HEPTADECAGON: PROPRIETĂȚI, DIAGONALE, PERIMETRU, SUPRAFAȚĂ - MATEMATICA - 2025

Heptadecagon este un poligon regulat cu 17 laturi și 17 noduri. Construcția sa se poate face în stil euclidian, adică folosind doar rigla și busola. A fost marele geniu matematic Carl Friedrich Gauss (1777-1855), de doar 18 ani, care a găsit procedura pentru construcția sa în 1796.

Aparent, Gauss a fost întotdeauna foarte înclinat către această figură geometrică, într-o asemenea măsură încât, din ziua în care și-a descoperit construcția, a decis să fie matematician. Se mai spune că el dorea ca heptadecagonul să fie gravat pe piatra sa mormântă.

Figura 1. Heptadecagonul este un poligon regulat cu 17 laturi și 17 vârfuri. Sursa: F. Zapata.

De asemenea, Gauss a găsit formula pentru a determina care poligoane obișnuite au posibilitatea de a fi construite cu riglă și busolă, deoarece unii nu au o construcție euclidiană exactă.

Caracteristicile heptadecagonului

În ceea ce privește caracteristicile sale, ca orice poligon, suma unghiurilor sale interne este importantă. Într-un poligon regulat cu n laturi, suma este dată de:

Această sumă, exprimată în radiani, arată astfel:

Din formulele de mai sus se poate deduce cu ușurință că fiecare unghi intern al unui heptadecagon are o măsură exactă α dată de:

Rezultă că unghiul intern este aproximativ:

Diagonalele și perimetrul

Diagonalele și perimetrul sunt alte aspecte importante. În orice poligon numărul de diagonale este:

D = n (n - 3) / 2 și în cazul heptadecagonului, ca n = 17, atunci avem acea D = 119 diagonale.

Pe de altă parte, dacă lungimea fiecărei părți a heptadecagonului este cunoscută, atunci perimetrul heptadecagonului obișnuit se găsește prin adăugarea de 17 ori a lungimii respective sau ceea ce este echivalent cu 17 ori lungimea d a fiecărei părți:

P = 17 d

Perimetrul heptadecagonului

Uneori este cunoscută doar raza r a heptadecagonului, astfel încât este necesară dezvoltarea unei formule pentru acest caz.

În acest scop, este introdus conceptul de apotem. Apotemul este segmentul care merge de la centrul poligonului regulat la punctul mijlociu al unei părți. Apotemul relativ la o parte este perpendicular pe acea parte (vezi figura 2).

Figura 2. Sunt prezentate părțile unui poligon regulat cu raza r și apotemul acestuia. (Elaborare proprie)

În plus, apotemul este bisectorul unghiului cu vertexul central și laturile de pe două vertexuri consecutive ale poligonului, acest lucru permite găsirea unei relații între raza r și partea d.

Dacă unghiul central DOE se numește β și ținând cont că apotemul OJ este o bisectoare, avem EJ = d / 2 = r Sen (β / 2), din care avem o relație pentru a găsi lungimea d a laturii unui poligon cunoscut raza sa r și unghiul său central β:

d = 2 r Sen (β / 2)

În cazul heptadecagonului β = 360º / 17, avem:

d = 2 r Sen (180º / 17) ≈ 0,3675 r

În cele din urmă, se obține formula pentru perimetrul heptadecagonului, cunoscută raza acestuia:

P = 34 r Sen (180º / 17) ≈ 6.2475 r

Perimetrul unui heptadecagon este aproape de perimetrul circumferinței care îl înconjoară, dar valoarea sa este mai mică, adică perimetrul cercului circumscris este Pcir = 2π r ≈ 6.2832 r.

Zonă

Pentru a determina aria heptadecagonului ne vom referi la Figura 2, care arată laturile și apotemul unui poligon regulat cu n laturi. În această figură triunghiul EOD are o suprafață egală cu baza d (latura poligonului) de ori înălțimea a (apotemul poligonului) împărțit la 2:

Zona EOD = (dxa) / 2

Deci, cunoscând apotemul a heptadecagonului și latura d a aceluiași, aria sa este:

Zona Heptadecagon = (17/2) (dxa)

Zona dată laturii

Pentru a obține o formulă pentru aria heptadecagonului cunoscând lungimea celor șaptesprezece laturi ale acesteia, este necesar să obținem o relație între lungimea apotemului a și partea d.

Cu referire la figura 2, se obține următoarea relație trigonometrică:

Tan (β / 2) = EJ / OJ = (d / 2) / a, unde β este unghiul central DOE. Deci, apotemul a poate fi calculat dacă lungimea d a laturii poligonului și unghiul central β sunt cunoscute:

a = (d / 2) Cotan (β / 2)

Dacă această expresie este acum substituită pentru apotem, în formula pentru zona heptadecagonului obținută în secțiunea anterioară, avem:

Zona Heptadecagon = (17/4) (d ² ) Cotan (β / 2)

Fiind β = 360º / 17 pentru heptadecagon, deci avem în sfârșit formula dorită:

Zona Heptadecagon = (17/4) (d ² ) Cotan (180º / 17)

Zona dată raza

În secțiunile anterioare s-a găsit o relație între latura d a unui poligon regulat și raza lui r, această relație fiind următoarea:

d = 2 r Sen (β / 2)

Această expresie pentru d este inserată în expresia obținută în secțiunea anterioară pentru zonă. Dacă se realizează înlocuirile și simplificările relevante, se obține formula care permite calcularea ariei heptadecagonului:

Zona Heptadecagon = (17/2) (r ² ) Sen (β) = (17/2) (r ² ) Sen (360º / 17)

O expresie aproximativă pentru zonă este:

Zona Heptadecagon = 3,0706 (r ² )

După cum era de așteptat, această zonă este puțin mai mică decât aria cercului care circumscrie heptadecagonul A _circ = π r ² ≈ 3.1416 r ² . Pentru a fi mai precis, este cu 2% mai mic decât cel al cercului său circumscris.

Exemple

Exemplul 1

Pentru a răspunde la întrebare, este necesar să vă amintiți relația dintre latură și raza unui poligon obișnuit cu fața n:

d = 2 r Sen (180º / n)

Pentru heptadecagonul n = 17, astfel încât d = 0,3675 r, adică raza heptadecagonului este r = 2 cm / 0,3675 = 5,4423 cm sau

10,8844 cm în diametru.

Perimetrul unui heptadecagon lateral de 2 cm este P = 17 * 2 cm = 34 cm.

Exemplul 2

Trebuie să ne referim la formula prezentată în secțiunea anterioară, care ne permite să găsim aria unui heptadecagon atunci când are lungimea d a laturii sale:

Zona Heptadecagon = (17/4) (d ² ) / Tan (180º / 17)

Înlocuind d = 2 cm în formula precedentă, obținem:

Suprafață = 90,94 cm

Referințe

1. CEA (2003). Elemente de geometrie: cu exerciții și geometrie busolă. Universitatea din Medellin.
2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematică 2. Grupo Editorial Patria.
3. Liberat, K. (2007). Descoperă poligoane. Benchmark Education Company.
4. Hendrik, V. (2013). Poligoane generalizate. Birkhăuser.
5. IGER. (Sf). Matematica Primul semestru Tacaná. IGER.
6. Jr. geometrie. (2014). Poligoane. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren și Hornsby. (2006). Matematică: raționament și aplicații (ediția a X-a). Pearson Education.
8. Patiño, M. (2006). Matematică 5. Editorial Progreso.
9. Sada, M. Poligon regulat cu 17 fețe cu riglă și busolă. Recuperat de la: geogebra.org
10. Wikipedia. Heptadecagon. Recuperat din: es.wikipedia.com