EXPERIMENT ALEATORIU: CONCEPT, SPAȚIU DE PROBĂ, EXEMPLE - DUDAS - 2025

Vorbim despre un experiment aleatoriu atunci când rezultatul fiecărui studiu este imprevizibil, chiar dacă probabilitatea apariției unui anumit rezultat poate fi stabilită.

Cu toate acestea, trebuie clarificat faptul că nu este posibil să se reproducă același rezultat al unui sistem aleatoriu cu aceiași parametri și condiții inițiale în fiecare încercare a experimentului.

Figura 1. Rulajul zarurilor este un experiment aleatoriu. Sursa: Pixabay.

Un bun exemplu de experiment aleatoriu este rularea unei matrițe. Chiar dacă se are grijă să se rostogolească matrița în același mod, fiecare încercare va da un rezultat imprevizibil. De fapt, singurul lucru care se poate spune este că rezultatul poate fi unul dintre următoarele: 1, 2, 3, 4, 5 sau 6.

Aruncarea unei monede este un alt exemplu de experiment aleatoriu, cu doar două rezultate posibile: capete sau cozi. Deși moneda este aruncată de la aceeași înălțime și în același mod, factorul șansă va fi întotdeauna prezent, rezultând incertitudine cu fiecare nouă încercare.

Opusul unui experiment aleatoriu este un experiment determinist. De exemplu, se știe că de fiecare dată când apa este fiartă la nivelul mării, temperatura de fierbere este de 100 ° C. Dar nu se întâmplă niciodată că, păstrând aceleași condiții, rezultatul este uneori de 90 ºC, alte 12 0ºC și alteori de 100 ºC.

Spațiu de probă

Setul tuturor rezultatelor posibile ale unui experiment aleatoriu se numește spațiul probei. În experimentul aleatoriu de rulare a matriței, spațiul de probă este:

D = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Pe de altă parte, în aruncarea unei monede, spațiul de probă este:

M = {capete, cozi}.

Eveniment sau eveniment

Într-un experiment aleatoriu, un eveniment este apariția sau nu a unui anumit rezultat. De exemplu, în cazul unei flipuri de monedă, un eveniment sau o întâmplare este aceea că acesta apare.

Un alt eveniment dintr-un experiment aleatoriu ar putea fi următorul: faptul că un număr mai mic sau egal cu trei este rulat pe o matriță.

În cazul în care evenimentul are loc, atunci setul de rezultate posibile este setul:

E = {1, 2, 3}

La rândul său, acesta este un subset al spațiului de probă sau al setului:

M = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Exemple

Mai jos sunt câteva exemple care ilustrează cele de mai sus:

Exemplul 1

Să presupunem că două monede sunt aruncate, una după alta. Se întreabă:

a) Indicați dacă este un experiment aleatoriu sau, dimpotrivă, un experiment determinist.

b) Care este spațiul de probă S al acestui experiment?

c) Indicați ansamblul evenimentului A, corespunzător rezultatului experimentului fiind capete și cozi.

d) Calculați probabilitatea ca evenimentul A să aibă loc.

e) În sfârșit, găsiți probabilitatea ca evenimentul B să apară: nu apar capete în rezultat.

Soluţie

O geantă conține 10 marmura albă și 10 marmură neagră. Trei marmură sunt trase consecutiv din geantă la întâmplare și fără a privi în interior.

a) Determinați spațiul eșantionului pentru acest experiment aleatoriu.

b) Determinați setul de rezultate corespunzător evenimentului A, care constă în a avea două mărgele negre după experiment.

c) Evenimentul B constă în obținerea a cel puțin două marmură neagră, se determină setul B de rezultate pentru acest eveniment.

d) Care este probabilitatea ca evenimentul A să aibă loc?

e) Aflați probabilitatea ca evenimentul B să aibă loc.

f) Determinați probabilitatea ca rezultatul experimentului întâmplător să fie că aveți cel puțin o marmură neagră. Acest eveniment se va numi C.

Figura 2. Marmura alb-negru pentru experimente aleatorii. Sursa: Needpix.

Solutie la

Pentru a construi spațiul de probă, este util să se realizeze o diagramă de arbore, precum cea prezentată în figura 3:

Figura 3. Schema arborelui de exemplu 2. Pregătită de Fanny Zapata.

Setul de rezultate posibile ale extragerii a trei mănuși dintr-o pungă cu același număr de marmură alb-negru, este tocmai spațiul de probă al acestui experiment aleatoriu.

Ω = {(b, b, b), (b, b, n), (b, n, b), (b, n, n), (n, b, b), (n, b, n) , (n, n, b), (n, n, n)}

Soluție b

Setul de rezultate posibile corespunzător evenimentului A, care constă în a avea două marmură neagră este:

A = {(b, n, n), (n, b, n), (n, n, b)}

Soluție c

Evenimentul B este definit ca: "având cel puțin două marmură neagră după ce au desenat la întâmplare trei dintre ele." Setul de rezultate posibile pentru evenimentul B este:

B = {(b, n, n), (n, b, n), (n, n, b), (n, n, n)}

Soluție d

Probabilitatea de a avea evenimentul A este coeficientul dintre numărul de rezultate posibile pentru acest eveniment și numărul total de rezultate posibile, adică numărul de elemente din spațiul de probă.

P (A) = n (A) / n (Ω) = 3/8 = 0,375 = 37,5%

Deci, există o probabilitate de 37,5% de a avea două marmură neagră după ce a tras la întâmplare trei marmură din sac. Rețineți însă că nu putem prezice în niciun fel rezultatul exact al experimentului.

Soluție e

Probabilitatea ca evenimentul B să apară, constând în obținerea a cel puțin unei marmure negre este:

P (B) = n (B) / n (Ω) = 4/8 = 0,5 = 50%

Aceasta înseamnă că posibilitatea apariției evenimentului B este egală cu probabilitatea ca acesta să nu aibă loc.

Soluție f

Probabilitatea de a obține cel puțin o marmură neagră, după desenarea a trei dintre ele, este egală cu 1 minus probabilitatea ca rezultatul să fie „cele trei marmure albe”.

P (C) = 1 - P (bbb) = 1 - ⅛ = ⅞ = 0,875 = 87,5%

Acum, putem verifica acest rezultat, menționând că numărul de posibilități pe care le produce evenimentul C este egal cu numărul de elemente ale rezultatelor posibile pentru evenimentul C:

C = {(b, b, n), (b, n, b), (b, n, n), (n, b, b), (n, b, n), (n, n, b) , (n, n, n)}

n (C) = 7

P (C) = n (C) / n (Ω) = ⅞ = 87,5%

Referințe

1. CanalPhi. Experiment aleatoriu. Recuperat de pe: youtube.com.
2. MateMovil. Experiment aleatoriu. Recuperat de pe: youtube.com
3. Pishro Nick H. Introducere în probabilitate. Recuperat de la: probabilitycourse.com
4. Ross. Probabilitate și statistici pentru ingineri. Mc-Graw Hill.
5. Wikipedia. Experiment (teoria probabilităților). Recuperat din: en.wikipedia.com
6. Wikipedia. Eveniment determinant. Recuperat din: es. wikipedia.com
7. Wikipedia. Experiment aleatoriu. Recuperat din: es.wikipedia.com