REGULA EMPIRICĂ: CUM SĂ O APLICI, PENTRU CE ESTE VORBA, EXERCIȚII REZOLVATE - DUDAS - 2025

O regulă generală este rezultatul experienței practice și al observației din viața reală. De exemplu, este posibil să știm ce specii de păsări pot fi observate în anumite locuri la fiecare perioadă a anului și din acea observație se poate stabili o „regulă” care descrie ciclurile de viață ale acestor păsări.

În statistică, regula empirică se referă la modul în care observațiile sunt grupate în jurul unei valori centrale, media sau media, în unități de abatere standard.

Să presupunem că avem un grup de oameni cu o înălțime medie de 1,62 metri și o abatere standard de 0,25 metri, atunci regula empirică ne-ar permite să definim, de exemplu, câte persoane ar fi într-un interval de medie plus sau minus o abatere standard?

Conform regulii, 68% din date reprezintă mai mult sau mai puțin o abatere standard de la medie, adică 68% dintre persoanele din grup vor avea o înălțime între 1,37 (1,62-0,25) și 1,87 (1,62 + 0,25 ) metri.

De unde vine regula empirică?

Regula empirică este o generalizare a teoremei Tchebyshev și a distribuției normale.

Teorema lui Tchebyshev

Teorema lui Tchebyshev spune că: pentru o anumită valoare de k> 1, probabilitatea ca o variabilă aleatorie să fie situată între media minus k ori abaterea standard, iar media plus k de ori, abaterea standard este mai mare sau egală cu ( 1 - 1 / k ² ).

Avantajul acestei teoreme este că se aplică la variabile aleatorii discrete sau continue, cu orice distribuție de probabilitate, dar regula definită din aceasta nu este întotdeauna foarte precisă, deoarece depinde de simetria distribuției. Cu cât este mai asimetrică distribuția variabilei aleatorii, cu atât mai puțin ajustată la regulă va fi comportamentul acesteia.

Regula empirică definită din această teoremă este:

Dacă k = √2, se spune că 50% din date sunt în interval:

Dacă k = 2, se spune că 75% din date sunt în interval:

Dacă k = 3, se spune că 89% din date sunt în interval:

Distributie normala

Distribuția normală, sau clopotul gaussian, permite stabilirea regulii empirice sau a regulii 68 - 95 - 99.7.

Regula se bazează pe probabilitățile de apariție a unei variabile aleatorii la intervale între media minus una, două sau trei abateri standard și media plus una, două sau trei abateri standard.

Regula empirică definește următoarele intervale:

68,27% din date sunt în intervalul:

95,45% din date se află în intervalul:

99,73% din date se află în intervalul:

În figură puteți vedea cum sunt prezentate aceste intervale și relația dintre ele la creșterea lățimii bazei graficului.

Regula empirică. Melikamp Standardizarea variabilei aleatorii, adică expresia variabilei aleatoare în termeni de z sau variabilă normală standard, simplifică utilizarea regulii empirice, deoarece variabila z are o medie egală cu zero și o abatere standard egală cu una .

Prin urmare, aplicarea regulii empirice la scara unei variabile normale standard, z, definește următoarele intervale:

68,27% din date sunt în intervalul:

95,45% din date se află în intervalul:

99,73% din date se află în intervalul:

Cum se aplică regula empirică?

Regula empirică permite calcule prescurtate atunci când lucrați cu o distribuție normală.

Să presupunem că un grup de 100 de studenți au o vârstă medie de 23 de ani, cu o abatere standard de 2 ani. Ce informații permite obținerea regulii empirice?

Aplicarea regulii empirice presupune urmarea pașilor:

1- Construiți intervalele regulii

Deoarece media este 23 și deviația standard este 2, atunci intervalele sunt:

= =

= =

= =

2- Calculați numărul de studenți în fiecare interval în funcție de procente

(100) * 68,27% = aproximativ 68 de studenți

(100) * 95,45% = 95 studenți aproximativ

(100) * 99,73% = 100 studenți aproximativ

3- Intervalele de vârstă sunt asociate cu numărul de studenți și interpretează

Cel puțin 68 de studenți au vârste cuprinse între 21 și 25 de ani.

Cel puțin 95 de studenți au vârsta cuprinsă între 19 și 27 de ani.

Aproape 100 de studenți au între 17 și 29 de ani.

Pentru ce este regula degetul mare?

Regula empirică este o modalitate rapidă și practică de a analiza datele statistice, devenind din ce în ce mai fiabile pe măsură ce distribuția abordează simetria.

Utilitatea sa depinde de câmpul în care este utilizat și de întrebările care sunt prezentate. Este foarte util să știm că apariția valorilor a trei abateri standard sub sau peste medie este aproape improbabilă, chiar și pentru variabilele de distribuție non-normale, cel puțin 88,8% din cazuri sunt în intervalul de trei sigma.

În științele sociale, un rezultat general concludent este intervalul mediu plus sau minus două sigma (95%), în timp ce în fizica particulelor, un efect nou necesită un interval de cinci sigma (99,99994%) pentru a fi considerat o descoperire.

Exerciții rezolvate

Iepurii în rezervă

Într-o rezervație pentru animale sălbatice, se estimează că există o medie de 16.000 de iepuri cu o abatere standard de 500 de iepuri. Dacă distribuția variabilei „număr de iepuri în rezervă” este necunoscută, este posibil să se estimeze probabilitatea ca populația iepurilor să fie cuprinsă între 15.000 și 17.000 de iepuri?

Intervalul poate fi prezentat în acești termeni:

15000 = 16000 - 1000 = 16000 - 2 (500) = µ - 2 s

17000 = 16000 + 1000 = 16000 + 2 (500) = µ + 2 s

Prin urmare: =

Aplicând teorema lui Tchebyshev, avem o probabilitate de cel puțin 0,75 ca populația de iepuri din rezervația sălbatică să fie cuprinsă între 15.000 și 17.000 de iepuri.

Greutatea medie a copiilor dintr-o țară

Greutatea medie a copiilor de un an într-o țară este distribuită în mod normal cu o medie de 10 kilograme și o abatere standard de aproximativ 1 kilogram.

a) Estimați procentul copiilor de un an din țară care au o greutate medie cuprinsă între 8 și 12 kilograme.

8 = 10 - 2 = 10 - 2 (1) = µ - 2 s

12 = 10 + 2 = 10 + 2 (1) = µ + 2 s

Prin urmare: =

Conform regulii empirice, se poate afirma că 68,27% dintre copiii de un an din țară au între 8 și 12 kilograme.

b) Care este probabilitatea de a găsi un copil de un an care cântărește 7 kilograme sau mai puțin?

7 = 10 - 3 = 10 - 3 (1) = µ - 3 s

Se știe că 7 kilograme de greutate reprezintă valoarea µ - 3s, precum și se știe că 99,73% dintre copii au între 7 și 13 kilograme. Aceasta lasă doar 0,27% din totalul copiilor pentru extreme. Jumătate dintre ei, 0,135%, au 7 kilograme sau mai puțin, iar cealaltă jumătate, 0,135%, 11 kg sau mai mult.

Deci, se poate concluziona că există o probabilitate de 0,00135 ca un copil să cântărească 7 kilograme sau mai puțin.

c) Dacă populația țării ajunge la 50 de milioane de locuitori și copiii de 1 an reprezintă 1% din populația țării, câți copii de un an vor cântări între 9 și 11 kilograme?

9 = 10 - 1 = µ - s

11 = 10 + 1 = µ + s

Prin urmare: =

Conform regulii empirice, 68,27% dintre copiii de un an din țară se află în interval

În țară există 500.000 de copii de un an (1% din 50 milioane), astfel 341.350 de copii (68.27% din 500.000) cântăresc între 9 și 11 kilograme.

Referințe

1. Abraira, V. (2002). Abatere standard și eroare standard. Revista Semergen. Recuperat de pe web.archive.org.
2. Freund, R .; Wilson, W .; Mohr, D. (2010). Metode statistice. A treia ed. Academic Press-Elsevier Inc.
3. Server Alicante (2017). Regula empirică (termeni statistici). Recuperat de pe glosarios.servidor-alicante.com.
4. Lind, D .; Marchal, W .; Wathen, S. (2012). Statistici aplicate afacerilor și economiei. A cincisprezecea ed. McGraw-Hill / Interamericana de México SA
5. Salinas, H. (2010). Statistici și probabilități. Recuperat din uda.cl.
6. Sokal, R .; Rohlf, F. (2009). Introducere în biostatistică. A doua ed. Publicații Dover, Inc.
7. Spiegel, M. (1976). Probabilitate și statistici. Serie Schaum. McGraw-Hill / Interamericana de México SA
8. Spiegel, M .; Stephens, L. (2008). Statistici. A patra ed. McGraw-Hill / Interamericana de México SA
9. Revizuirea Stat119 (2019). Rezolvarea întrebărilor despre regula empirică. Recuperat din stat119review.com.
10. (2019). 68-95-99.7 regulă. Recuperat de pe en.wikipedia.org.