Funcția logaritmică este o relație matematică care asociază fiecare număr real pozitiv x cu logaritmul său y pe o bază a. Această relație îndeplinește cerințele pentru a fi o funcție: fiecare element x aparținând domeniului are o imagine unică.
Prin urmare:
Deoarece logaritmul bazat pe un număr x este numărul y la care baza a trebuie ridicată pentru a obține x.
-Logaritmul bazei este întotdeauna 1. Astfel, graficul f (x) = log a x intersectează întotdeauna axa x în punctul (1,0)
-Funcția logaritmică este transcendentă și nu poate fi exprimată ca polinom sau ca un coeficient al acestora. Pe lângă logaritm, acest grup include funcțiile trigonometrice și exponențiale, printre altele.
Exemple
Funcția logaritmică poate fi stabilită prin diferite baze, dar cele mai utilizate sunt 10 și e, unde e este numărul Euler egal cu 2.71828….
Când se folosește baza 10, logaritmul se numește logaritm zecimal, logaritm obișnuit, logaritm Briggs sau simplu.
Și dacă se folosește numărul e, atunci se numește un logaritm natural, după John Napier, matematicianul scoțian care a descoperit logaritmele.
Notarea folosită pentru fiecare este următoarea:
-Logaritmul zecimal: log 10 x = log x
-Logaritmul neperian
Când o altă bază va fi utilizată, este absolut necesar să o indicați ca un abonament, deoarece logaritmul fiecărui număr este diferit în funcție de baza care va fi utilizată. De exemplu, dacă este vorba de logaritmi în baza 2, scrieți:
y = jurnal 2 x
Să ne uităm la logaritmul numărului 10 din trei baze diferite, pentru a ilustra acest punct:
jurnal 10 = 1
ln 10 = 2.30259
log 2 10 = 3.32193
Calculatorii obișnuiți aduc doar logaritmi zecimali (funcție log) și logaritm natural (funcția ln). Pe Internet există calculatoare cu alte baze. În orice caz, cititorul poate verifica, cu ajutorul său, că valorile anterioare sunt satisfăcute:
10 1 = 10
e 2.3026 = 10.0001
2 3.32193 = 10.0000
Micile diferențe zecimale se datorează numărului de zecimale luate în calculul logaritmului.
Avantajele logaritmelor
Printre avantajele folosirii logaritmelor se numără ușurința pe care o oferă pentru a lucra cu un număr mare, folosind logaritmul lor în locul numărului direct.
Acest lucru este posibil, deoarece funcția logaritmului crește mai lent pe măsură ce numerele cresc, așa cum putem vedea în grafic.
Deci, chiar și cu un număr foarte mare, logaritmele lor sunt mult mai mici, iar manipularea numerelor mici este întotdeauna mai ușoară.
În plus, logaritmii au următoarele proprietăți:
- Produs : log (ab) = log a + log b
- Quotient : log (a / b) = log a - log b
- Putere : log a b = b.log a
Și în acest fel, produsele și cotele devin adaosuri și scăderi de numere mai mici, în timp ce împuternicirea devine un produs simplu, chiar dacă puterea este mare.
De aceea, logaritmele ne permit să exprimăm numere care variază în intervale foarte mari de valori, precum intensitatea sunetului, pH-ul unei soluții, luminozitatea stelelor, rezistența electrică și intensitatea cutremurelor pe scara Richter.
Figura 2. Logaritmele sunt utilizate pe scara Richter pentru a cuantifica mărimea cutremurelor. Imaginea arată o clădire prăbușită în Concepción, Chile, în timpul cutremurului din 2010. Sursa: Wikimedia Commons.
Să vedem un exemplu de gestionare a proprietăților logaritmelor:
Exemplu
Găsiți valoarea lui x în următoarea expresie:
Răspuns
Avem aici o ecuație logaritmică, deoarece necunoscutul este în argumentul logaritmului. Se rezolvă lăsând un singur logaritm de fiecare parte a egalității.
Începem prin a plasa toți termenii care conțin „x” la stânga egalității și cei care conțin doar numere la dreapta:
log (5x + 1) - jurnal (2x-1) = 1
În stânga avem scăderea a două logaritme, care pot fi scrise ca logaritmul unui cocient:
jurnal = 1
Totuși, în dreapta este numărul 1, pe care îl putem exprima ca jurnal 10, așa cum am văzut anterior. Asa de:
jurnal = jurnal 10
Pentru ca egalitatea să fie adevărată, argumentele logaritmelor trebuie să fie egale:
(5x + 1) / (2x-1) = 10
5x + 1 = 10 (2x - 1)
5x + 1 = 20 x - 10
-15 x = -11
x = 11/15
Exercițiu de aplicare: scara Richter
În 1957 a avut loc un cutremur în Mexic a cărui magnitudine a fost de 7,7 pe scara Richter. În 1960, un alt cutremur cu o magnitudine mai mare a avut loc în Chile, de 9,5.
Calculați de câte ori cutremurul din Chile a fost mai intens decât cel din Mexic, știind că magnitudinea M R pe scara Richter este dată de formula:
M R = jurnal (10 4 I)
Soluţie
Mărimea pe scara Richter a unui cutremur este o funcție logaritmică. Vom calcula intensitatea fiecărui cutremur, deoarece avem magnitudinile Richter. Să o facem pas cu pas:
- Mexic : 7,7 = jurnal (10 4 I)
Deoarece inversul funcției logaritmului este exponențial, aplicăm acest lucru pe ambele părți ale egalității cu intenția de a rezolva pentru I, care se regăsește în argumentul logaritmului.
Deoarece sunt logaritmi zecimale, baza este 10. Atunci:
10 7,7 = 10 4 I
Intensitatea cutremurului din Mexic a fost:
I M = 10 7,7 / 10 4 = 10 3,7
- Chile : 9,5 = jurnal (10 4 I)
Aceeași procedură ne conduce la intensitatea cutremurului chilian I Ch :
I Ch = 10 9,5 / 10 4 = 10 5,5
Acum putem compara ambele intensități:
I Ch / I M = 10 5,5 / 10 3,7 = 10 1,8 = 63,1
I Ch = 63,1. Eu M
Seismul din Chile a fost de aproximativ 63 de ori mai intens decât cel din Mexic. Deoarece mărimea este logaritmică, crește mai lent decât intensitatea, deci o diferență de 1 în mărime, înseamnă o amplitudine de 10 ori mai mare a undei seismice.
Diferența dintre mărimile ambelor cutremure este de 1,8, de aceea ne putem aștepta la o diferență de intensități mai apropiată de 100 decât la 10, așa cum s-a întâmplat de fapt.
De fapt, dacă diferența ar fi fost exact 2, cutremurul din Chile ar fi fost de 100 de ori mai intens decât cel mexican.
Referințe
- Carena, M. 2019. Manual de matematică preuniversitară. Universitatea Națională din Litoral.
- Figuera, J. 2000. Matematica 1. Anul diversificat. Ediții CO-BO.
- Jiménez, R. 2008. Algebra. Sala Prentice.
- Larson, R. 2010. Calculul unei variabile. Al 9-lea. Ediție. McGraw Hill.
- Stewart, J. 2006. Precalculus: Matematica pentru calcul. 5-a. Ediție. Cengage Learning.