi găsit astfel:

1- Oricare dintre cele patru cifre este luată ca punct de plecare la oricare dintre vârfuri și avansează la următorul vertex. (nu contează dacă este rotit în sens orar sau în sens invers acelor de ceasornic)

2- Au rămas 3 opțiuni pentru a selecta cel de-al doilea vertex, apoi există 2 opțiuni pentru a selecta cel de-al treilea vertex și, desigur, există o singură opțiune de selecție pentru al patrulea vertex.

3- Astfel, numărul permutațiilor circulare, notat cu (4 - 1) P (4 - 1), este obținut prin produsul opțiunilor de selecție din fiecare poziție:

(4 - 1) P (4 - 1) = 3 * 2 * 1 = 6 tablouri circulare diferite din 4 cifre.

În general, numărul de permutări circulare care pot fi obținute cu toate n elementele unui set este:

(n - 1) P (n - 1) = (n - 1)! = (n - 1) (n - 2)… (2) (1)

Rețineți că (n - 1)! Este cunoscut sub numele de factorial și prescurtează produsul tuturor numerelor de la numărul (n - 1) la numărul unu, inclusiv.

Exemple

Exemplul 1

În câte moduri diferite trebuie să se așeze 6 oameni la o masă circulară?

Vrei să găsești numărul de modalități prin care 6 persoane se pot așeza în jurul unei mese rotunde.

Nr de moduri de a sta = (6 - 1) P (6 - 1) = (6 - 1)!

Nr. De moduri de a sta = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 moduri diferite

Exemplul 2

În câte moduri diferite trebuie să se localizeze 5 persoane la vârfurile unui pentagon?

Numărul de modalități prin care 5 persoane pot fi localizate la fiecare dintre vârfurile unui pentagon.

N ° modalități de a fi localizate = (5 - 1) P (5 - 1) = (5 - 1)!

Nr de moduri de a fi localizate = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 moduri diferite

Exerciții rezolvate

- Exercitiul 1

Un bijutier achiziționează 12 pietre prețioase diferite pentru a le plasa în punctele orelor unui ceas pe care îl pregătește în numele casei regale a unei țări europene.

a) Câte moduri diferite are de aranjat pietrele pe ceas?

b) Câte forme diferite are dacă piatra care merge la ora 12 este unică?

c) Câte forme diferite dacă piatra de la ora 12 este unică și pietrele din celelalte trei puncte cardinale, 3, 6 și 9; Există trei pietre specifice, care pot fi schimbate, iar restul orelor sunt alocate de restul pietrelor?

soluţii

a) Numărul de modalități de a aranja toate pietrele pe circumferința ceasului; adică numărul de aranjamente circulare care implică toate pietrele disponibile.

Număr de aranjamente pe ceas = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!

Număr de corecții pe ceas = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Număr de aranjamente pe ceas = 39976800 de forme diferite

b) El se întreabă câte moduri diferite de comandă există, știind că piatra de la mânerul de la ora 12 este unică și fixată; adică numărul de aranjamente circulare care implică celelalte 11 pietre.

Număr de aranjamente pe ceas = (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!

Numărul de corecții pe ceas = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Număr de aranjamente pe ceas = 3628800 de forme diferite

c) În sfârșit, se caută numărul de modalități de a comanda toate pietrele, cu excepția celei de la ora 12, care este fixată, a celor 3, 6 și 9 pietre care au 3 pietre care trebuie atribuite între ele; adică 3! posibilitățile de aranjare și numărul de aranjamente circulare care implică restul de 8 pietre.

Număr de corecții în ceas = 3! * = 3! * (8–1)!

Număr de aranjamente în ceas = (3 * 2 * 1) (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)

Număr de aranjamente pe ceas = 241920 de forme diferite

- Exercițiul 2

Comitetul director al unei companii este format din 8 membri și se întâlnesc la o masă ovală.

a) Câte forme diferite de aranjare în jurul mesei are comisia?

b) Presupunem că președintele stă în fruntea mesei în orice aranjament al comisiei, câte forme diferite de aranjare are restul comisiei?

c) Să presupunem că vicepreședintele și secretarul stau de o parte și de alta a președintelui în orice aranjament al comisiei.Câte forme diferite de aranjare are restul comisiei?

soluţii

a) Dorim să găsim numărul de modalități diferite de a aranja cei 12 membri ai comisiei în jurul mesei ovale.

Nr. Aranjamente ale comisiei = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!

Numărul de aranjamente ale comisiei = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Nr. Aranjamente ale comisiei = 39976800 diferite forme

b) Deoarece președintele comisiei este situat într-o poziție fixă, se caută numărul de modalități de a comanda restul de 11 membri ai comisiei în jurul mesei ovale.

Nr. Aranjamente ale comisiei = (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!

Nr. Aranjamente ale comisiei = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Nr. Aranjamente ale comisiei = 3.628.800 de forme diferite

c) Președintele este situat într-o poziție fixă, iar în părți sunt vicepreședintele și secretarul cu două posibilități de aranjare: vicepreședinte la dreapta și secretar în stânga sau vicepreședinte în stânga și secretar în dreapta. Apoi doriți să găsiți numărul de modalități diferite de a aranja restul de 9 membri ai comisiei în jurul mesei ovale și de a înmulți cu cele 2 forme de aranjamente pe care vicepreședintele și secretarul le au.

Numărul de aranjamente ale comisiei = 2 * = 2 *

Numărul de aranjamente ale comisiei = 2 * (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)

Nr. Aranjamente ale comitetului = 80640 de forme diferite

Referințe

1. Boada, A. (2017). Utilizarea permutării cu repetarea ca predare a experimentelor. Revista Vivat Academia. Recuperat de la researchgate.net.
2. Canavos, G. (1988). Probabilitate și statistici. Aplicații și metode. McGraw-Hill / Interamericana de México SA de CV
3. Sticlă, G .; Stanley, J. (1996). Metode statistice care nu sunt aplicate științelor sociale. Prentice Hall Hispanoamericana SA
4. Spiegel, M .; Stephens, L. (2008). Statistici. A patra ed. McGraw-Hill / Interamericana de México SA
5. Walpole, R .; Myers, R .; Myers, S .; Ye, Ka. (2007). Probabilitate și statistici pentru ingineri și oameni de știință. A opta ed. Pearson Education International Prentice Hall.
6. Webster, A. (2000). Statistici aplicate afacerilor și economiei. A treia ed. McGraw-Hill / Interamericana SA
7. Wikipedia. (2019). Permutare. Recuperat de pe en.wikipedia.org.