GEOMETRIA EUCLIDIANĂ: ISTORIE, CONCEPTE DE BAZĂ ȘI EXEMPLE - MATEMATICA - 2025

De euclidiene geometrie corespunde studiului proprietăților de spații geometrice în cazul în care sunt îndeplinite axiomele lui Euclid. Deși acest termen este uneori folosit pentru a acoperi geometriile care au dimensiuni mai mari cu proprietăți similare, în general este sinonim cu geometria clasică sau geometria plană.

În secolul III a. C. Euclides și discipolii săi au scris Elementele, o lucrare care cuprindea cunoștințele matematice ale vremii înzestrate cu o structură logico-deductivă. De atunci, geometria a devenit o știință, inițial pentru a rezolva problemele clasice și a evoluat pentru a fi o știință formativă care ajută rațiunea.

Istorie

Pentru a vorbi despre istoria geometriei euclidiene, este esențial să începem cu Euclidul Alexandriei și elementele.

Când Egiptul a fost lăsat în mâinile lui Ptolemeu I, după moartea lui Alexandru cel Mare, și-a început proiectul într-o școală din Alexandria.

Printre înțelepții care au predat la școală era Euclid. Se speculează că nașterea sa datează din aproximativ 325 î.Hr. C. și moartea sa din 265 a. C. Putem ști cu certitudine că a mers la școala lui Platon.

Timp de mai bine de treizeci de ani, Euclid a predat la Alexandria, construindu-și elementele celebre: a început să scrie o descriere exhaustivă a matematicii vremii sale. Învățăturile lui Euclid au produs discipoli excelenți, precum Arhimede și Apollonius din Perga.

Euclid a fost însărcinat cu structurarea descoperirilor disparate ale grecilor antici din Elemente, dar spre deosebire de predecesorii săi, el nu se limitează la afirmarea că o teoremă este adevărată; Euclid oferă o demonstrație.

Elementele este un compendiu format din treisprezece cărți. După Biblie, este cea mai publicată carte, cu peste o mie de ediții.

Elementele lui Euclid

Elemente este capodopera lui Euclid în domeniul geometriei și oferă un tratament definitiv al geometriei bidimensionale (plane) și tridimensionale (spațiale), aceasta fiind originea a ceea ce cunoaștem acum ca geometrie euclidiană. .

Noțiuni de bază

Elementele sunt alcătuite din definiții, noțiuni și postulate comune (sau axiome) urmate de teoreme, construcții și dovezi.

- Un punct este cel care nu are părți.

- O linie este o lungime care nu are lățime.

- O linie dreaptă este una care se află în egală măsură în raport cu punctele care se află în ea.

- Dacă două linii sunt tăiate astfel încât unghiurile adiacente să fie egale, unghiurile se numesc linii drepte, iar liniile sunt numite perpendiculare.

- Liniile paralele sunt cele care, aflate în același plan, nu se intersectează niciodată.

După aceste și alte definiții, Euclid ne prezintă o listă de cinci postulate și cinci noțiuni.

Noțiuni comune

- Două lucruri care sunt egale cu o treime sunt egale între ele.

- Dacă se adaugă aceleași lucruri la aceleași lucruri, rezultatele sunt aceleași.

- Dacă lucrurile egale sunt scăzute lucruri egale, rezultatele sunt egale.

- Lucrurile care se potrivesc sunt egale între ele.

- Totalul este mai mare decât o parte.

Postulatele sau axiomele

- O singură linie trece prin două puncte diferite.

- Liniile drepte pot fi extinse la nesfârșit.

- Puteți desena un cerc cu orice centru și orice rază.

- Toate unghiurile drepte sunt egale.

- Dacă o linie dreaptă traversează două linii drepte, astfel încât unghiurile interioare ale aceleiași părți să se adauge la mai puțin de două unghiuri drepte, atunci cele două linii se vor încrucișa pe acea parte.

Acest ultim postulat este cunoscut sub numele de postulat paralel și a fost reformulat în felul următor: "Pentru un punct în afara unei linii, se poate desena o singură paralelă cu linia dată."

Exemple

În continuare, unele teoreme ale elementelor vor servi pentru a arăta proprietățile spațiilor geometrice în care se îndeplinesc cele cinci postulate ale Euclidului; În plus, vor ilustra raționamentul logic-deductiv folosit de acest matematician.

Primul exemplu

Propunerea 1.4. (LAL)

Dacă două triunghiuri au două laturi și unghiul dintre ele este egal, atunci celelalte laturi și celelalte unghiuri sunt egale.

Demonstrație

Fie ABC și A'B'C 'să fie două triunghiuri cu AB = A'B', AC = A'C 'și unghiurile BAC și B'A'C' să fie egale. Să mutăm triunghiul A'B'C 'astfel încât A'B' să coincidă cu AB și unghiul B'A'C 'să coincidă cu unghiul BAC.

Deci linia A'C 'coincide cu linia AC, astfel încât C' coincide cu C. Apoi, prin postulatul 1, linia BC trebuie să coincidă cu linia B'C '. Prin urmare, cele două triunghiuri coincid și, în consecință, unghiurile și laturile lor sunt egale.

Al doilea exemplu

Propunerea 1.5. (

Să presupunem că triunghiul ABC are laturile egale AB și AC.

Deci, triunghiurile ABD și ACD au două laturi egale, iar unghiurile dintre ele sunt egale. Astfel, prin propunerea 1.4, unghiurile ABD și ACD sunt egale.

Al treilea exemplu

Propunerea 1.31

Puteți construi o linie paralelă cu o linie dată de un punct dat.

clădire

Având în vedere o linie L și un punct P, o linie M este desenată prin P și intersectează L. Apoi, o linie N este desenată prin P care intersectează L. Acum, o linie N este desenată prin P, care intersectează M, formând un unghi egal cu cel pe care L îl formează cu M.

Afirmare

N este paralel cu L.

Demonstrație

Să presupunem că L și N nu sunt paralele și se intersectează într-un punct A. Fie B un punct în L dincolo de A. Considerați linia O care trece prin B și P. Apoi, O intersectează M în unghiuri care se ridică la mai puțin de două drepte.

Apoi, cu 1,5 linia O trebuie să intersecteze linia L de cealaltă parte a lui M, astfel încât L și O se intersectează în două puncte, ceea ce contrazice postulul 1. Prin urmare, L și N trebuie să fie paralele.

Referințe

1. Euclid. Elemente de geometrie. Universitatea Națională Autonomă din Mexic
2. Euclid. Primele șase cărți și a unsprezecea și a douăsprezecea dintre elementele lui Euclid
3. Eugenio Filloy Yague. Didactica și istoria geometriei euclidiene, Grupo Editorial Iberoamericano
4. K. Ribnikov. Istoria matematicii. Editorial Mir
5. Viloria, N., & Leal, J. (2005) Geometrie analitică plană. Editorial Venezolana CA