CE SUNT ECUAȚIILE SIMULTANE? (EXERCIȚII REZOLVATE) - MATEMATICA - 2025

Cele ecuațiile simultane sunt acele ecuații care trebuie îndeplinite în același timp. Prin urmare, pentru a avea ecuații simultane trebuie să aveți mai multe ecuații.

Când aveți două sau mai multe ecuații diferite, care trebuie să aibă aceeași soluție (sau aceleași soluții), se spune că aveți un sistem de ecuații sau se mai spune că aveți ecuații simultane.

Când avem ecuații simultane, se poate întâmpla ca acestea să nu aibă soluții comune sau să nu aibă o cantitate finită sau să aibă o cantitate infinită.

Ecuații simultane

Dat fiind două ecuații diferite Eq1 și Eq2, rezultă că sistemul acestor două ecuații se numește ecuații simultane.

Ecuațiile simultane satisfac că dacă S este o soluție a lui Eq1, atunci S este și o soluție a lui Eq2 și invers

caracteristici

Când vine vorba de un sistem de ecuații simultane, puteți avea 2 ecuații, 3 ecuații sau ecuații N.

Cele mai frecvente metode utilizate pentru rezolvarea ecuațiilor simultane sunt: ​​substituirea, egalizarea și reducerea. Există, de asemenea, o altă metodă numită regula lui Cramer, care este foarte utilă pentru sistemele cu mai mult de două ecuații simultane.

Un exemplu de ecuații simultane este sistemul

Eq1: x + y = 2

Eq2: 2x-y = 1

Se poate observa că x = 0, y = 2 este o soluție de Eq1, dar nu este o soluție de Eq2.

Singura soluție comună pe care o au ambele ecuații este x = 1, y = 1. Adică x = 1, y = 1 este soluția sistemului de ecuații simultane.

Exerciții rezolvate

În continuare, vom continua să rezolvăm sistemul ecuațiilor simultane prezentate mai sus, prin cele 3 metode menționate.

Primul exercițiu

Rezolvați sistemul ecuațiilor Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 folosind metoda de substituție.

Soluţie

Metoda de substituție constă în rezolvarea pentru una dintre necunoscute a uneia dintre ecuații și apoi substituirea acesteia în cealaltă ecuație. În acest caz particular, putem rezolva pentru "y" din Eq1 și obținem că y = 2-x.

Substituind această valoare a „y” în Eq2, obținem că 2x- (2-x) = 1. Prin urmare, obținem că 3x-2 = 1, adică x = 1.

Atunci, deoarece valoarea lui x este cunoscută, ea este substituită în „y” și obținem că y = 2-1 = 1.

Prin urmare, singura soluție la sistemul ecuațiilor simultane Eq1 și Eq2 este x = 1, y = 1.

Al doilea exercițiu

Rezolvați sistemul ecuațiilor Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 folosind metoda de potrivire.

Soluţie

Metoda de potrivire constă în rezolvarea pentru aceeași necunoscută în ambele ecuații și apoi potrivirea ecuațiilor rezultate.

Rezolvând „x” din ambele ecuații, obținem că x = 2-y și că x = (1 + y) / 2. Acum, aceste două ecuații sunt echivalate și obținem că 2-y = (1 + y) / 2, din care rezultă că 4-2y = 1 + y.

Gruparea „y” necunoscută pe aceeași parte are ca rezultat y = 1. Acum că „y” este cunoscut, vom continua să găsim valoarea „x”. Înlocuind y = 1, obținem că x = 2-1 = 1.

Prin urmare, soluția comună dintre ecuațiile Eq1 și Eq2 este x = 1, y = 1.

Al treilea exercițiu

Rezolvați sistemul ecuațiilor Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 folosind metoda de reducere.

Soluţie

Metoda de reducere constă în înmulțirea ecuațiilor date de coeficienții corespunzători, astfel încât la adăugarea acestor ecuații una dintre variabile este anulată.

În acest exemplu particular, nu este necesar să înmulțiți orice ecuație cu niciun coeficient, ci doar să le adăugați. Adăugând Eq1 plus Eq2 obținem acel 3x = 3, din care obținem acel x = 1.

Când evaluăm x = 1 în Eq1, obținem că 1 + y = 2, din care rezultă că y = 1.

Prin urmare, x = 1, y = 1 este singura soluție la ecuațiile simultane Eq1 și Eq2.

Al patrulea exercițiu

Rezolvați sistemul ecuațiilor simultane Eq1: 2x-3y = 8 și Eq2: 4x-3y = 12.

Soluţie

În acest exercițiu, nu este necesară nicio metodă specială, prin urmare, poate fi aplicată metoda care este cea mai confortabilă pentru fiecare cititor.

În acest caz, se va utiliza metoda de reducere. Înmulțirea Eq1 cu -2 dă ecuația Eq3: -4x + 6y = -16. Acum, adăugând Eq3 și Eq2 obținem că 3y = -4, deci y = -4 / 3.

Acum, atunci când evaluăm y = -4 / 3 în Eq1, obținem că 2x-3 (-4/3) = 8, de unde 2x + 4 = 8, deci, x = 2.

În concluzie, singura soluție a sistemului de ecuații simultane Eq1 și Eq2 este x = 2, y = -4 / 3.

Observare

Metodele descrise în acest articol pot fi aplicate sistemelor cu mai mult de două ecuații simultane.

Cu cât sunt mai multe ecuații și mai multe necunoscute, cu atât este mai complicată procedura de rezolvare a sistemului.

Orice metodă de soluționare a sistemelor de ecuații va produce aceleași soluții, adică soluțiile nu depind de metoda aplicată.

Referințe

1. Fuentes, A. (2016). MATH DE BAZĂ. O introducere în calcul. Lulu.com.
2. Garo, M. (2014). Matematică: ecuații patratice .: Cum rezolvați o ecuație patratică. Marilù Garo.
3. Haeussler, EF, & Paul, RS (2003). Matematică pentru management și economie. Pearson Education.
4. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Matematica 1 SEP. Prag.
5. Preciado, CT (2005). Curs de matematica a 3-a. Editorial Progreso.
6. Rock, NM (2006). Algebra I este ușor! Atât de ușor. Echipa Rock Press.
7. Sullivan, J. (2006). Algebră și trigonometrie. Pearson Education.