- Pentru ce sunt funcțiile de injecție?
- Condiționarea funcției
- Exemple de funcții injectabile cu exerciții rezolvate
- Exemplul 1
- Exemplul 2
- Exemplul 3
- Exemplul 4
- Exemplul 5
- Exemplul 6
- Referințe
O funcție injectivă este orice relație de elemente ale domeniului cu un singur element al codomainului. Cunoscute de asemenea ca o funcție unu la unu ( 1 - 1 ), ele fac parte din clasificarea funcțiilor în ceea ce privește modul în care se leagă elementele lor.
Un element al codomainului poate fi doar imaginea unui singur element al domeniului, în acest fel valorile variabilei dependente nu pot fi repetate.
Sursa: Autor.
Un exemplu clar ar fi gruparea bărbaților cu locuri de muncă în grupa A, iar în grupul B toți șefii. Funcția F va fi cea care asociază fiecare lucrător cu șeful său. Dacă fiecare lucrător este asociat cu un șef diferit prin F , atunci F va fi o funcție injectivă .
Pentru a considera o funcție injectivă , trebuie îndeplinite următoarele:
∀ x 1 ≠ x 2 ⇒ F (x 1 ) ≠ F (x 2 )
Acesta este modul algebric de a spune Pentru fiecare x 1 diferit de x 2 avem un F (x 1 ) diferit de F (x 2 ).
Pentru ce sunt funcțiile de injecție?
Injectivitatea este o proprietate a funcțiilor continue, deoarece asigură alocarea de imagini pentru fiecare element al domeniului, aspect esențial în continuitatea unei funcții.
Atunci când desenăm o linie paralelă cu axa X pe graficul unei funcții injective, graficul trebuie atins doar într-un singur punct, indiferent de ce înălțime sau amploare a lui Y este desenată linia. Acesta este modul grafic de a testa injectivitatea unei funcții.
O altă modalitate de a testa dacă o funcție este injectivă este prin rezolvarea variabilei X independente în termeni de variabila dependentă Y. Atunci trebuie verificat dacă domeniul acestei noi expresii conține numere reale, în același timp ca pentru fiecare valoare a lui Y există o valoare unică de X.
Funcțiile sau relațiile de ordine se supun, printre altele, notației F: D f → C f
Ce se citește F care merge de la D f la C f
În cazul în care funcția F se referă la seturile Domeniu și Codomain. Cunoscut și sub numele de set de început și set de finisare.
Domeniul D f conține valorile permise pentru variabila independentă. Codomain C f este format din toate valorile disponibile variabilei dependente. Elementele lui C f legate de D f sunt cunoscute sub numele de Interval al funcției (R f ).
Condiționarea funcției
Uneori, o funcție care nu este injectivă poate fi supusă anumitor condiții. Aceste condiții noi îl pot face o funcție injectivă. Sunt valabile toate tipurile de modificări ale domeniului și codomainului funcției, unde obiectivul este îndeplinirea proprietăților de injectivitate din relația corespunzătoare.
Exemple de funcții injectabile cu exerciții rezolvate
Exemplul 1
Fie ca funcția F: R → R să fie definită de linia F (x) = 2x - 3
A:
Sursa: Autor.
Se observă că pentru fiecare valoare a domeniului există o imagine în codomain. Această imagine este unică ceea ce face din F o funcție injectivă. Aceasta se aplică tuturor funcțiilor liniare (funcții al căror grad cel mai înalt al variabilei este unul).
Sursa: Autor.
Exemplul 2
Fie ca funcția F: R → R să fie definită de F (x) = x 2 +1
Sursa: Autor
La trasarea unei linii orizontale, se observă că graficul se găsește cu mai multe ori. Datorită acestui lucru, funcția F nu este injectivă atât timp cât R → R este definit
Procedăm la condiționarea domeniului funcției:
F: R + U {0} → R
Sursa: Autor
Acum variabila independentă nu ia valori negative, în acest fel repetarea rezultatelor este evitată și funcția F: R + U {0} → R definită de F (x) = x 2 + 1 este injectivă .
O altă soluție omologă ar fi limitarea domeniului la stânga, adică restrângerea funcției pentru a lua doar valori negative și zero.
Procedăm la condiționarea domeniului funcției
F: R - U {0} → R
Sursa: Autor
Acum variabila independentă nu ia valori negative, în acest fel repetarea rezultatelor este evitată și funcția F: R - U {0} → R definită de F (x) = x 2 + 1 este injectivă .
Funcțiile trigonometrice au comportamente similare cu undele, unde este foarte frecvent să se găsească repetări ale valorilor în variabila dependentă. Prin condiționarea specifică, bazată pe cunoașterea prealabilă a acestor funcții, putem limita domeniul pentru a îndeplini condițiile de injectivitate.
Exemplul 3
Fie ca funcția F: → R să fie definită de F (x) = Cos (x)
În interval , funcția cosinus își variază rezultatele între zero și unu.
Sursa: Autor.
După cum se poate observa în grafic. Începe de la zero la x = - π / 2, apoi atinge un maxim de la zero. După x = 0 valorile încep să se repete, până când revin la zero la x = π / 2. În acest fel se știe că F (x) = Cos (x) nu este injectiv pentru interval.
Când se studiază graficul funcției F (x) = Cos (x) , se observă intervale în care comportamentul curbei se adaptează criteriilor de injectivitate. Cum ar fi intervalul
În cazul în care funcția variază rezultă de la 1 la -1, fără a repeta nicio valoare în variabila dependentă.
În acest fel funcția F: → R definită de F (x) = Cos (x). Este injectiv
Există funcții neliniare în care apar cazuri similare. Pentru expresiile de tip rațional, în care numitorul conține cel puțin o variabilă, există restricții care împiedică injectivitatea relației.
Exemplul 4
Fie ca funcția F: R → R să fie definită de F (x) = 10 / x
Funcția este definită pentru toate numerele reale cu excepția {0} care are o determinare (nu poate fi împărțită la zero) .
Deoarece variabila dependentă se apropie de zero de la stânga, aceasta ia valori negative foarte mari și imediat după zero, valorile variabilei dependente iau cifre pozitive mari.
Această perturbare face ca expresia F: R → R să fie definită de F (x) = 10 / x
Nu fi injectabil.
După cum s-a văzut în exemplele anterioare, excluderea valorilor din domeniu servește la „repararea” acestor indeterminări. Procedăm să excludem zero din domeniu, lăsând seturile de început și de finisare definite după cum urmează:
R - {0} → R
Unde R - {0} simbolizează realurile, cu excepția unui set al cărui singur element este zero.
În acest fel, expresia F: R - {0} → R definită de F (x) = 10 / x este injectivă.
Exemplul 5
Fie ca funcția F: → R să fie definită de F (x) = Sen (x)
În intervalul funcția sinusoasă își variază rezultatele între zero și unu.
Sursa: Autor.
După cum se poate observa în grafic. Începe de la zero la x = 0 și apoi atinge un maxim de la x = π / 2. După x = π / 2 valorile încep să se repete, până când revin la zero la x = π. În acest fel se știe că F (x) = Sen (x) nu este injectiv pentru interval.
Când se studiază graficul funcției F (x) = Sen (x) , se observă intervale în care comportamentul curbei se adaptează criteriilor de injectivitate. Cum ar fi intervalul
În cazul în care funcția variază rezultă de la 1 la -1, fără a repeta nicio valoare în variabila dependentă.
În acest fel funcția F: → R definită de F (x) = Sen (x). Este injectiv
Exemplul 6
Verificați dacă funcția F: → R definită de F (x) = Tan (x)
F: → R definit de F (x) = Cos (x + 1)
F: R → R definit de linia F (x) = 7x + 2
Referințe
- Introducere în logică și gândire critică. Merrilee H. Somon. Universitatea din Pittsburgh
- Probleme în analiza matematică. Piotr Biler, Alfred Witkowski. Universitatea din Wroclaw Polonia.
- Elemente de analiză abstractă. Dr. Mícheál O'Searcoid. Departamentul de matematică. Colegiul universitar Dublin, Beldfield, Dublind 4.
- Introducere în logică și în metodologia științelor deductive. Alfred Tarski, New York Oxford. Presa Universitatii Oxford.
- Principiile analizei matematice. Enrique Linés Escardó. Editorial Reverté S. A 1991. Barcelona Spania.