SET INFINIT: PROPRIETĂȚI, EXEMPLE - MATEMATICA - 2025

Un set infinit se înțelege a fi acel set în care numărul elementelor sale este de necontestat. Adică, oricât de mare ar fi numărul elementelor sale, este întotdeauna posibil să găsiți mai multe.

Cel mai comun exemplu este setul infinit de numere naturale N . Nu contează cât de mare este numărul, deoarece puteți obține întotdeauna unul mai mare într-un proces care nu are sfârșit:

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ………………, 41, 42, 43, ……………………………………………., 100, 101, ………………………, 126, 127, 128, …………………. ……………………}

Figura 1. Simbolul infinitului. (Pixabay)

Setul de stele din univers este cu siguranță imens, dar nu se știe sigur dacă este finit sau infinit. Spre deosebire de numărul de planete din sistemul solar, care este cunoscut a fi un set finit.

Proprietățile setului infinit

Printre proprietățile seturilor infinite putem evidenția următoarele:

1- Unirea a două seturi infinite dă naștere unui nou set infinit.

2- Unirea unui set finit cu unul infinit dă naștere unui nou set infinit.

3- Dacă subsetul unui set dat este infinit, atunci setul inițial este de asemenea infinit. Declarația reciprocă nu este adevărată.

Nu puteți găsi un număr natural capabil să exprime cardinalitatea sau numărul de elemente ale unui set infinit. Cu toate acestea, matematicianul german Georg Cantor a introdus conceptul de număr transfinit pentru a se referi la un ordinal infinit mai mare decât orice număr natural.

Exemple

N natural

Cel mai frecvent exemplu al unui set infinit este cel al numerelor naturale. Numerele naturale sunt cele care sunt folosite pentru a număra, cu toate acestea, numerele întregi care pot exista sunt nenumărate.

Ansamblul numerelor naturale nu include zero și este notat în mod obișnuit ca mulțimea N , care în formă extinsă este exprimată astfel:

N = {1, 2, 3, 4, 5,….} Și este clar un set infinit.

O elipsă este folosită pentru a indica faptul că după un număr, urmează altul și apoi altul într-un proces fără sfârșit sau fără sfârșit.

Setul de numere naturale unit cu setul care conține numărul zero (0) este cunoscut sub numele de set N + .

N + = {0, 1, 2, 3, 4, 5,….} Care este rezultatul unirii mulțimii infinite N cu mulțimea finită O = {0}, rezultând setul infinit N + .

Numerele întregi Z

Ansamblul de numere întregi Z este format din numere naturale, numere naturale cu semn negativ și zero.

Numerele întregi Z sunt considerate o evoluție în raport cu numerele naturale N utilizate inițial și primitiv în procesul de numărare.

În setul numeric Z al numerelor întregi, zero este încorporat pentru a număra sau număra nimic și numere negative pentru a număra extragerea, pierderea sau lipsa de ceva.

Pentru a ilustra ideea, să presupunem că apare un sold negativ în contul bancar. Aceasta înseamnă că contul este sub zero și nu numai că contul este gol, dar are o diferență lipsă sau negativă, care trebuie înlocuită cumva de bancă.

În forma extinsă setul infinit Z de numere întregi este scris ca aceasta:

Z = {……., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …… ..}

Raționalele Q

În evoluția procesului de numărare și de schimb de lucruri, bunuri sau servicii, apar numere fracționale sau raționale.

De exemplu, în schimbul unei jumătăți de pâine cu două mere, la momentul înregistrării tranzacției, s-a întâmplat cuiva că jumătate trebuie scrisă ca una împărțită sau împărțită în două părți: ½. Dar jumătate din jumătate din pâine va fi înregistrată în evidențe după cum urmează: ½ / ½ = ¼.

Este clar că acest proces de diviziune poate fi nesfârșit în teorie, deși în practică este până la atingerea ultimei particule de pâine.

Setul de numere raționale (sau fracționale) se notează după cum urmează:

Q = {………, -3,…., -2,… .., -1, ……, 0,… .., 1, ……, 2,… .., 3, …… ..}

Elipsa dintre cele două numere întregi înseamnă că între acele două numere sau valori există partiții sau divizii infinite. De aceea se spune că mulțimea numerelor raționale este infinit de densă. Acest lucru se datorează faptului că, indiferent de cât de apropiate ar fi două numere raționale, se pot găsi valori infinite.

Pentru a ilustra cele de mai sus, să presupunem că ni se cere să găsim un număr rațional între 2 și 3. Acest număr poate fi 2⅓, ceea ce este cunoscut ca un număr mixt format din 2 părți întregi plus o treime din unitate, care este echivalent cu scrierea 4/3.

Între 2 și 2⅓ se poate găsi o altă valoare, de exemplu 2⅙. Iar între 2 și 2⅙ se poate găsi o altă valoare, de exemplu 2⅛. Între acestea două, și între ele, altul și altul.

Figura 2. Diviziuni infinite la numere raționale. (comuniuni wikimedia)

Numere iraționale I

Există numere care nu pot fi scrise ca diviziune sau fracție a două numere întregi. Acest set numeric este cunoscut sub numele de mulțimea I a numerelor iraționale și este, de asemenea, un set infinit.

Unele elemente sau reprezentanți notabili ai acestui set numeric sunt numărul pi (π), numărul Euler (e), raportul auriu sau numărul de aur (φ). Aceste numere pot fi scrise aproximativ cu un număr rațional:

π = 3.1415926535897932384626433832795 …… (și continuă până la infinit și nu numai …)

e = 2.7182818284590452353602874713527 …… (și continuă dincolo de infinit …)

φ = 1.61803398874989484820 …… .. (până la infinit… .. și dincolo de… ..)

Alte numere iraționale apar atunci când încercați să găsiți soluții la ecuații foarte simple, de exemplu ecuația X ^ 2 = 2 nu are o soluție rațională exactă. Soluția exactă este exprimată prin următoarea simbologie: X = √2, care este citită x egală cu rădăcina a două. O expresie rațională (sau zecimală) aproximativă pentru √2 este:

√2 ≈1.4142135623730950488016887242097.

Există nenumărate numere iraționale, √3, √7, √11, 3 ^ (⅓), 5 ^ (⅖) pentru a numi câteva.

Ansamblul realelor R

Numerele reale sunt setul de numere cel mai des utilizat în calculul matematic, fizică și inginerie. Acest set de numere este uniunea numerelor raționale Q și a numerelor iraționale I :

R = Q U I

Infinitate mai mare decât infinitul

Printre seturile infinite unele sunt mai mari decât altele. De exemplu, setul de numere naturale N este infinit , dar este un subset de numere întregi Z , care este infinit, deci set infinit Z este mai mare decât setul infinit N .

În mod similar, setul de numere întregi Z este un subset al numerelor reale R , și , prin urmare , mulțimea R este „infinit“ setul infinit Z .

Referințe

1. Celeberrima. Exemple de seturi infinite. Recuperat de la: celeberrima.com
2. Fuentes, A. (2016). MATH DE BAZĂ. O introducere în calcul. Lulu.com.
3. Garo, M. (2014). Matematică: ecuații patratice: Cum rezolvați o ecuație patratică. Marilù Garo.
4. Haeussler, EF, & Paul, RS (2003). Matematică pentru management și economie. Pearson Education.
5. Jiménez, J., Rodríguez, M., Estrada, R. (2005). Matematică 1 SEP. Prag.
6. Preciado, CT (2005). Curs de matematica a 3-a. Editorial Progreso.
7. Rock, NM (2006). Algebra I este ușor! Atât de ușor. Echipa Rock Press.
8. Sullivan, J. (2006). Algebră și trigonometrie. Pearson Education.
9. Wikipedia. Set infinit. Recuperat din: es.wikipedia.com