METODA AXIOMATICĂ: CARACTERISTICI, ETAPE, EXEMPLE - VOCABULARUL CULTURII - 2025

Metoda axiomatică sau denumită și Axiomatica este o procedură formală folosită de științe prin intermediul căreia sunt formulate enunțuri sau propoziții numite axiome, conectate între ele printr-o relație de deductibilitate și care stau la baza ipotezelor sau condițiilor unui anumit sistem.

Această definiție generală trebuie încadrată în evoluția pe care această metodologie a avut-o de-a lungul istoriei. În primul rând, există o metodă antică sau de conținut, născută în Grecia Antică din Euclid și dezvoltată ulterior de Aristotel.

În al doilea rând, încă din secolul al XIX-lea, apariția unei geometrii cu axiome diferite de cele ale lui Euclid. Și în final, metoda axiomatică formală sau modernă, al cărei cel mai mare exponent a fost David Hilbert.

Dincolo de dezvoltarea sa de-a lungul timpului, această procedură a stat la baza metodei deductive, fiind utilizată în geometria și logica de unde a apărut. A fost folosit și în fizică, chimie și biologie.

Și chiar a fost aplicat în cadrul științei juridice, sociologiei și economiei politice. Cu toate acestea, în prezent cea mai importantă sferă de aplicare a acesteia este matematica și logica simbolică și unele ramuri ale fizicii precum termodinamica, mecanica, printre alte discipline.

caracteristici

Deși caracteristica fundamentală a acestei metode este formularea de axiome, acestea nu au fost întotdeauna considerate în același mod.

Există unele care pot fi definite și construite într-un mod arbitrar. Și altele, potrivit unui model în care adevărul garantat este considerat intuitiv.

Pentru a înțelege în ce constă această diferență și consecințele acesteia, este necesar să parcurgem evoluția acestei metode.

Metoda axiomatică antică sau de conținut

Este cea stabilită în Grecia Antică spre secolul al V-lea î.Hr. Sfera sa de aplicare este geometria. Opera fundamentală a acestei etape este Elementele lui Euclid, deși se consideră că înaintea lui, Pitagora, a născut deja metoda axiomatică.

Astfel, grecii iau anumite fapte ca axiome, fără a necesita nicio dovadă logică, adică fără a fi nevoie de dovezi, deoarece pentru ei sunt un adevăr care se poate vedea de la sine.

La rândul său, Euclid prezintă cinci axiome pentru geometrie:

1-Date două puncte există o linie care le conține sau le unește.

2-Orice segment poate fi extins continuu într-o linie nelimitată pe ambele părți.

3-Puteți desena un cerc care are un centru în orice punct și orice rază.

4-Unghiurile drepte sunt toate aceleași.

5-Luând orice linie dreaptă și orice punct care nu este în ea, există o linie dreaptă paralelă cu ea și care conține acel punct. Această axiomă este cunoscută mai târziu sub denumirea de axioma paralelelor și a fost enunțată și ca: o singură paralelă poate fi trasă dintr-un punct din afara unei linii.

Cu toate acestea, atât matematicienii Euclid, cât și ulterior, sunt de acord că a cincea axiomă nu este la fel de intuitiv clară ca celălalt 4. Chiar și în perioada Renașterii, se încearcă deducerea celei de-a cincea din celelalte 4, dar nu este posibilă.

Acest lucru a făcut că deja în secolul XIX, cei care au menținut cele cinci erau în favoarea geometriei euclidiene, iar cei care au negat a cincea, au fost cei care au creat geometriile non-euclidiene.

Metoda axiomatică non-euclidiană

Tocmai Nikolai Ivanovici Lobachevski, János Bolyai și Johann Karl Friedrich Gauss văd posibilitatea de a construi, fără contradicție, o geometrie care provine din alte sisteme de axiome decât cele ale lui Euclid. Aceasta distruge credința în adevărul absolut sau a priori a axiomelor și teoriilor care derivă din ele.

În consecință, axiomele încep să fie concepute ca puncte de plecare pentru o teorie dată. De asemenea, atât alegerea lui, cât și problema validității sale într-un sens sau altul, încep să fie legate de fapte în afara teoriei axiomatice.

În acest fel, teoriile geometrice, algebrice și aritmetice apar construite prin metoda axiomatică.

Această etapă culminează cu crearea de sisteme axiomatice pentru aritmetică precum Giuseppe Peano în 1891; Geometria lui David Hubert în 1899; enunțurile și calculele predicate ale lui Alfred North Whitehead și ale lui Bertrand Russell, în Anglia în 1910; Teoria axiomatică a mulțimilor din 1908 a lui Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo.

Metoda axiomatică modernă sau formală

David Hubert inițiază concepția unei metode axiomatice formale și care duce la apogeul lui, David Hilbert.

Tocmai Hilbert este cel care oficializează limbajul științific, considerând afirmațiile sale ca formule sau secvențe de semne care nu au niciun sens în sine. Ele dobândesc sens doar într-o anumită interpretare.

În „Bazele geometriei” el explică primul exemplu al acestei metodologii. De aici încolo, geometria devine o știință a consecințelor logice pure, care sunt extrase dintr-un sistem de ipoteze sau axiome, mai bine articulate decât sistemul euclidian.

Acest lucru se datorează faptului că în sistemul antic teoria axiomatică se bazează pe dovezile axiomelor. În timp ce se află în fundamentarea teoriei formale, este dată de demonstrarea non-contradicției axiomelor sale.

paşi

Procedura care realizează o structurare axiomatică în teoriile științifice recunoaște:

a-alegerea unui anumit număr de axiome, adică a unui număr de propoziții ale unei anumite teorii care sunt acceptate fără a fi nevoie să fie dovedite.

b-conceptele care fac parte din aceste propoziții nu sunt determinate în cadrul teoriei date.

c-regulile de definire și deducere a teoriei date sunt stabilite și permit introducerea de noi concepte în cadrul teoriei și se deduc logic unele propoziții de la altele.

d-celelalte propoziții ale teoriei, adică teorema, sunt deduse de la a pe baza c.

Exemple

Această metodă poate fi verificată prin dovada celor două cele mai cunoscute teoreme euclide: teorema picioarelor și teorema înălțimii.

Amândouă rezultă din observarea acestui geometru grec că atunci când înălțimea în raport cu ipotenuză este reprezentată în interiorul unui triunghi drept, apar încă două triunghiuri ale originalului. Aceste triunghiuri sunt similare între ele și, în același timp, sunt similare cu triunghiul de origine. Aceasta presupune că laturile lor omologe respective sunt proporționale.

Se poate observa că în acest fel unghiurile congruente din triunghiuri verifică asemănarea care există între cele trei triunghiuri implicate în conformitate cu criteriul de asemănare AAA. Acest criteriu susține că atunci când două triunghiuri au toate aceleași unghiuri, acestea sunt similare.

Odată ce se arată că triunghiurile sunt similare, se pot stabili proporțiile specificate în prima teoremă. Aceeași afirmație că într-un triunghi drept, măsura fiecărui picior este media proporțională geometrică dintre ipotenuză și proiecția piciorului pe ea.

A doua teoremă este cea a înălțimii. Se specifică faptul că orice triunghi drept înălțimea desenată în funcție de ipotenuză este media proporțională geometrică între segmentele care sunt determinate de media geometrică menționată pe hipotenuză.

Desigur, ambele teoreme au numeroase aplicații în întreaga lume nu numai în predare, ci și în inginerie, fizică, chimie și astronomie.

Referințe

1. Giovannini, Eduardo N. (2014) Geometrie, formalism și intuiție: David Hilbert și metoda axiomatică formală (1895-1905). Revista de Filosofie, Vol. 39 nr. 2, pp.121-146. Luate din reviste.ucm.es.
2. Hilbert, David. (1918) Gândire axiomatică. În W. Ewald, editor, de la Kant la Hilbert: o carte sursă în temelia matematicii. Volumul II, pp 1105-1114. Presa Universitatii Oxford. 2005 a.
3. Hintikka, Jaako. (2009). Care este metoda axiomatică? Synthese, noiembrie 2011, volumul 189, pp.69-85. Luat de la link.springer.com.
4. López Hernández, José. (2005). Introducere în filosofia contemporană a dreptului. (Pp.48-49). Luate din books.google.com.ar.
5. Nirenberg, Ricardo. (1996) Metoda axiomatică, o lectură de Ricardo Nirenberg, toamna 1996, Universitatea din Albany, Proiect Renaștere. Luat de la Albany.edu.
6. Venturi, Giorgio. (2015) Hilbert între latura formală și cea informală a matematicii. Manuscris vol. 38 nr. 2, Câmpinas iulie / august 2015. Luat de la scielo.br.