HOMOTEZIA: PROPRIETĂȚI, TIPURI ȘI EXEMPLE - MATEMATICA - 2025

Dilatarea este o schimbare geometrică în plan care, dintr - un punct fix numit centru (O), distanțele sunt multiplicate cu un factor comun. În acest fel, fiecare punct P corespunde unui alt punct P 'produs al transformării, iar acestea sunt aliniate cu punctul O.

Deci, homotezia este despre o corespondență între două figuri geometrice, unde punctele transformate se numesc homotetice, iar acestea sunt aliniate cu un punct fix și cu segmente paralele între ele.

Homothecy

Homotezia este o transformare care nu are o imagine congruentă, deoarece dintr-o figură se vor obține una sau mai multe figuri de dimensiuni mai mari sau mai mici decât cifra inițială; adică că homotezia transformă un poligon în altul similar.

Pentru ca omotia să fie îndeplinită, punctul de la punctul și linia la linie trebuie să corespundă, astfel încât perechile de puncte omologe să fie aliniate cu un al treilea punct fix, care este centrul homotecii.

La fel, perechile de linii care le unesc trebuie să fie paralele. Relația dintre astfel de segmente este o constantă numită raportul de homotezie (k); în așa fel încât omoteza să poată fi definită ca:

Pentru a efectua acest tip de transformare, începem prin alegerea unui punct arbitrar, care va fi centrul locuinței.

Din acest punct, segmente de linie sunt desenate pentru fiecare vertex al figurii care trebuie transformată. Scara în care se face reproducerea noii figuri este dată de raportul de homotezie (k).

Proprietăți

Una dintre principalele proprietăți ale homoteziei este că, prin rațiunea homotetică (k), toate figurile homotetice sunt similare. Printre alte proprietăți deosebite sunt următoarele:

- Centrul homotecii (O) este singurul punct dublu și acesta este transformat în sine; adică nu variază.

- Liniile care trec prin centru sunt transformate în ele însele (sunt duble), dar punctele care îl compun nu sunt duble.

- Liniile care nu trec prin centru sunt transformate în linii paralele; în acest fel, unghiurile de homoteci rămân aceleași.

- Imaginea unui segment printr-o homotezie a centrului O și a raportului k, este un segment paralel cu acesta și are k de lungime. De exemplu, așa cum se poate observa în imaginea următoare, un segment AB prin omotezie va avea ca rezultat un alt segment A'B ', astfel încât AB va fi paralel cu A'B' și k va fi:

- Unghiurile homotetice sunt congruente; adică au aceeași măsură. Prin urmare, imaginea unui unghi este un unghi care are aceeași amplitudine.

Pe de altă parte, considerăm că homotezia variază în funcție de valoarea raportului (k) și pot apărea următoarele cazuri:

- Dacă constanta k = 1, toate punctele sunt fixate pentru că se transformă singure. Astfel, figura homotetică coincide cu cea inițială, iar transformarea se va numi funcția de identitate.

- Dacă k ≠ 1, singurul punct fix va fi centrul omoteticului (O).

- Dacă k = -1, homotezia devine o simetrie centrală (C); adică să apară o rotație în jurul C, la un unghi de 180 ^sau .

- Dacă k> 1, dimensiunea figurii transformate va fi mai mare decât dimensiunea originalului.

- Dacă 0 <k <1, dimensiunea figurii transformate va fi mai mică decât originalul.

- Dacă -1 <k <0, dimensiunea figurii transformate va fi mai mică și va fi rotită în raport cu originalul.

- Dacă k <-1, dimensiunea figurii transformate va fi mai mare și va fi rotită în raport cu originalul.

Tipuri

Locuința poate fi, de asemenea, clasificată în două tipuri, în funcție de valoarea raportului său (k):

Homotelie directă

Se produce dacă constanta k> 0; adică punctele homotetice sunt de aceeași parte față de centru:

Factorul de proporționalitate sau raportul de asemănare între cifrele homotetice directe va fi întotdeauna pozitiv.

Homotie inversă

Apare dacă constanta k <0; adică punctele inițiale și homoteticile lor sunt situate la capetele opuse în raport cu centrul omoteticului, dar aliniat la acesta. Centrul va fi cuprins între cele două figuri:

Factorul de proporționalitate sau raportul de asemănare între cifrele homotetice inversă vor fi întotdeauna negative.

Compoziţie

Când mai multe mișcări sunt efectuate succesiv până la obținerea unei cifre egale cu originalul, apare o compoziție a mișcărilor. Compoziția mai multor mișcări este, de asemenea, o mișcare.

Compoziția dintre două homoteci are ca rezultat o nouă homotezie; adică există un produs al omotezelor în care centrul va fi aliniat cu centrul celor două transformări originale, iar raportul (k) este produsul celor două raporturi.

Astfel, în componența a două homothecies H ₁ (O ₁ , k ₁ ) și H ₂ (O ₂ , k ₂ ), multiplicarea raporturile lor: k ₁ xk ₂ = 1 va avea ca rezultat un homothecy ratio k ₃ = k ₁ xk ₂ . Centrul acestei noi case de domiciliu (O ₃ ) va fi amplasat pe linia O ₁ O ₂ .

Homotecia corespunde unei schimbări plate și ireversibile; Dacă se aplică două omoteze care au același centru și același raport, dar cu un semn diferit, se va obține cifra originală.

Exemple

Primul exemplu

Aplicați o homotehnie pe poligonul dat de centrul (O), situat la 5 cm de punctul A și al cărui raport este k = 0,7.

Soluţie

Orice punct este ales ca centru al homotecii, iar din acest punct, razele sunt trase prin vârfurile figurii:

Distanța din centru (O) până la punctul A este OA = 5; Cu aceasta, se poate determina distanța unuia dintre punctele homotetice (OA '), știind de asemenea că k = 0,7:

OA '= kx OA.

OA '= 0,7 x 5 = 3,5.

Procesul poate fi realizat pentru fiecare vertex sau poligonul homotetic poate fi desenat de asemenea amintind că cei doi poligoane au laturi paralele:

În cele din urmă, transformarea arată astfel:

Al doilea exemplu

Aplicați o homotehnie pe poligonul dat cu centrul (O), situat la 8,5 cm de punctul C și al cărui raport y = k = -2.

Soluţie

Distanța din centru (O) până la punctul C este OC = 8,5; Cu aceste date este posibil să se determine distanța unuia dintre punctele homotetice (OC '), știind de asemenea că k = -2:

OC '= kx OC.

OC '= -2 x 8,5 = -17

După trasarea segmentelor de la vârfurile poligonului transformat, avem în vedere că punctele inițiale și homoteticile lor sunt situate la capetele opuse în raport cu centrul:

Referințe

1. Álvaro Rendón, AR (2004). Desen tehnic: caiet de activitate.
2. Antonio Álvarez de la Rosa, JL (2002). Afinitate, Homologie și Homotelie.
3. Baer, ​​R. (2012). Algebra liniară și geometrie proiectivă. Corporația de curierat.
4. Hebert, Y. (1980). Matematica generală, probabilități și statistici.
5. Meserve, BE (2014). Conceptele fundamentale ale geometriei. Corporația de curierat.
6. Nachbin, L. (1980). Introducere în algebră. Reverte.