O funcție surjectivă este orice relație în care fiecare element aparținând codomainului este o imagine a cel puțin unui element al domeniului. Cunoscute și sub denumirea de funcție de plic , ele fac parte din clasificarea funcțiilor în ceea ce privește modul în care sunt corelate elementele lor.

De exemplu o funcție F: A → B definită de F (x) = 2x

Care se citește " F care merge de la A la B definit de F (x) = 2x"

Trebuie să definiți seturile de început și de finisare A și B.

A: {1, 2, 3, 4, 5} Acum valorile sau imaginile pe care fiecare dintre aceste elemente le vor da atunci când sunt evaluate în F vor fi elementele codomainului.

F (1) = 2

F (2) = 4

F (3) = 6

F (4) = 8

F (5) = 10

Formând astfel mulțimea B: {2, 4, 6, 8, 10}

Se poate concluziona atunci că:

F: {1, 2, 3, 4, 5} → {2, 4, 6, 8, 10} definite de F (x) = 2x Este o funcție surjectivă

Fiecare element al codomainului trebuie să rezulte din cel puțin o operație a variabilei independente prin funcția în cauză. Nu există nicio limitare a imaginilor, un element al codomainului poate fi o imagine a mai mult de un element al domeniului și încearcă în continuare o funcție supunctivă .

În imagine sunt prezentate 2 exemple cu funcții surjective .

Sursa: Autor

În primul, se observă că imaginile pot fi trimise la același element, fără a compromite surjectivitatea funcției.

În al doilea, vedem o distribuție echitabilă între domeniu și imagini. Aceasta dă naștere funcției bijective , unde trebuie îndeplinite criteriile funcției injective și funcției surjective.

O altă metodă de identificare a funcțiilor surjective este verificarea dacă codomainul este egal cu rangul funcției. Acest lucru înseamnă că, dacă setul de sosire este egal cu imaginile furnizate de funcție la evaluarea variabilei independente, funcția este supusă.

Proprietăți

Pentru a lua în considerare o funcție sugestivă , trebuie îndeplinite următoarele:

Fie F: D _f → C _f

∀ b ℮ C _f E a ℮ D _f / F (a) = b

Acesta este modul algebric de a stabili că pentru fiecare „b” care aparține lui C _f există o „a” care aparține lui D _f astfel încât funcția F evaluată la „a” să fie egală cu „b”.

Suriectivitatea este o particularitate a funcțiilor, în care codomainul și intervalul sunt similare. Astfel, elementele evaluate în funcție compun setul de sosire.

Condiționarea funcției

Uneori, o funcție care nu este surjectivă poate fi supusă anumitor condiții. Aceste condiții noi pot face din ea o funcție surjectivă.

Sunt valabile tot felul de modificări ale domeniului și codomainului funcției, în care obiectivul este îndeplinirea proprietăților de surjectivitate din relația corespunzătoare.

Exemple: exerciții rezolvate

Pentru a îndeplini condițiile de surjectivitate , trebuie aplicate diferite tehnici de condiționare, aceasta pentru a se asigura că fiecare element al codomainului se află în setul de imagini ale funcției.

Exercitiul 1

• Fie ca funcția F: R → R să fie definită de linia F (x) = 8 - x

A:

Sursa: autor

În acest caz, funcția descrie o linie continuă, care include toate numerele reale atât în ​​domeniul său, cât și în intervalul său. Întrucât domeniul funcției R _f este egal cu codomainul R, se poate concluziona că:

F: R → R definit de linia F (x) = 8 - x este o funcție surjectivă.

Aceasta se aplică tuturor funcțiilor liniare (funcții al căror grad cel mai înalt al variabilei este unul).

Exercițiul 2

• Studiați funcția F: R → R definită de F (x) = x ² : Definiți dacă este o funcție surjectivă . Dacă nu, arătați condițiile necesare pentru a face obiectiv.

Sursa: autor

Primul lucru de luat în considerare este codomainul lui F , care este format din numerele reale R. Nu există nicio cale ca funcția să redea valori negative, care exclude realele negative din imaginile posibile.

Condiționarea codomainului la interval. Se evită să lăsați elemente ale codomainului fără legătură cu F.

Imaginile sunt repetate pentru perechi de elemente ale variabilei independente, cum ar fi x = 1 și x = - 1. Dar acest lucru afectează doar injectivitatea funcției, nefiind o problemă pentru acest studiu.

În acest fel se poate concluziona că:

F: R → . Acest interval trebuie să condiționeze codomainul pentru a atinge surjectivitatea funcției.

F: R → definit de F (x) = Sen (x) Este o funcție surjectivă

F: R → definit de F (x) = Cos (x) Este o funcție surjectivă

Exercițiul 4

• Studiază funcția

F :) .push ({});

Sursa: Autor

Funcția F (x) = ± √x are particularitatea că definește 2 variabile dependente la fiecare valoare a „x”. Adică, intervalul primește 2 elemente pentru fiecare care este realizat în domeniu. Trebuie verificată o valoare pozitivă și negativă pentru fiecare valoare „x”.

Când observați setul de început, se observă că domeniul a fost deja restricționat, acest lucru pentru a evita indeterminările produse la evaluarea unui număr negativ într-o rădăcină echivalentă.

Când verificați intervalul funcției, se observă că fiecare valoare a codomainului aparține intervalului.

În acest fel se poate concluziona că:

F: [0, ∞ ) → R definit de F (x) = ± √x Este o funcție surjectivă

Exercițiul 4

• Studiați funcția F (x) = Ln x denotați dacă este o funcție surjectivă . Condiționează seturile de sosire și plecare pentru a se potrivi funcției la criteriile de surjectivitate.

Sursa: Autor

Așa cum se arată în grafic, funcția F (x) = Ln x este definită pentru valorile „x” mai mari decât zero. În timp ce valorile „și” sau imaginile pot lua orice valoare reală.

În acest fel, putem restricționa domeniul F (x) = la interval (0, ∞ )

Atâta timp cât intervalul funcției poate fi păstrat ca set de numere reale R.

Având în vedere acest lucru, se poate concluziona că:

F: [0, ∞ ) → R definit de F (x) = Ln x Este o funcție surjectivă

Exercițiul 5

• Studiați funcția valorii absolute F (x) = - x - și desemnați seturile de sosire și plecare care îndeplinesc criteriile de surjectivitate.

Sursa: Autor

Domeniul funcției este îndeplinit pentru toate numerele reale R. În acest fel, singura condiționare trebuie efectuată în codomain, ținând cont că funcția de valoare absolută ia doar valori pozitive.

Procedăm la stabilirea codomainului funcției egal cu rangul aceleiași

[0, ∞ )

Acum se poate concluziona că:

F: [0, ∞ ) → R definit de F (x) = - x - Este o funcție surjectivă

Exerciții propuse

1. Verificați dacă următoarele funcții sunt injectabile:

• F: (0, ∞ ) → R definit de F (x) = Jurnal (x + 1)
• F: R → R definit de F (x) = x ³
• F: R → [1, ∞ ) definit de F (x) = x ² + 1
• [0, ∞ ) → R definit de F (x) = Jurnal (2x + 3)
• F: R → R definit de F (x) = Sec x
• F: R - {0} → R definit de F (x) = 1 / x

Referințe

1. Introducere în logică și gândire critică. Merrilee H. Somon. Universitatea din Pittsburgh
2. Probleme în analiza matematică. Piotr Biler, Alfred Witkowski. Universitatea din Wroclaw Polonia.
3. Elemente de analiză abstractă. Dr. Mícheál O'Searcoid. Departamentul de matematică. Colegiul universitar Dublin, Beldfield, Dublind 4
4. Introducere în logică și în metodologia științelor deductive. Alfred Tarski, New York Oxford. Presa Universitatii Oxford.
5. Principiile analizei matematice. Enrique Linés Escardó. Editorial Reverté S. A 1991. Barcelona Spania.