- Definiție și proprietăți
- Functie exponentiala
- Proprietățile funcției exponențiale
- Funcția logaritmică
- Proprietățile funcției logaritmului
- Funcții sinale, cosine și tangente
- Derivate și integrale
- Derivat al funcției exponențiale
- Integrală a funcției exponențiale
- Tabel cu derivate și integrale ale funcțiilor transcendente
- Exemple
- Exemplul 1
- Exemplul 2
- Referințe
Funcțiile transcendentale elementare sunt funcțiile exponențiale, logaritmice, trigonometrice, trigonometrice inversă, funcțiile hiperbolice și hiperbole inversă. Adică sunt aceia care nu pot fi exprimați printr-un polinom, un coeficient al polinoamelor sau rădăcinile polinoamelor.
Funcțiile transcendente neelementare sunt, de asemenea, cunoscute sub numele de funcții speciale, iar dintre ele funcția de eroare poate fi numită. Funcțiile algebrice (polinomii, coeficienții polinoamelor și rădăcinile polinoamelor) împreună cu funcțiile transcendentale elementare constituie ceea ce în matematică sunt cunoscute sub numele de funcții elementare.
Funcțiile transcendente sunt, de asemenea, considerate cele care rezultă din operații între funcțiile transcendente sau între funcțiile transcendente și cele algebrice. Aceste operațiuni sunt: suma și diferența funcțiilor, produsul și coeficientul funcțiilor, precum și compoziția a două sau mai multe funcții.
Definiție și proprietăți
Functie exponentiala
Este o funcție reală a variabilei reale independente a formei:
f (x) = a ^ x = a x
unde a este un număr real pozitiv fix (a> 0) numit bază. Circumfericul sau suprascriptul sunt utilizate pentru a indica operația de potențare.
Să spunem a = 2, atunci funcția arată astfel:
f (x) = 2 ^ x = 2 x
Ceea ce va fi evaluat pentru mai multe valori ale variabilei independente x:
Mai jos este un grafic în care funcția exponențială este reprezentată pentru mai multe valori ale bazei, inclusiv baza e (numărul Neper e ≃ 2.72). Baza e este atât de importantă, încât, în general, despre o funcție exponențială, ne gândim la e ^ x, care este, de asemenea, notată exp (x).
Figura 1. Funcția exponențială a ^ x, pentru diferite valori ale bazei a. (Elaborare proprie)
Proprietățile funcției exponențiale
Din figura 1 se poate observa că domeniul funcțiilor exponențiale sunt numerele reale (Dom f = R ) și intervalul sau calea sunt realele pozitive (Ran f = R + ).
Pe de altă parte, indiferent de valoarea bazei a, toate funcțiile exponențiale trec prin punctul (0, 1) și prin punctul (1, a).
Când baza a> 1, atunci funcția crește și când 0 <a <1 funcția scade.
Curbele lui y = a ^ x și y = (1 / a) ^ x sunt simetrice față de axa Y.
Cu excepția cazului a = 1, funcția exponențială este injectivă, adică fiecărei valori a imaginii corespunde una și o singură valoare de pornire.
Funcția logaritmică
Este o funcție reală a variabilei reale independente bazată pe definiția logaritmului unui număr. Logaritmul bazat pe un număr x este numărul y la care trebuie ridicată baza pentru a obține argumentul x:
log a (x) = y ⇔ a ^ y = x
Adică, funcția de logaritm bazată pe funcția inversă a funcției exponențiale bazată pe.
De exemplu:
log 2 1 = 0, deoarece 2 ^ 0 = 1
Un alt caz, log 2 4 = 2, deoarece 2 ^ 2 = 4
Logaritmul rădăcină al lui 2 este log 2 √2 = ½, deoarece 2 ^ ½ = √2
log 2 ¼ = -2, deoarece 2 ^ (- 2) = ¼
Mai jos este prezentat un grafic al funcției logaritmului în diverse baze.
Figura 2. Funcție exponențială pentru diferite valori ale bazei. (Elaborare proprie)
Proprietățile funcției logaritmului
Domeniul funcției logaritmului y (x) = log a (x) sunt numerele reale pozitive R + . Gama de călătorie sau sunt numere reale R .
Indiferent de bază, funcția logaritmului trece întotdeauna prin punctul (1,0) și punctul (a, 1) aparține graficului acestei funcții.
În cazul în care baza a este mai mare decât unitatea (a> 1) funcția de logaritm este în creștere. Dar dacă (0 <a <1) atunci este o funcție descrescătoare.
Funcții sinale, cosine și tangente
Funcția sinusoasă atribuie un număr real și fiecărei valori x, unde x reprezintă măsura unui unghi în radieni. Pentru a obține valoarea Sen (x) a unui unghi, unghiul este reprezentat în cercul unității și proiecția unghiului menționat pe axa verticală este sinusul corespunzător acelui unghi.
Cercul trigonometric și sinusul pentru diferite valori unghiulare X1, X2, X3 și X4 sunt prezentate mai jos (în figura 3).
Figura 3. Cercul trigonometric și sinusul diferitelor unghiuri. (Elaborare proprie)
Definită în acest fel, valoarea maximă pe care o poate avea funcția Sen (x) este 1, care apare atunci când x = π / 2 + 2π n, unde n este un număr întreg (0, ± 1, ± 2,). Valoarea minimă pe care o poate prelua funcția Sen (x) apare când x = 3π / 2 + 2π n.
Funcția cosinus y = Cos (x) este definită într-un mod similar, dar proiecția pozițiilor unghiulare P1, P2 etc. se realizează pe axa orizontală a cercului trigonometric.
Pe de altă parte, funcția y = Tan (x) este coeficientul dintre funcția sinusoidală și funcția cosinus.
Mai jos este un grafic al funcțiilor transcendente Sen (x), Cos (x) și Tan (x)
Figura 4. Graficul funcțiilor transcendente, Sine, Cosine și Tangent. (Elaborare proprie)
Derivate și integrale
Derivat al funcției exponențiale
Derivata y 'a funcției exponențiale y = a ^ x este funcția a ^ x înmulțită cu logaritmul natural al bazei a:
y '= (a ^ x)' = a ^ x ln a
În cazul particular al bazei e, derivata funcției exponențiale este funcția exponențială însăși.
Integrală a funcției exponențiale
Integrala nedeterminată a a ^ x este funcția în sine divizată de logaritmul natural al bazei.
În cazul particular al bazei e, integralitatea funcției exponențiale este funcția exponențială însăși.
Tabel cu derivate și integrale ale funcțiilor transcendente
Mai jos este prezentat un tabel sumar al principalelor funcții transcendente, derivatele lor și integralele nedeterminate (antiderivative):
Tabel cu derivate și integrale nedeterminate pentru unele funcții transcendente. (Elaborare proprie)
Exemple
Exemplul 1
Găsiți funcția rezultată din compoziția funcției f (x) = x ^ 3 cu funcția g (x) = cos (x):
(ceata) (x) = f (g (x)) = cos 3 (x)
Derivatul său și integralul său nedefinit este:
Exemplul 2
Găsiți compoziția funcției g cu funcția f, unde g și f sunt funcțiile definite în exemplul precedent:
(gof) (x) = g (f (x)) = cos (x 3 )
Trebuie remarcat faptul că compoziția funcțiilor nu este o operație comutativă.
Derivatul și integrala nedeterminată pentru această funcție sunt respectiv:
Integrala a fost lăsată indicată deoarece nu este posibil să scriem rezultatul ca o combinație de funcții elementare exact.
Referințe
- Calculul unei variabile unice. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Cengage Learning, 10 nov 2008
- Teorema funcțiilor implicite: istorie, teorie și aplicații. Steven G. Krantz, Harold R. Parks. Springer Science & Business Media, 9 noiembrie. 2012
- Analiza multivariabilă. Satish Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media, 13 decembrie. 2010
- Dinamica sistemului: modelarea, simularea și controlul sistemelor mecatronice. Decanul C. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, 7 mar 2012
- Calcul: Matematică și modelare. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, 1 ian 1999
- wikipedia. Funcție transcendentă. Recuperat din: es.wikipedia.com