- Care sunt dimensiunile?
- Spațiu tridimensional
- A patra dimensiune și timp
- Coordonatele unui hipercub
- Desfacerea unui hipercub
- Referințe
Un hipercub este un cub al dimensiunii n. Cazul particular al hipercubului cu patru dimensiuni se numește tesseract. Un hipercub sau n-cub este format din segmente drepte, toate cu lungimea egală, care sunt ortogonale la vârfurile lor.
Ființele umane percep spațiul tridimensional: lățime, înălțime și adâncime, dar nu este posibil pentru noi să vizualizăm un hipercub cu o dimensiune mai mare de 3.
Figura 1. Un cub de 0 este un punct, dacă acel punct se extinde într-o direcție, o distanță formează un 1-cub, dacă acel 1-cub extinde o distanță a în direcția ortogonală avem un 2-cub (de la laturile x până la a), dacă cubul 2 extinde distanța a în direcția ortogonală avem un cub 3. Sursa: F. Zapata.
Cel mult putem realiza proiecții ale acestuia în spațiul tridimensional pentru a-l reprezenta, într-un mod similar modului în care proiectăm un cub pe un plan pentru a-l reprezenta.
În dimensiunea 0, singura figură este punctul, deci un 0-cub este un punct. Un cub 1 este un segment drept, care se formează prin deplasarea unui punct într-o direcție pe o distanță a.
La rândul său, un cub de 2 este un pătrat. Se construiește prin mutarea cubului 1 (segmentul de lungime a) în direcția y, care este ortogonală pe direcția x, distanța a.
3-cubul este cubul comun. Este construit din pătrat mișcându-l în a treia direcție (z), care este ortogonală pe direcțiile x și y, o distanță a.
Figura 2. Un cub de 4 (tesseract) este extensia unui cub de 3 în direcția ortogonală către cele trei direcții spațiale convenționale. Sursa: F. Zapata.
4-cubul este tesseractul, care este construit dintr-un cub de 3, care îl deplasează ortogonal, la o distanță a, spre o a patra dimensiune (sau a patra direcție), pe care nu o putem percepe.
Un tesseract are toate unghiurile sale drepte, are 16 vârfuri și toate marginile sale (18 în total) au aceeași lungime a.
Dacă lungimea marginilor unui n-cub sau un hipercub de dimensiune n este 1, atunci este un hipercub unitar, în care cea mai lungă diagonală măsoară √n.
Figura 3. Un cub n este obținut dintr-un cub (n-1) extinzându-l ortogonal în următoarea dimensiune. Sursa: wikons commons.
Care sunt dimensiunile?
Dimensiunile sunt gradele de libertate sau direcțiile posibile în care un obiect se poate mișca.
În dimensiunea 0 nu există posibilitatea de a traduce și singurul obiect geometric posibil este punctul.
O dimensiune în spațiul euclidian este reprezentată de o linie sau axă orientată care definește acea dimensiune, numită axa X. Separarea dintre două puncte A și B este distanța euclidiană:
d = √.
În două dimensiuni, spațiul este reprezentat de două linii ortogonale orientate între ele, numite axa X și axa Y.
Poziția oricărui punct din acest spațiu bidimensional este dată de perechea sa de coordonate carteziene (x, y), iar distanța dintre oricare două puncte A și B va fi:
d = √
Pentru că este un spațiu în care geometria lui Euclid este îndeplinită.
Spațiu tridimensional
Spațiul tridimensional este spațiul în care ne mișcăm. Are trei direcții: lățime, înălțime și adâncime.
Într-o cameră goală, colțurile perpendiculare dau aceste trei direcții și fiecăruia putem asocia o axă: X, Y, Z.
Acest spațiu este de asemenea euclidian și distanța dintre două puncte A și B se calculează astfel:
d = √
Ființele umane nu pot percepe mai mult de trei dimensiuni spațiale (sau euclidiene).
Cu toate acestea, dintr-un punct de vedere strict matematic este posibilă definirea unui spațiu euclidian n-dimensional.
În acest spațiu un punct are coordonate: (x1, x2, x3,… .., xn), iar distanța dintre două puncte este:
d = √.
A patra dimensiune și timp
Într-adevăr, în teoria relativității, timpul este tratat ca o altă dimensiune și o coordonată este asociată cu acesta.
Dar trebuie clarificat faptul că această coordonată asociată cu timpul este un număr imaginar. Prin urmare, separarea a două puncte sau evenimente în spațiu-timp nu este euclidiană, ci mai degrabă urmează metrica Lorentz.
Un hipercub cu patru dimensiuni (tesseractul) nu trăiește în spațiu-timp, ci aparține unui hiper-spațiu euclidian în patru dimensiuni.
Figura 4. Proiecție 3D a unui hipercub în patru dimensiuni în rotație simplă în jurul unui plan care împarte figura de la față la stânga, înapoi la dreapta și de sus în jos. Sursa: Wikimedia Commons.
Coordonatele unui hipercub
Coordonatele vârfurilor unui n-cub centrat la origine sunt obținute făcând toate permutările posibile ale următoarei expresii:
(a / 2) (± 1, ± 1, ± 1,…., ± 1)
Unde a este lungimea marginii.
-Cele volumul unui n-cub de margine a este: (a / 2) n (2 n ) = a n .
-Cea mai lungă diagonală este distanța dintre vârfurile opuse.
-Acestea sunt vârfuri opuse într-un pătrat : (-1, -1) și (+1, +1).
-Și într-un cub : (-1, -1, -1) și (+1, +1, +1).
-Cea mai lungă diagonală a unui n-cub măsoară:
d = √ = √ = 2√n
În acest caz, partea a fost presupusă a fi 2. Pentru un n-cub de parte pentru oricare va fi:
d = a√n.
-Un tesseract are fiecare dintre cele 16 vârfuri conectate la patru muchii. Figura următoare arată modul în care vertexurile sunt conectate într-un tesseract.
Figura 5. Sunt prezentate cele 16 vârfuri ale unui hipercub cu patru dimensiuni și modul în care sunt conectate. Sursa: Wikimedia Commons.
Desfacerea unui hipercub
O figură geometrică obișnuită, de exemplu un poliedru, poate fi desfășurată în mai multe figuri de dimensionalitate mai mică.
În cazul unui cub (2 pătrat), acesta poate fi împărțit în patru segmente, adică patru cuburi de 1.
În mod similar, un cub de 3 poate fi desfășurat în șase 2 cuburi.
Figura 6. Un n-cub poate fi desfășurat în mai multe cuburi (n-1). Sursa: Wikimedia Commons.
Un cub de 4 (tesseract) poate fi desfășurat în opt 3-cuburi.
Următoarea animație arată desfășurarea unui tesseract.
Figura 7. Un hipercub 4 dimensiuni poate fi desfășurat în opt cuburi tridimensionale. Sursa: Wikimedia Commons.
Figura 8. Proiecția tridimensională a unui hipercub în patru dimensiuni care realizează o dublă rotație în jurul a două planuri ortogonale. Sursa: Wikimedia Commons.
Referințe
- Cultura științifică. Hypercube, vizualizând a patra dimensiune. Recuperat de la: culturacientifica.com
- Epsilons. Hipercub sau tesseract în patru dimensiuni. Recuperat de la: epsilones.com
- Perez R, Aguilera A. O metodă de a obține un tesseract din dezvoltarea unui hipercub (4D). Recuperat de la: researchgate.net
- Wikimanuale. Matematică, poliedre, hipercubi. Recuperat din: es.wikibooks.org
- Wikipedia. Hipercub. Recuperat din: en.wikipedia.com
- Wikipedia. Tesseract. Recuperat din: en.wikipedia.com