CUM SE OBȚINE PROCENTUL? EXEMPLE ȘI EXERCIȚII - VOCABULARUL CULTURII - 2025

Puteți obține un procent cu mai multe metode. Puteți calcula rapid 10% din orice număr doar mutând punctul zecimal într-un loc spre stânga. De exemplu, 10% din 100 este 10; 10% din 1000 este 100.

Dacă doriți să calculați procente mai complexe, cum ar fi 36% din 25 sau 250% din 20, trebuie să utilizați alte metode. Pentru cazurile în care sistemul de 10% nu este aplicabil, se pot lua în considerare următoarele metodologii.

Figura 1. Reduceri cu procente diferite. Cât economisim în fiecare? Sursa: Pixabay.

Termenul procent înseamnă o anumită parte din fiecare sută și se referă la operația aritmetică efectuată pentru a găsi acea parte. De exemplu, 20% (citiți „douăzeci la sută”) de reducere în pesos înseamnă că pentru fiecare 100 de pesos se reduc 20 de pesos.

Procentajul este folosit pentru a calcula cât din cantitatea totală reprezintă o cantitate. În acest caz, totalul este dus la scara de 100 și procentul informează ce cantitate, pe baza acestor 100, este partea care trebuie calculată.

Să vedem cum se face cu aceste exemple. În primul rând, o facem ca fracție:

• 20% = 20/100
• 5% = 5/100
• 0,7% = 0,7 / 100
• 100% = 100/100

Rețineți că 100% este egal cu 1. Dar procente pot fi scrise și în formă zecimală:

• 20% = 0,20
• 5% = 0,05
• 0,7% = 0,007
• 100% = 1,0

Când exprimați procentajul unui anumit număr în formă zecimală, pur și simplu schimbați virgula acestui număr două locuri spre stânga. În procent, se aplică și regula proporționalității:

20% este 20 din 100, prin urmare:

20% din 100 este 20, 20% din 200 este 40, 20% din 300 este 60, 20% din 50 este 10.

Regula generală pentru 20% din orice sumă

Această regulă poate fi ușor extinsă pentru a găsi orice alt procent dorit. Să vedem cum este în secțiunea următoare.

Exercițiu rezolvat cu formula pentru a calcula n%

O formulă care să rezume mai sus și să calculeze rapid orice procent n este:

n% = (A * n) / 100

De exemplu, doriți să calculați 25% din 400

Deci n = 25 și A = 400, ceea ce duce la (400 * 25) / 100 = 100

Exemplu

Ce procent din 60 este 24?

Soluţie

Ceea ce se cere este echivalent cu întrebarea care este n% din 60 care dă 24?

Vă propunem formula generală:

Rezolvăm pentru n cu această procedură:

-Cei 100 care împart în stânga membrul egalității, se duc la membru dreapta prin înmulțire.

-Și cei 60 care se înmulțesc în membrul stâng se duc la membruul din dreapta împărțind.

Se concluzionează că 40% din 60 este de 24.

S-au rezolvat probleme de calculare a procentului

Iată câteva exerciții simple pentru a începe să exersezi cele de mai sus.

Exercitiul 1

Găsiți 50% din 90.

Soluţie

Aici X = 90, n = 50% și înlocuim:

90 * 50% = 90 * (50/100) = 4500/100 = 45

Acesta este destul de simplu, pentru că 50% din orice sumă este jumătate din această sumă, iar jumătate din 90 este de 45.

Exercițiul 2

Găsiți 30% din 90.

Soluţie

90 * 30% = 90 * (30/100) = 2700/100 = 27

Procentul crește

Este comun în viața de zi cu zi să auzim despre o creștere a ceva, de exemplu o creștere a producției, o creștere a salariului sau o creștere a unui produs. Este aproape întotdeauna exprimat în procente.

De exemplu, un anumit produs a costat 300 EUR, dar a suferit o creștere de 30%. Ne întrebăm: care este noul preț al produsului?

Primul lucru este să calculăm porțiunea care corespunde creșterii. Întrucât creșterea este de 30 de părți din 100, atunci porțiunea de creștere, bazată pe prețul inițial de 300, este de trei ori mai mare decât cele 30 de părți, adică 3 * 30 = 90.

Produsul a crescut cu 90 €, astfel încât noul preț final va fi ceea ce a costat înainte de a crește:

Putem construi o formulă pentru calcularea creșterii procentuale. Folosim litere pentru a simboliza prețurile, astfel:

- f este valoarea finală

-i este valoarea inițială și

-n este procentul de creștere.

Cu aceste nume, valoarea finală ar fi calculată astfel:

f = i + (i * n / 100)

Dar, deoarece i se repetă în ambii termeni, poate fi luat ca un factor comun pentru a obține această altă expresie, la fel de valabilă:

f = i * (1 + n / 100)

Să verificăm cu cazul deja rezolvat, produsul care a costat 300 € și a crescut cu 30%. Astfel ne asigurăm că formula funcționează bine:

Exercițiul 3

Un angajat a câștigat 1.500 de euro, dar a fost promovat, iar salariul său a avut o creștere de 20%. Care este noul dvs. salariu?

Soluţie

Să aplicăm formula:

Noul salariu al angajatului este de 1800 €.

Procentajul scade

În cazul scăderilor, formula de calcul a valorii finale f a unei anumite cantități inițiale i care a suferit o scădere de n% este:

f = i * (1 - n / 100)

Trebuie menționat că semnul pozitiv (+) al formulei din secțiunea precedentă a fost înlocuit cu un semn negativ (-).

Figura 2. Aviz de reducere procentuală. Sursa: Pixabay

Exercițiul 4

Un produs a însemnat 800 €, dar a primit o reducere de 15%. Care este noul preț al produsului?

Soluția 4

Prețul final conform formulei este:

Prețul final cu reducere de 15% este de 680 €, ceea ce reprezintă o economie de 120 €.

Procentaje succesive

Apare atunci când o anumită cantitate suferă o variație procentuală și apoi se aplică o alta, de asemenea procentuală. De exemplu, un produs care a avut două reduceri procentuale la rând. Un alt exemplu este un angajat care a avut două creșteri salariale consecutive.

- Creșterea procentuală succesivă

Baza de soluție pentru aceste cazuri este aceeași ca și pentru creșteri unice, dar trebuie luat în considerare că a doua creștere procentuală se face pe valoarea finală a primei creșteri.

Să presupunem un produs care a crescut mai întâi cu 10% și apoi cu 5%. Este incorect să spunem că a suferit o creștere cu 15%, de fapt a fost mai mare decât acest procent.

Formulele pentru valoarea finală ar fi aplicate astfel:

-În primul rând se calculează valoarea finală a primei creșteri de n1%

-Apoi, pentru a găsi valoarea finală a celei de-a doua creșteri de n2%, valoarea finală a f1 este luată ca valoare inițială. Prin urmare:

Exercițiul 5

O carte costă inițial 55 de euro, dar datorită succesului și cererii mari, a suferit două creșteri consecutive față de prețul inițial. Prima creștere a fost de 10%, iar a doua de 20%. Care este prețul final al cărții?

Soluţie

-Primă creștere:

-Creșterea a doua

Prețul final este de 72,6 €.

Exercițiul 6

Cu referire la exercițiul anterior. Cele două creșteri consecutive: la ce procent de creștere unică față de prețul inițial al cărții corespund?

Soluţie

Dacă numim o singură creștere procentuală n%, formula care raportează această creștere procentuală unică la valoarea inițială și valoarea finală este:

Adică:

Rezolvând creșterea procentuală n% = (n / 100), avem:

Prin urmare:

O creștere procentuală totală de 32% a fost aplicată la prețul cărții. Rețineți că această creștere este mai mare decât suma celor două creșteri procentuale consecutive.

- reduceri procentuale succesive

Ideea este similară cu cea a creșterilor procentuale succesive. A doua reducere procentuală trebuie aplicată întotdeauna la valoarea finală a primei reduceri, să vedem un exemplu:

Exercitiul 7

O reducere de 10% urmată de oa doua reducere de 20% la un articol, cu ce reducere procentuală egală este egală?

Soluţie

-Primul discount:

Înlocuind prima ecuație în a doua, rămâne:

Dezvoltând această expresie, obținem:

Luând factorul comun i:

În sfârșit, procentele indicate în întrebare sunt înlocuite:

Cu alte cuvinte, reducerile succesive de 10% și 20% corespund unei reduceri unice de 28%.

Exerciții avansate

Să încercăm aceste exerciții doar atunci când ideile din precedentele sunt suficient de clare.

Exercițiul 8

Baza unui triunghi măsoară 10 cm, iar înălțimea de 6 cm. Dacă lungimea bazei scade cu 10%, cu ce procent trebuie să se crească înălțimea, astfel încât aria triunghiului să nu se schimbe?

Figura 3. Soluție alternativă la exercițiu 8. Pregătită de F. Zapata.

Soluția 8

Zona inițială a triunghiului este:

Dacă baza scade cu 10%, atunci noua sa valoare este:

Noua valoare pentru înălțime va fi X, iar zona inițială ar trebui să rămână neschimbată, astfel încât:

Apoi, valoarea lui X se rezolvă astfel:

Ceea ce înseamnă o creștere cu 0,666 în comparație cu valoarea inițială. Să vedem acum ce procentaj reprezintă:

0,666 = 6 * n / 100

Răspunsul este: înălțimea trebuie crescută cu 11,1% pentru ca suprafața triunghiului să rămână aceeași.

Exercițiul 9

Dacă salariul unui lucrător este majorat cu 20%, dar impozitul se scade cu 5%, se întreabă: care este creșterea reală pe care o primește lucrătorul?

Soluţie

Mai întâi calculăm creșterea cu n1%:

Apoi aplicăm reducerea de n2%:

Prima ecuație este înlocuită în a doua:

Expresia anterioară este dezvoltată:

În sfârșit, se ia factorul comun și se înlocuiesc valorile n1 = 20 și n2 = 5 care apar în enunț:

Muncitorul a primit o creștere netă de 14%.

Exercițiul 10

Decideți ce este mai convenabil între aceste două opțiuni:

i) Cumpărați tricouri cu o reducere de 32% fiecare.

ii) Cumpără 3 cămăși la prețul de 2.

Soluţie

Analizăm fiecare opțiune separat și apoi alegem cea mai economică:

i) Să fie X prețul curent al unui tricou, o reducere de 32% reprezintă un preț final de Xf:

Xf = X - (32/100) X = X - 0,32X = 0,68X

De exemplu, a cumpăra 3 tricouri înseamnă a cheltui 3 x 0,68 X = 2,04X

ii) Dacă X este prețul unui tricou, pentru 3 tricouri veți plăti pur și simplu 2X.

Să presupunem că un tricou valorează 6 euro, cu o reducere de 32% ar valora 4,08 euro. Cumpărarea unei cămăși nu este o opțiune valabilă în oferta 3 × 2. Deci, dacă doriți să cumpărați doar 1 cămașă, reducerea este de preferat.

Dar dacă doriți să cumpărați cu zeci, oferta 3 × 2 este doar puțin mai ieftină. De exemplu, 6 tricouri cu reducere ar costa 24,48 euro, în timp ce cu oferta 3 × 2 ar costa 24 de euro

Referințe

1. Clasa ușoară. Procentajul. Recuperat de la: aulafacil.com
2. Baldor A. 2006. Aritmetica practică teoretică. Ediții culturale.
3. Educa Peques. Cum să înveți să calculezi procente. Recuperat de la: educapeques.com
4. Gutiérrez, G. Note despre matematica financiară. Recuperat de la: csh.izt.uam.mx
5. Căpușe inteligente. Procentaj: ce este și cum este calculat. Recuperat din: smartick.es