UNGHIURI SUPLIMENTARE: CE SUNT ELE, CALCUL, EXEMPLE, EXERCIȚII - MATEMATICA - 2025

Două sau mai multe sunt unghiuri suplimentare dacă suma măsurilor lor corespunde măsurii unghiului drept. Măsura unui unghi drept, numit și unghi plan, în grade este de 180º și la radieni este π.

De exemplu, descoperim că cele trei unghiuri interioare ale unui triunghi sunt suplimentare, deoarece suma măsurilor lor este de 180º. În figura 1 sunt prezentate trei unghiuri. Din cele de mai sus rezultă că α și β sunt suplimentare, deoarece sunt adiacente și suma lor completează un unghi drept.

Figura 1: α și β sunt suplimentare. α și γ sunt suplimentare. Sursa: F. Zapata.

De asemenea, în aceeași figură, avem unghiurile α și γ care sunt de asemenea suplimentare, deoarece suma măsurilor lor este egală cu măsura unui unghi plan, adică 180º. Nu se poate spune că unghiurile β și γ sunt suplimentare, deoarece, ambele unghiuri sunt obturate, măsurile lor sunt mai mari de 90º și, prin urmare, suma lor depășește 180º.

Sursa: lifeder.com

În schimb, se poate afirma că măsura unghiului β este egală cu măsura unghiului γ, deoarece dacă β este suplimentară cu α și γ este suplimentară cu α, atunci β = γ = 135º.

Exemple

În următoarele exemple, i se cere să găsească unghiurile necunoscute, indicate cu semne de întrebare din figura 2. Acestea variază de la cele mai simple exemple la unele puțin mai elaborate, încât cititorul să fie mai atent.

Figura 2. Mai multe exemple elaborate de unghiuri suplimentare. Sursa: F. Zapata.

Exemplul A

În figură avem că unghiurile adiacente α și 35º se adaugă la un unghi plan. Adică α + 35º = 180º și, prin urmare, este adevărat că: α = 180º- 35º = 145º.

Exemplul B

Deoarece β este suplimentar cu unghiul de 50º, rezultă că β = 180º - 50º = 130º.

Exemplul C

Din figura 2C se poate observa următoarea sumă: γ + 90º + 15º = 180º. Adică γ este suplimentar cu unghiul 105º = 90º + 15º. Atunci se concluzionează că:

γ = 180º- 105º = 75º

Exemplul D

Deoarece X este suplimentar la 72º, rezultă că X = 180º - 72º = 108º. În plus, Y este suplimentar cu X, deci Y = 180º - 108º = 72º.

Și în sfârșit Z este suplimentar cu 72º, prin urmare Z = 180º - 72º = 108º.

Exemplul E

Unghiurile δ și 2δ sunt suplimentare, de aceea δ + 2δ = 180º. Ceea ce înseamnă că 3δ = 180º, iar acest lucru la rândul nostru ne permite să scriem: δ = 180º / 3 = 60º.

Exemplul F

Dacă numim unghiul între 100º și 50º U, atunci U le este suplimentară, deoarece se observă că suma lor completează un unghi plan.

Urmează imediat că U = 150º. Deoarece U este opus de vertexul lui W, atunci W = U = 150º.

Exerciții

Mai jos sunt propuse trei exerciții, în toate acestea valoarea unghiurilor A și B trebuie să se regăsească în grade, astfel încât relațiile arătate în figura 3. Sunt îndeplinite conceptul de unghiuri suplimentare în rezolvarea tuturor acestora.

Figura 3. Figura pentru a rezolva exercițiile I, II și III pe unghiuri suplimentare. Toate unghiurile sunt în grade. Sursa: F. Zapata.

- Exercițiul I

Determinați valorile unghiurilor A și B din partea I) din figura 3.

Soluţie

A și B sunt suplimentare, din care avem că A + B = 180 grade, apoi expresia A și B este înlocuită ca funcție a lui x, așa cum apare în imagine:

(x + 15) + (5x + 45) = 180

Se obține o ecuație liniară de prim ordin. Pentru rezolvare, termenii sunt grupați mai jos:

6 x + 60 = 180

Împărțind ambii membri la 6 avem:

x + 10 = 30

Și în cele din urmă rezolvare, rezultă că x valorează 20º.

Acum trebuie să conectăm valoarea lui x pentru a găsi unghiurile solicitate. Prin urmare, unghiul A este: A = 20 +15 = 35º.

Și, la rândul său, unghiul B este B = 5 * 20 + 45 = 145º.

- Exercițiul II

Găsiți valorile unghiurilor A și B din partea a II-a) din figura 3.

Soluţie

Deoarece A și B sunt unghiuri suplimentare, avem acel A + B = 180 grade. Înlocuind expresia pentru A și B în funcție de x dată în partea II) din figura 3, avem:

(-2x + 90) + (8x - 30) = 180

Din nou se obține o ecuație de prim grad, pentru care termenii trebuie să fie grupați convenabil:

6 x + 60 = 180

Împărțind ambii membri la 6 avem:

x + 10 = 30

Din care rezultă că x valorează 20º.

Cu alte cuvinte, unghiul A = -2 * 20 + 90 = 50º. În timp ce unghiul B = 8 * 20 - 30 = 130º.

- Exercițiul III

Determinați valorile unghiurilor A și B din partea III) din figura 3 (în verde).

Soluţie

Deoarece A și B sunt unghiuri suplimentare, avem acel A + B = 180 grade. Trebuie să înlocuim expresia pentru A și B ca funcție a x dată în figura 3, din care avem:

(5x - 20) + (7x + 80) = 180

12 x + 60 = 180

Împărțind ambii membri la 12 pentru a rezolva valoarea lui x, avem:

x + 5 = 15

În cele din urmă se constată că x valorează 10 grade.

Acum vom continua să înlocuim pentru a găsi unghiul A: A = 5 * 10 -20 = 30º. Și pentru unghiul B: B = 7 * 10 + 80 = 150º

Unghiuri suplimentare în două paralele tăiate de o secantă

Figura 4. Unghiurile dintre două paralele tăiate de o secantă. Sursa: F. Zapata.

Două linii paralele tăiate de un secant este o construcție geometrică comună în unele probleme. Între astfel de linii, se formează 8 unghiuri așa cum se arată în figura 4.

Dintre cele 8 unghiuri, unele perechi de unghiuri sunt suplimentare, pe care le enumerăm mai jos:

1. Unghiurile exterioare A și B, iar unghiurile exterioare G și H
2. Unghiurile interioare D și C, iar unghiurile interioare E și F
3. Unghiurile exterioare A și G, iar unghiurile exterioare B și H
4. Unghiurile interioare D și E, iar interioarele C și F

Pentru o completitate, unghiurile egale între ele sunt, de asemenea, numite:

1. Alternativele interne: D = F și C = E
2. Alternativele externe: A = H și B = G
3. Cele corespunzătoare: A = E și C = H
4. Opusele de la vertexul A = C și E = H
5. Cele corespunzătoare: B = F și D = G
6. Vertexul se opune B = D și F = G

- Exercițiul IV

Referindu-ne la figura 4, care arată unghiurile dintre două linii paralele tăiate de un secant, determinați valoarea tuturor unghiurilor din radieni, știind că unghiul A = π / 6 radian.

Soluţie

A și B sunt unghiuri externe suplimentare astfel încât B = π - A = π - π / 6 = 5π / 6

A = E = C = H = π / 6

B = F = D = G = 5π / 6

Referințe

1. Baldor, JA 1973. Geometria planului și spațiului. Central American Cultural.
2. Legi și formule matematice. Sisteme de măsurare a unghiurilor Recuperat de la: ingemecanica.com.
3. Wentworth, Geometria planului G. Recuperat de la: gutenberg.org.
4. Wikipedia. Unghiuri suplimentare. Recuperat din: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Pe banda rulanta. Recuperat din: es.wikipedia.com
6. Zapata F. Goniómetro: istorie, părți, operație. Recuperat de la: lifeder.com