IDENTITĂȚI PITAGOREICE: DEMONSTRAȚIE, EXEMPLU, EXERCIȚII - MATEMATICA - 2025

Identitățile pitagoreice sunt toate ecuațiile trigonometrice care dețin orice valoare a unghiului și se bazează pe teorema lui Pitagore. Cea mai cunoscută dintre identitățile pitagoreene este identitatea trigonometrică fundamentală:

Sin ² (α) + Cos ² (α) = 1

Figura 1. Identități trigonometrice pitagoreice.

Urmează importanța și folosesc identitatea pitagoreană a tangentului și secantului:

Tan ² (α) + 1 = Sec ² (α)

Și identitatea trigonometrică pitagoreă care implică cotangentul și cosecantul:

1 + Ctg ² (α) = Csc ² (α)

Demonstrație

Raporturile trigonometrice sinusul și cosinusul sunt reprezentate pe un cerc cu raza unu (1) cunoscut sub numele de cerc trigonometric. Cercul respectiv are centrul la originea coordonatelor O.

Unghiurile sunt măsurate din semi-axa pozitivă a X-urilor, de exemplu unghiul α din figura 2 (vezi mai jos). În sens contrar acelor de ceasornic dacă unghiul este pozitiv și în sensul acelor de ceasornic dacă este un unghi negativ.

Se trage raza cu originea O și unghiul α, care interceptează cercul unității din punctul P. Punctul P este proiectat ortogonal pe axa orizontală X dând naștere punctului C. În mod similar P este proiectat perpendicular pe axa verticală Y dând locul spre punctul S.

Avem triunghiul drept OCP la C.

Sinusul și cosinusul

Trebuie amintit că sinusul raportului trigonometric este definit pe un triunghi drept după cum urmează:

Sinusul unui unghi al triunghiului este raportul sau coeficientul dintre piciorul opus unghiului și ipotenuză a triunghiului.

Aplicat triunghiului OCP din figura 2 ar arăta astfel:

Sen (α) = CP / OP

dar CP = OS și OP = 1, astfel încât:

Sen (α) = sistem de operare

Ceea ce înseamnă că sistemul de proiecție de pe axa Y are o valoare egală cu sinusul unghiului afișat. Trebuie menționat că valoarea maximă a sinusului unui unghi (+1) apare atunci când α = 90º și minimul (-1) când α = -90º sau α = 270º.

Figura 2. Cercul trigonometric care arată relația dintre teorema pitagoreică și identitatea trigonometrică fundamentală. (Elaborare proprie)

În mod similar, cosinusul unui unghi este coeficientul dintre piciorul adiacent unghiului și ipotenuză a triunghiului.

Aplicat triunghiului OCP din figura 2 ar arăta astfel:

Cos (α) = OC / OP

dar OP = 1, astfel încât:

Cos (α) = OC

Aceasta înseamnă că OC de proiecție pe axa X are o valoare egală cu sinusul unghiului arătat. Trebuie menționat că valoarea maximă a cosinusului (+1) apare atunci când α = 0º sau α = 360º, în timp ce valoarea minimă a cosinusului este (-1) când α = 180º.

Identitatea fundamentală

Pentru triunghiul drept OCP în C, se aplică teorema pitagoreică, care afirmă că suma pătratului picioarelor este egală cu pătratul ipotenuzei:

CP ² + OC ² = OP ²

Dar deja s-a spus că CP = OS = Sen (α), că OC = Cos (α) și că OP = 1, deci expresia anterioară poate fi rescrisă ca funcție a sinusului și cosinului unghiului:

Sin ² (α) + Cos ² (α) = 1

Axa tangentei

La fel cum axa X din cercul trigonometric este axa cosinului și axa Y axa sinusoidală, în același mod există axa tangentă (a se vedea figura 3), care este exact linia tangentă către cercul unitar în punctul B de coordonate (1, 0).

Dacă doriți să cunoașteți valoarea tangentei unui unghi, unghiul este tras din semiaxa pozitivă a X, intersecția unghiului cu axa tangentei definește un punct Q, lungimea segmentului OQ este tangenta unghi.

Acest lucru se datorează faptului că, prin definiție, tangenta unghiului α este piciorul opus QB între piciorul adiacent OB. Adică, Tan (α) = QB / OB = QB / 1 = QB.

Figura 3. Cercul trigonometric care prezintă axa tangentei și identitatea pitagoreică a tangentei. (Elaborare proprie)

Identitatea pitagoreică a tangentei

Identitatea pitagoreică a tangentei poate fi dovedită luând în considerare OBQ-ul triunghiului drept la B (figura 3). Aplicând teorema lui Pitagora pe acest triunghi avem acea BQ ² + OB ² = OQ ² . Dar deja s-a spus că BQ = Tan (α), că OB = 1 și că OQ = Sec (α), astfel încât înlocuirea egalității pitagoreene pentru OBQ triunghi drept avem:

Tan ² (α) + 1 = Sec ² (α).

Exemplu

Verificați dacă identitățile pitagoreene sunt sau nu îndeplinite în triunghiul drept al picioarelor AB = 4 și BC = 3.

Soluție: picioarele sunt cunoscute, trebuie stabilită hipotenuză, care este:

AC = √ (AB ^ 2 + BC ^ 2) = √ (4 ^ 2 + 3 ^ 2) = √ (16 + 9) = √ (25) = 5.

Unghiul ∡BAC se va numi α, ∡BAC = α. Acum sunt determinate raporturile trigonometrice:

Sen α = BC / AC = 3/5

Cos α = AB / AC = 4/5

Deci α = BC / AB = 3/4

Cotan α = AB / BC = 4/3

Sec α = AC / AB = 5/4

Csc α = AC / BC = 5/3

Începe cu identitatea trigonometrică fundamentală:

Sin ² (α) + Cos ² (α) = 1

(3/5) ^ 2 + (4/5) ^ 2 = 9/25 + 16/25 = (9 +16) / 25 = 25/25 = 1

Se concluzionează că este îndeplinit.

- Următoarea identitate pitagoreă este cea a tangentei:

Tan ² (α) + 1 = Sec ² (α)

(3/4) ^ 2 + 1 = 9/16 + 16/16 = (9 + 16) / 16 = 25/16 = (5/4) ^ 2

Și se concluzionează că identitatea tangentei este verificată.

- În mod similar cu al cotangentului:

1 + Ctg ² (α) = Csc ² (α)

1+ (4/3) ^ 2 = 1 + 16/9 = 25/9 = (5/3) ^ 2

Se concluzionează că se îndeplinește și sarcina de verificare a identităților pitagore pentru triunghiul dat a fost finalizată.

Exerciții rezolvate

Dovedește următoarele identități, pe baza definițiilor raporturilor trigonometrice și ale identităților pitagoreice.

Exercitiul 1

Demonstrează că Cos ² x = (1 + Sin x) (1 - Sin x).

Soluție: în partea dreaptă recunoaștem produsul remarcabil al înmulțirii unui binom prin conjugatul său care, după cum știm, este o diferență de pătrate:

Cos ² x = 1 ² - Sin ² x

Apoi termenul cu sinus pe partea dreaptă trece în partea stângă cu semnul schimbat:

Cos ² x + Sen ² x = 1

Observând că s-a ajuns la identitatea trigonometrică fundamentală, astfel încât se concluzionează că expresia dată este o identitate, adică este adevărată pentru orice valoare a lui x.

Exercițiul 2

Pornind de la identitatea trigonometrică fundamentală și folosind definițiile raporturilor trigonometrice, demonstrează identitatea pitagoreă a cosecantului.

Soluție: Identitatea fundamentală este:

Sin ² (x) + Cos ² (x) = 1

Ambii membri sunt împărțiți cu Sen ² (x) și numitorul este distribuit în primul membru:

Sin ² (x) / Sin ² (x) + Cos ² (x) / Sin ² (x) = 1 / Sin ² (x)

Se simplifică:

1 + (Cos (x) / Sen (x)) ^ 2 = (1 / Sen (x)) ^ 2

Cos (x) / Sen (x) = Cotan (x) este o identitate (non-pitagoreă) care este verificată prin însăși definiția raporturilor trigonometrice. La fel se întâmplă și cu următoarea identitate: 1 / Sen (x) = Csc (x).

În cele din urmă, trebuie să:

1 + Ctg ² (x) = Csc ² (x)

Referințe

1. Baldor J. (1973). Geometria planului și spațiului cu o introducere în trigonometrie. Central American Cultural. AC
2. CEA (2003). Elemente de geometrie: cu exerciții și geometrie busolă. Universitatea din Medellin.
3. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematică 2. Grupo Editorial Patria.
4. IGER. (Sf). Matematica Primul semestru Tacaná. IGER.
5. Jr. geometrie. (2014). Poligoane. Lulu Press, Inc.
6. Miller, Heeren și Hornsby. (2006). Matematică: raționament și aplicații (ediția a X-a). Pearson Education.
7. Patiño, M. (2006). Matematică 5. Editorial Progreso.
8. Wikipedia. Identități și formule trigonometrice. Recuperat din: es.wikipedia.com