Interpolare liniară este o metodă care își are originea generală interpolare Newton și aproximare pentru a determina o valoare necunoscută , care se află între două numere date; adică se găsește o valoare intermediară. Se aplică și funcțiilor aproximative, unde valorile f (a) și f (b) sunt cunoscute și dorim să cunoaștem intermediarul lui f (x) .
Există diferite tipuri de interpolare, cum ar fi liniare, quadratice, cubice și de grade superioare, cea mai simplă fiind aproximarea liniară. Prețul care trebuie plătit cu interpolare liniară este că rezultatul nu va fi la fel de exact ca în cazul aproximărilor, folosind funcții de grade mai mari.
Definiție
Interpolarea liniară este un proces care vă permite să deduceți o valoare între două valori bine definite, care poate fi într-un tabel sau într-un grafic liniar.
De exemplu, dacă știți că 3 litri de lapte valorează 4 dolari și că 5 litri valorează 7 dolari, dar doriți să știți care este valoarea a 4 litri de lapte, interpolați pentru a determina acea valoare intermediară.
Metodă
Pentru a estima o valoare intermediară a unei funcții, funcția f (x) este aproximată cu ajutorul unei linii r (x) , ceea ce înseamnă că funcția variază liniar cu «x» pentru o secțiune «x = a» și «x = b "; adică pentru o valoare "x" în intervalul (x 0 , x 1 ) și (y 0 , y 1 ), valoarea lui "y" este dată de linia dintre puncte și este exprimată prin următoarea relație:
(y - y 0 ) ÷ (x - x 0 ) = (y 1 - y 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )
Pentru ca o interpolare să fie liniară, polinomul de interpolare trebuie să fie de gradul unu (n = 1), astfel încât să se potrivească valorilor x 0 și x 1.
Interpolarea liniară se bazează pe asemănarea triunghiurilor, în așa fel încât, derivând geometric din expresia anterioară, se poate obține valoarea „y”, ceea ce reprezintă valoarea necunoscută pentru „x”.
Astfel trebuie:
a = bronz Ɵ = (opus picior 1 ÷ picior adiacent 1 ) = (opus picior 2 ÷ picior adiacent 2 )
Exprimat într-un alt mod, este:
(y - y 0 ) ÷ (x - x 0 ) = (y 1 - y 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )
Rezolvând „și” din expresii, avem:
(y - y 0 ) * (x 1 - x 0 ) = (x - x 0 ) * (y 1 - y 0 )
(y - y 0 ) = (y 1 - y 0 ) *
Astfel, ecuația generală pentru interpolare liniară este obținută:
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) *
În general, interpolarea liniară dă o mică eroare asupra valorii reale a funcției adevărate, deși eroarea este minimă în comparație cu dacă alegeți intuitiv un număr apropiat de cel pe care doriți să îl găsiți.
Această eroare apare atunci când se încearcă aproximarea valorii unei curbe cu o linie dreaptă; În aceste cazuri, dimensiunea intervalului trebuie redusă pentru a face aproximarea mai precisă.
Pentru rezultate mai bune în ceea ce privește aproximarea, este recomandabil să utilizați funcții de gradul 2, 3 sau chiar mai mari pentru a realiza interpolarea. Pentru aceste cazuri, teorema Taylor este un instrument foarte util.
Exerciții rezolvate
Exercitiul 1
Numărul de bacterii pe unitatea de volum existent într-o incubație după x ore este prezentat în tabelul următor. Vrei să știi care este volumul de bacterii pentru timpul de 3,5 ore.
Soluţie
Tabelul de referință nu stabilește o valoare care să indice cantitatea de bacterii pentru un timp de 3,5 ore, dar există valori superioare și inferioare corespunzătoare unui timp de 3, respectiv 4 ore. În felul acesta:
x 0 = 3 și 0 = 91
x = 3,5 y =?
x 1 = 4 și 1 = 135
Acum, ecuația matematică este aplicată pentru a găsi valoarea interpolată, care este următoarea:
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) * .
Apoi valorile corespunzătoare sunt înlocuite:
y = 91 + (135 - 91) *
y = 91 + (44) *
y = 91 + 44 * 0,5
y = 113.
Astfel, se obține că, timp de 3,5 ore, numărul de bacterii este 113, ceea ce reprezintă un nivel intermediar între volumul de bacterii existente în timpii de 3 și 4 ore.
Exercițiul 2
Luis are o fabrică de înghețată și vrea să facă un studiu pentru a stabili veniturile pe care le-a avut în august pe baza cheltuielilor făcute. Administratorul companiei face un grafic care exprimă această relație, dar Luis vrea să știe:
Care este venitul pentru luna august, dacă s-au efectuat cheltuieli de 55.000 USD?
Soluţie
Un grafic este dat cu valorile veniturilor și cheltuielilor. Luis vrea să știe care este venitul pentru luna august, dacă fabrica ar avea o cheltuială de 55.000 de dolari. Această valoare nu este reflectată direct în grafic, dar valorile sunt mai mari și mai mici decât aceasta.
Mai întâi se face un tabel unde să se coreleze ușor valorile:
Acum, formula de interpolare este utilizată pentru a determina astfel valoarea y
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) *
Apoi valorile corespunzătoare sunt înlocuite:
y = 56.000 + (78.000 - 56.000) *
y = 56.000 + (22.000) *
y = 56.000 + (22.000) * (0.588)
y = 56.000 + 12.936
y = 68.936 USD.
Dacă în august s-a făcut o cheltuială de 55.000 USD, venitul a fost de 68.936 dolari.
Referințe
- Arthur Goodman, LH (1996). Algebra și trigonometria cu geometrie analitică. Pearson Education.
- Harpe, P. d. (2000). Subiecte în teoria grupurilor geometrice. Universitatea din Chicago Press.
- Hazewinkel, M. (2001). Interpolarea liniară ", Enciclopedia matematicii.
- , JM (1998). Elemente de metode numerice pentru Inginerie. UASLP.
- , E. (2002). O cronologie a interpolării: de la astronomia antică la procesarea modernă a semnalului și imaginilor. Procesul IEEE.
- numerice, I. a. (2006). Xavier Tomàs, Jordi Cuadros, Lucinio González.